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第十三章：立体几何
三垂线定理
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更新:
2025-02-08 15:50
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三垂线定理
## 三垂线定理 ### 定理 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直。 已知: 如图 1.47, $A A^{\prime}$ 和 $A B$ 分别是平面 $\alpha$ 的垂线和斜线, $A^{\prime} B$ 是 $A B$ 在 $\alpha$ 内的射线， $C D \subset \alpha, C D \perp A^{\prime} B$. 求证: $C D \perp A B$. 证明: $\because C D \subset \alpha, \quad A A^{\prime} \perp \alpha$ $\therefore \quad A A^{\prime} \perp C D$ 又 $\because \quad A^{\prime} B \perp C D$ $\therefore \quad C D \perp$ 平面 $A A^{\prime} B$ $\because A B \subset$ 平面 $A A^{\prime} B$ $\therefore \quad C D \perp A B$. 这个定理称为三垂线定理, 其逆定理也成立, 即 "在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它也和这条斜线的射影垂直"也真。  **所以，平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和斜线在平面内的射影垂直。**
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