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Taylor 公式

§20．3 Taylor 公式
为简明起见主要讨论二元函数的情况．
如高阶微分中一样，采用算子记号如下：

$$
\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right) f(x, y)=\Delta x \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+\Delta y \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)
$$

并归纳地定义

$$
\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1}=\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^n
$$

这样就可以得到

$$
\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x, y)=\Delta x^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)+2 \Delta x \Delta y \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y)+\Delta y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y),
$$

并可以用数学归纳法证明对每一个正整数 $n$ 成立

$$
\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^n f(x, y)=\sum_{i=0}^n C_n^i \frac{\partial^n f}{\partial x^i \partial y^{n-i}} \Delta x^i \Delta y^{n-i}
$$

下面就是将第七章中带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式推广到多元函数． （也称为 Taylor 中值定理．）

定理 0.2 设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=O_a\left(\left(x_0, y_0\right)\right)$ 内关于 $x, y$ 有所有的 $n+1$阶连续偏导数，记 $\Delta x=x-x_0, \Delta y=y-y_0$ ，则对每个 $(x, y) \in D$ 成立公式

$$
\begin{aligned}
f(x, y) & =f\left(x_0, y_0\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right) \Delta y \\
& +\frac{1}{2!}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f\left(x_0, y_0\right)+\cdots+\frac{1}{n!}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^n f\left(x_0, y_0\right) \\
& +\frac{1}{(n+1)!}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f\left(x_0+\theta \Delta x, y_0+\theta \Delta y\right)
\end{aligned}
$$

这里的最后一项称为 Lagrange 余项，其中 $0<\theta<1$ ．

证 对于给定的点 $(x, y) \in D$ ，且 $(x, y) \neq\left(x_0, y_0\right)$ ，构造辅助函数

$$
\varphi(t)=f\left(x_0+t \Delta x, y_0+t \Delta y\right), 0 \leqslant t \leqslant 1
$$

从而将二维问题归结为一维。
从定理的条件可知 $\varphi(t)$ 在区间 $[0,1]$ 上 $n+1$ 阶连续可微，利用第七章的带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式于 $\varphi(t)$ ，就得到在点 $t=0$ 的展开式：

$$
\varphi(t)=\varphi(0)+\varphi^{\prime}(0) t+\frac{1}{2!} \varphi^{\prime \prime}(0) t^2+\cdots+\frac{1}{n!} \varphi^{(n)}(0) t^n+\frac{1}{(n+1)!} \varphi^{(n+1)}(\theta t) t^{n+1}
$$

其中 $0<\theta<1$ ．然后用 $t=1$ 代入，得到

$$
\varphi(1)=\varphi(0)+\varphi^{\prime}(0)+\frac{1}{2!} \varphi^{\prime \prime}(0)+\cdots+\frac{1}{n!} \varphi^{(n)}(0)+\frac{1}{(n+1)!} \varphi^{(n+1)}(\theta)
$$

最后利用 $\varphi(1)=f(x, y), \varphi(0)=f\left(x_0, y_0\right), \varphi^{\prime}(0)=f_x\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y\left(x_0, y_0\right) \Delta y$ ，并归纳地证明

$$
\varphi^{(k)}(0)=\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^k f\left(x_0, y_0\right)
$$

这样就得到了所需要的公式．
推论 设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域中有关于 $x, y$ 的所有 $n$ 阶连续偏导数，则就有

$$
f(x, y)=f\left(x_0, y_0\right)+\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^k f\left(x_0, y_0\right)+o\left(r^n\right)(r \rightarrow 0)
$$

其中 $r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ ．
证 对 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的邻域中用定理 1 ，则所得的展开式与推论中的等式右边的前 $n$ 项都相同，因此只要证明

$$
\begin{aligned}
\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}\right. & \left.+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^n f\left(x_0+\theta \Delta x, y_0+\theta \Delta y\right) \\
& -\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^n f\left(x_0, y_0\right)=o\left(r^n\right)(r \rightarrow 0)
\end{aligned}
$$

利用前面的等式（1），上式左边的两项分别含有 $n+1$ 项，从而只要证明，对每个 $i=0,1, \cdots, n$ ，成立

$$
\frac{1}{n!} C_n^i\left(\frac{\partial^n f\left(x_0+\theta \Delta x, y_0+\theta \Delta y\right)}{\partial x^i \partial y^{n-i}}-\frac{\partial^n f\left(x_0, y_0\right)}{\partial x^i \partial y^{n-i}}\right) \Delta x^i \Delta y^{n-i}=o\left(r^n\right)(r \rightarrow 0)
$$

最后，利用每一个 $n$ 阶偏导数都在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续，且

$$
\left|\Delta x^i \Delta y^{n-i}\right| \leqslant r^n
$$

可见结论成立．
注 显然这个推论就是第七章中带 Peano 型余项的 Taylor 公式在多元函数情况的推广。由于它的证明中利用了定理 2 ，因此需要各阶偏导数在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域中连续．若将条件减弱为各阶偏导数只在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续，则上述证明不能成立．这时可以用数学归纳法给出一个独立的证明。从略。此外，从 $n=1$ 可以知道，对偏导数不加连续性要求是不能成立的．这与一元函数情况不同．

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