最后更新: 2025-02-08 15:44 查看: 26 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

直线与平面垂直

## 直线与平面垂直
如下图 ,如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交，并且垂直于这个平面内的所有直线，那么就称**直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 垂直**，记作 $l \perp \alpha$ ．直线 $l$ 叫作平面 $\alpha$ 的**垂线**，平面 $\alpha$ 叫作直线 $l$ 的**垂面**，它们的交点叫作**垂足**．

**过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．**

![图片](/uploads/2025-02/c2ad84.jpg)
 
 
 一般地，有以下关于直线与平面垂直的判定定理：

**如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．**

用符号语言描述上述定理，即为
若 $a \subset \alpha, b \subset \alpha, l \perp a, l \perp b, a \bigcap b=A$ ，则 $l \perp \alpha$ ．

## 直线与平面垂直的性质定理
**垂直于同一个平面的两条直线平行．**

在空间 $V$ 中, 和相异两点 $P 、 P^{\prime}$ 距离相等的点的集合是一个平面 $\pi$, 它和线段 $P P^{\prime}$ 相交于 $P P^{\prime}$ 的中点 $M$, 而且 $P P^{\prime}$ 和 $\pi$ 的任何直线都垂直 (我们称 $\pi$ 为线段 $P P^{\prime}$ 的垂直平分面).

### 定义
若直线 $\ell \cap \pi=M, \ell$ 和 $\pi$ 内的任何一条直线都垂直, 则称 $\ell$ 和 $\pi$ 垂直.记作 $\ell \perp \pi$. 点 $M$ 叫垂足, $\ell$ 叫作平面 $\pi$ 的垂线. 平面 $\pi$ 叫作直线 $\ell$ 的垂面. 如果直线 $\ell$ 垂直于平面 $\pi$, 记作 $\ell \perp \pi$. 这样一来, 上述定理就成了直线与平面垂直的存在定理了. 但要判断一条直线和平面内所有的直线都垂直, 一般比较困难. 因此, 我们利用直线与平面垂直的存在定理的推论较为方便。

###  推论 1
设 $\ell \cap \pi=M, \ell_1, \ell_2$ 是 $\pi$ 中两条相交直线, 则 $\ell \perp \pi$ 的充要条件是 $\ell \perp \ell_1$且 $\ell \perp \ell_2$.  
 ![图片](/uploads/2024-11/969b55.jpg)
 
 
###  推论 2
设直线 $\ell_1 \perp \pi$, 则直线 $\ell_2 \perp \pi$ 的充要条件是 $\ell_1 / / \ell_2$.

证明:
1. 充分性: 设 $\ell_1 \perp \pi, \ell_1 / / \ell_2$, 不妨设 $\ell_1$ 与 $\ell_2$ 相异, 在平面 $\pi$ 内作两条相交直线 $a, b$ (图 1.38)

$$
\begin{aligned}
& \because \ell_1 \perp \pi \\
& \therefore \quad \ell_1 \perp a, \quad \ell_1 \perp b \\
& \because \ell_1 / / \ell_2 \\
& \therefore \quad \ell_2 \perp a, \quad \ell_2 \perp b \\
& \therefore \quad \ell_2 \perp \pi
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2024-11/b1880d.jpg)
 
 2. 必要性: 设 $\ell_1 \perp \pi, \ell_2 \perp \pi, \ell_2 \cap \pi=P$ (图 1.39) 过 $P$ 作直线 $\ell_2^{\prime} / / \ell_1$, 假定假定 $\ell_2^{\prime}$ 与 $\ell_2$ 相异,

$$
\begin{aligned}
& \because \ell_1 \perp \pi \\
& \therefore \quad \ell_2^{\prime} \perp \pi
\end{aligned}
$$

设 $\pi^{\prime}$ 为 $\ell_2 、 \ell_2^{\prime}$ 所确定的平面， $\pi \cap \pi^{\prime}=\ell$,

$$
\begin{array}{ll}
\because & \ell_2 \perp \pi \\
\therefore & \ell_2 \perp \ell_1,
\end{array}
$$

同理, $\ell_2^{\prime} \perp \ell$. 而 $\ell, \ell_2, \ell_2^{\prime} \subset \pi^{\prime}$, 且有一个公共点 $P$, 这与平面几何中 "过一点与已知直线垂直的直线只有一条" 这一定理相矛盾
$\therefore \quad \ell_2^{\prime}=\ell_2$, 即 $\ell_2 / / \ell_1 $.

推论 2 也称作直线和平面垂直的性质定理。

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