最后更新: 2025-02-08 15:49 查看: 94 次反馈刷题

直线与平面的夹角

## 直线与平面的夹角
### 定理
**直线和平面相交而不垂直, 这条直线与平面内经过这个交点的直线所成的角中, 以这条直线和它在平面内的正射影所成的角为最小。**

`例`已知: 直线 $\ell \cap$ 平面 $\alpha=A$, 但 $\ell$ 不垂直 $\alpha, P \in \ell, P$ 在 $\alpha$ 内的射影为 $P^{\prime}$, $A Q$ 是 $\alpha$ 内过 $A$ 的任一条直线。（图 1.45）

求证: $\angle P A P^{\prime}<\angle P A Q$.

![图片](/uploads/2024-11/2ab57e.jpg)

证明: 设 $P Q \perp A Q$, 连 $P^{\prime} Q$.

$$
\begin{array}{ll}
\because & P P^{\prime} \perp \alpha \\
\therefore & \triangle P Q P^{\prime} \text { 中 } \angle P P^{\prime} Q=90^{\circ} \\
\therefore & P Q>P P^{\prime}
\end{array}
$$

在 $\triangle P P^{\prime} A$ 和 $\triangle P Q A$ 中,

$$
\because \quad \angle P P^{\prime} A=90^{\circ}, \quad \angle P Q A=90^{\circ}
$$

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \sin \angle P A Q=\frac{P Q}{P A}, \quad \sin \angle P A P^{\prime}=\frac{P P^{\prime}}{P A} \\
\therefore & \sin \angle P A Q>\sin \angle P A P^{\prime} \\
\because & \angle P A Q \text { 和 } \angle P A P^{\prime} \text { 都是锐角, } \\
\therefore & \angle P A Q>\angle P A P^{\prime} .
\end{array}
$$

有了上述定理，我们就可以给直线和平面的夹角下定义了。
### 定义
平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角（或夹角）。

在特殊情况下, 直线和平面垂直, 我们就说直线和平面所成的角是直角。如果一条直线和一个平面平行或在平面内, 我们说这条直线和这个平面所成的角是 $0^{\circ}$ 的角。

### 定理
设直线 $\ell$ 和平面 $\alpha$ 所成的角是 $\theta, \ell$ 上的线段 $A B$ 的射影是 $A^{\prime} B^{\prime}$, 那么, $A^{\prime} B^{\prime}=A B \cos \theta$ (图 1.46).
 ![图片](/uploads/2024-11/fa3407.jpg)
 证明: $\because A A^{\prime}, B B^{\prime} \perp \alpha$

$$
\therefore \quad A A^{\prime} / / B B^{\prime}
$$

$\therefore A A^{\prime}$ 和 $B B^{\prime}$ 确定一个平面 $\beta$, 过 $A$ 引 $A B^{\prime \prime} / / A^{\prime} B^{\prime}$ 交 $B B^{\prime}$ 于 $B^{\prime \prime}$,则 $\angle B A B^{\prime \prime}=\theta$, 且 $AA ^{\prime} B ^{\prime} B { }^{\prime \prime}$ 是矩形,

$$
\therefore \quad A^{\prime} B^{\prime}=A B^{\prime \prime}=A B \cos \theta .
$$

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