最后更新: 2025-02-08 15:39 查看: 40 次反馈刷题

直线与平面平行

## 直线与平面平行

一般地，有以下关于直线与平面平行的判定定理：

**如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．**

用符号语言描述上述定理，即为

$$
\text { 若 } a \not \subset_\alpha, b \subset_\alpha, a / / b \text {, 则 } a / / \alpha \text {. }
$$

由上述判定定理可知，画一条直线与已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行

![图片](/uploads/2025-02/e531f6.jpg)．

> 运用直线与平面平行的判定定理时，$a \not \subset \alpha$ ， $b \subset \alpha, a / / b$ 这三个条件缺一不可．（图 4．3－14）

### 定理
若直线 $a / /$ 平面 $\alpha$, 直线 $a \subset$ 平面 $\beta, \alpha \cap \beta=b$, 则 $\alpha / / a$ 的充要条件是 $a / / b$ 。

证明: 先证必要性. 设 $a / / \alpha, a \subset \beta, \alpha \cap \beta=b$ (图 1.33) 由于:

$$
\begin{aligned}
& \quad a \cap b=a \cap(\alpha \cap \beta)=(a \cap \alpha) \cap \beta=\emptyset \cap \beta=\emptyset \\
& \text { 又 } \because a, b \subset \beta
\end{aligned}
$$

$\therefore \quad a / / b$.
这就告诉了我们: **如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的一个平面和这个平面相交, 那么这条直线就和交线平行 (这就是直线和平面平行的性质定理).**
 ![图片](/uploads/2024-11/46a952.jpg)
 
 再证充分性. 借助上图, 由于

$$
a \cap \alpha \subset \beta \cap \alpha=b
$$

$\therefore \quad a$ 若与 $\alpha$ 相交, 其交点必在 $b$ 上, 但因 $a \cap b=\emptyset$.

$$
\therefore \quad a \cap \alpha=\emptyset, \quad a / / \alpha .
$$

这就告诉我们: 若平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 则这条直线就和这个平面平行 (这就是**直线和平面平行的判定定理**).

`例`如图 1.34, 已知: $\alpha \cap \beta=c, a / / \alpha, b / / \beta, a / / b$, 求证: $a / / c$, $b / / c$ 。
 ![图片](/uploads/2024-11/bd6571.jpg)
证明: 取点 $P \in c$, 设 $P$ 与 $a$ 所确定的平面交 $\alpha$ 于 $a^{\prime}, P$ 与 $b$ 所确定的平面交 $\beta$ 于 $b^{\prime}$, 则 $a / / a^{\prime}$, 又

$$
\begin{array}{ll}
\because & a / / b \quad \therefore \quad a^{\prime} / / b \\
\because & b / / b^{\prime}, \text { 而 } a^{\prime} \cap b^{\prime}=P \\
\therefore & a^{\prime}=b^{\prime}=c \\
\therefore & a / / c, \quad b / / c .
\end{array}
$$

其他版本
【高等数学】平面的垂直与平行

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