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高中数学
第十三章：立体几何
点到平面的距离与正射影
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2025-02-08 15:48
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点到平面的距离与正射影
## 正射影 ### 定义 从平面 $\alpha$ 外一点 $P$ 向 $\alpha$ 作垂线, 垂足是 $P^{\prime}$, 点 $P^{\prime}$ 叫作点 $P$ 在平面 $\alpha$内的正射影 (简称射影)。前面讲过的点在投影平面上的投影图, 就是该点在投影平面上的**正射影**。 一个图形 $F$ 上所有点在平面 $\alpha$ 内的正射影的集合 $F^{\prime}$ 叫作图形 $F$ 在平面 $\alpha$ 内的正射影（简称射影）。 直线在平面内的射影, 当直线垂直于平面的时候, 显然只是一点, 在不垂直的时候，就是直线。（图 1.42）  如图，过一点 $S$ 向平面 $A B C$ 作垂线，垂足为 $A$ ，则称垂线段 $S A$ 的长度为**点 $S$ 到平面 $A B C$ 的距离**．  `例`已知：如图，直线 $l / /$ 平面 $\alpha$ ． 求证：直线 $l$ 上各点到平面 $\alpha$ 的距离相等．  证明 过直线 $l$ 上任意两点 $A, B$ 分别作平面 $\alpha$ 的垂线 $A A^{\prime}, B B^{\prime}$ ，垂足分别为 $A^{\prime}, B^{\prime}$ 。 因为 $A A^{\prime} \perp \alpha, B B^{\prime} \perp \alpha$ ，所以 $A A^{\prime} / / B B^{\prime}$ ． 设经过直线 $A A^{\prime}$ 和 $B B^{\prime}$ 的平面为 $\beta$ ， 则 $\be
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