最后更新: 2025-06-03 07:13 查看: 203 次反馈同步训练

三垂线定理与三射线定理

## 三垂线定理
### 定理
在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直。

已知: 如图 1.47, $A A^{\prime}$ 和 $A B$ 分别是平面 $\alpha$ 的垂线和斜线, $A^{\prime} B$ 是 $A B$ 在 $\alpha$ 内的射线， $C D \subset \alpha, C D \perp A^{\prime} B$.

求证: $C D \perp A B$.
证明: $\because C D \subset \alpha, \quad A A^{\prime} \perp \alpha$
$\therefore \quad A A^{\prime} \perp C D$
又 $\because \quad A^{\prime} B \perp C D$
$\therefore \quad C D \perp$ 平面 $A A^{\prime} B$
$\because A B \subset$ 平面 $A A^{\prime} B$
$\therefore \quad C D \perp A B$.
这个定理称为三垂线定理, 其逆定理也成立, 即 "在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它也和这条斜线的射影垂直"也真。
 ![图片](/uploads/2024-11/12193d.jpg)
 
 **所以，平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和斜线在平面内的射影垂直。**

## 空间直线和平面垂直

![图片](/uploads/2025-05/7b8b37.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-05/eaa626.jpg)
  
  `例` 如图，在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中， $E, F$ 分别是棱 $C D, A_1 D_1$ 的中点．
 求证：$A B_1 \perp B F$ ；
  ![图片](/uploads/2025-05/35a057.jpg){width=300px}
  
  解：如图，连接 $A_1 B$ ，则 $A B_1 \perp A_1 B$ ，
因为 $A_1 F \perp$ 平面 $A B B_1 A_1, A B_1 \subset$ 平面 $A B B_1 A_1$ ，
所以 $A_1 F \perp A B_1$ ，
又 $A_1 B \cap A_1 F=A_1$ ，
所以 $A B_1 \perp$ 平面 $A_1 B F$ ．又 $B F \subset$ 平面 $A_1 B F$ ，所以 $A B_1 \perp B F$ ．
   ![图片](/uploads/2025-05/b3ecf6.jpg)

## 三射线定理
若夹在平面角为 $\phi$ 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 $\theta_1, \theta_2$ ，与二面角的棱所成的角是 $\theta$ ，则有

$$
\sin ^2 \phi \sin ^2 \theta=\sin ^2 \theta_1+\sin ^2 \theta_2-2 \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \phi
$$

$\left|\theta_1-\theta_2\right| \leqslant \phi \leqslant

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