最后更新: 2025-05-31 16:56 查看: 83 次反馈同步训练

空间距离研究

### 点到平面的距离定义
从平面外一点向这个平面引垂线, 这点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
 ![图片](/uploads/2024-11/176278.jpg)
 
 ### 线到平面的距离定义 
一条直线和一个平面平行, 这条直线上任一点到平面的距离, 叫做这条直线和平面的距离。

若 $P$ 点在平面 $\pi$ 内, 则定义 $P$ 点到 $\pi$ 的距离为 0 , 若直线 $\ell$ 与平面 $\pi$ 相交或在 $\pi$ 内, 则定义 $\ell$ 到 $\pi$ 的距离为 0 .

## 异面直线的距离
在正方体 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}-A B C D$ 中, 棱 $A A^{\prime}$ 和 $B^{\prime} C^{\prime}$ 所在的直线是异面直线, 直线 $A^{\prime} B^{\prime}$ 和它们都垂直相交. 我们说直线 $A^{\prime} B^{\prime}$ 是异面直线 $A A^{\prime}$ 和 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的公垂线. (图 1.51)
 ![图片](/uploads/2024-11/688cf4.jpg)
 
 ### 定义
 同时和两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的**公垂线**
 
 ### 定义
 两条异面直线间公垂线段的长叫作两条**异面直线的距离**．
 
 
 ##  点到直线的距离
如图，已知直线 $l$ 的单位方向向量为 $u , A$ 是直线 $l$ 上的定点，$P$ 是直线 $l$ 外一点，设 $\overrightarrow{A P}= a$ ，则向量 $\overrightarrow{A P}$ 在直线 $l$ 上的投影向量 $\overrightarrow{A Q}=( a \cdot u ) u$ ，在 Rt $\triangle A P Q$ 中，由勾股定理，得 $P Q=\sqrt{|\overrightarrow{A P}|^2-|\overrightarrow{A Q}|^2}=\sqrt{a^2-(a \cdot u)^2}$ ．

![图片](/uploads/2025-05/efbbd8.jpg){width=300px}
 
 
 
## 点到平面的距离
如图，已知平面 $\alpha$ 的法向量为 $n, A$ 是平面 $\alpha$ 内的定点，$P

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