最后更新: 2025-07-20 09:28 查看: 195 次反馈同步训练

直线与平面的夹角

## 直线与平面的夹角
### 定理
**直线和平面相交而不垂直, 这条直线与平面内经过这个交点的直线所成的角中, 以这条直线和它在平面内的正射影所成的角为最小。**

`例`已知: 直线 $\ell \cap$ 平面 $\alpha=A$, 但 $\ell$ 不垂直 $\alpha, P \in \ell, P$ 在 $\alpha$ 内的射影为 $P^{\prime}$, $A Q$ 是 $\alpha$ 内过 $A$ 的任一条直线。（图 1.45）

求证: $\angle P A P^{\prime}<\angle P A Q$.

![图片](/uploads/2024-11/2ab57e.jpg)

证明: 设 $P Q \perp A Q$, 连 $P^{\prime} Q$.

$$
\begin{array}{ll}
\because & P P^{\prime} \perp \alpha \\
\therefore & \triangle P Q P^{\prime} \text { 中 } \angle P P^{\prime} Q=90^{\circ} \\
\therefore & P Q>P P^{\prime}
\end{array}
$$

在 $\triangle P P^{\prime} A$ 和 $\triangle P Q A$ 中,

$$
\because \quad \angle P P^{\prime} A=90^{\circ}, \quad \angle P Q A=90^{\circ}
$$

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \sin \angle P A Q=\frac{P Q}{P A}, \quad \sin \angle P A P^{\prime}=\frac{P P^{\prime}}{P A} \\
\therefore & \sin \angle P A Q>\sin \angle P A P^{\prime} \\
\because & \angle P A Q \text { 和 } \angle P A P^{\prime} \text { 都是锐角, } \\
\therefore & \angle P A Q>\angle P A P^{\prime} .
\end{array}
$$

有了上述定理，我们就可以给直线和平面的夹角下定义了。
### 定义
平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角（或夹角）。

在特殊情况下, 直线和平面垂直, 我们就说直线和平面所成的角是直角。如果一条直线和一个平面平行或在平面内, 我们说这条直线和这个平面所成的角是 $0^{\circ}$ 的角。

### 定理
设直线 $\ell$ 和平面 $\alpha$ 所成的角是 $\theta, \ell$ 上的线段 $A B$ 的射影是 $A^{\prime} B^{\prime}$, 那么, $A^{\prime} B^{\prime}=A B \cos \theta$ (图 1.46).
 ![图片](/uploads/2024-11/fa3407.jpg)
 证明: $\because A A^{\prime}, B B^{\prime}

其他版本
【高等数学】直线与平面的夹角

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：点到平面的距离与正射影

下一篇：三垂线定理与三射线定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)