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高中数学
第十三章:立体几何与空间向量
直线与平面垂直
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更新:
2025-02-08 15:44
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直线与平面垂直
## 直线与平面垂直 如下图 ,如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交,并且垂直于这个平面内的所有直线,那么就称**直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 垂直**,记作 $l \perp \alpha$ .直线 $l$ 叫作平面 $\alpha$ 的**垂线**,平面 $\alpha$ 叫作直线 $l$ 的**垂面**,它们的交点叫作**垂足**. **过一点有且只有一条直线和一个平面垂直;过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.**  一般地,有以下关于直线与平面垂直的判定定理: **如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.** 用符号语言描述上述定理,即为 若 $a \subset \alpha, b \subset \alpha, l \perp a, l \perp b, a \bigcap b=A$ ,则 $l \perp \alpha$ . ## 直线与平面垂直的性质定理 **垂直于同一个平面的两条直线平行.** 在空间 $V$ 中, 和相异两点 $P 、 P^{\prime}$ 距离相等的点的集合是一个平面 $\pi$, 它和线段 $P P^{\prime}$ 相交于 $P P^{\prime}$ 的中点 $M$, 而且 $P P^{\prime}$ 和 $\pi$ 的任何直线都垂直 (我们称 $\pi$ 为线段 $P P^{\prime}$ 的垂直平分面). ### 定义 若直线 $\ell \cap \pi=M
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