最后更新: 2025-11-01 16:13 查看: 62 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

中值定理与二元泰勒公式 Taylor

## 二元函数中值定理
二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，对于 $n$ 元函数（ $n>2$ ）也有同样的公式，只是形式上更复杂一些。
### 凸区域
在叙述有关定理之前，先介绍凸区域的概念。
若区域 $D$ 上任意两点的连线都含于 $D$ ，则称 $D$ 为凸区域（图17－9）。这就是说，若 $D$ 为凸区域，则对任意两点 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right) \in D$ 和一切 $\lambda(0 \leqslant \lambda \leqslant 1)$ ，恒有

$$
P\left(x_1+\lambda\left(x_2-x_1\right), y_1+\lambda\left(y_2-y_1\right)\right) \in D .
$$

![图片](/uploads/2025-11/3f60a9.jpg){width=400px}
 
 
## 中值定理
**定理** 设二元函数 $f$ 在凸开域 $D \subset \mathbf{R}^2$ ：上可微，则对任意两点 $P(a, b), Q(a+h, b+k) \in D$ ，存在实数 $\theta(0<\theta<1)$ ，使得

$$
\begin{aligned}
& f(a+h, b+k)-f(a, b) \\
= & f_x(a+\theta h, b+\theta k) h+f_y(a+\theta h, b+\theta k) k .
\end{aligned} ...(8)
$$

证 令

$$
\Phi(t)=f(a+t h, b+t k) .
$$

因为 $D$ 是凸开域，所以 $\Phi(t)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的一元函数．由定理中的条件知 $\Phi(t)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可微．于是根据一元函数中值定理，存在 $\theta(0<\theta<1)$ ，使得

$$
\Phi(1)-\Phi(0)=\Phi^{\prime}(\theta) ...(8)
$$

由复合函数的求导法则

$$
\Phi^{\prime}(\theta)=f_x(a+\theta h, b+\theta k) h+f_y(a+\theta h, b+\theta k) k ...(10)
$$

由于 $D$ 为凸区域，所以 $(a+\theta h, b+\theta k) \in D$ ，故由（9），（10）即得所要证明的（8）式．

注 若 $D$ 是闭凸域，且对 $D$ 上任意两点 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right)$ 及任意 $\lambda(0<\lambda<1)$ ，都有

$$
P\left(x_1+\lambda\left(x_2-x_1\right), y_1+\lambda\left(y_2-y_1\right)\right) \in \operatorname{int} D,
$$

则对 $D$ 上连续， $\operatorname{int} D$ 内可微的函数 $f$ ，只要 $P, Q \in D$ ，也存在 $\theta \in(0,1)$ ，使（8）式成立．

例如 $D$ 是圆域 $\left\{(x, y) \mid(x-\xi)^2+(y-\eta)^2 \leqslant r^2\right\}$ ，$f$ 在 $D$ 上连续，在 int $D$ 内可微，则必有（8）式成立．倘若 $D$ 是矩形区域 $[a, b] \times[c, d]$ ，那就不能保证对 $D$ 上任意两点 $P, Q$都有（8）式成立（为什么？）。

公式（8）也称为二元函数（在凸域上）的中值公式。它与定理17．3的中值公式 （12）相比较，差别在于这里的中值点 $(a+\theta h, b+\theta k)$ 是在 $P, Q$ 的连线上，而在定理中 $\theta_1$ 与 $\theta_2$ 可以不相等．

**推论** 若函数 $f$ 在区域 $D$ 上存在偏导数，且

$$
f_x=f_y \equiv 0
$$

则 $f$ 在区域 $D$ 上为常量函数．

`例`对 $f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x^2-2 x y+1}}$ 应用微分中值定理，证明存在 $\theta(0<\theta<1)$ ，使得

$$
1-\sqrt{2}=\sqrt{2}(1-3 \theta)\left(1-2 \th

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