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极值与黑塞矩阵 Hesse

## 多元函数极值的必要条件
多元函数极值可以如一元函数情况那样引入极值，极值点的定义，并从 Fermat 费马定理推广到多元情况。

**多元函数的费马Fermat定理** 设 $f( x )$ 是区域 $D \subset R ^n$ 上的多元函数，点 $a \in D$ 是 $f$ 的极值点，且 $f$ 在 $a$ 存在所有的一阶偏导数，则

$$
\operatorname{grad} f( a )= 0
$$

证 记 $a =\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ，则对于 $i \in\{1, \cdots, n\}$ ，在 $y=f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 中，对于 $j \in\{1, \cdots, n\}-\{i\}$ ，固定 $x_j=a_j$ ，这样就得到以 $x_i$ 为自变量的一元函数，它以 $a_i$ 为极值点，且存在对 $x_i$ 的导数．用 Fermat 定理，就知道 $f_{x_i}( a )=0$ ．由于对每个 $i=1, \cdots, n$ 都如此，因此 $f$ 在点 $a$ 的梯度向量 $\operatorname{grad} f( a )$ 为零向量．

与一元函数情况相同，将满足条件 $\operatorname{grad} f( a )= 0$ 的点 $a$ 称为函数 $f$ 的**驻点**．

当然驻点末必是极值点，极值点也未必是驻点．然而，尽管如此，驻点概念在解决极值问题和最值问题中还是有用的．这些都与一元函数相同．

上面采用了向量定义模式，也可以采用代数式定义模式。

**定义2**  设函数 $f$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域 $U\left(P_0\right)$ 上有定义．若对于任何点 $P(x, y) \in U\left(P_0\right)$ ，成立不等式

$$
f(P) \leqslant f\left(P_0\right) \quad\left(\text { 或 } f(P) \geqslant f\left(P_0\right)\right) \text {, }
$$

则称函数 $f$ 在点 $P_0$ 取得**极大（或极小）值**，点 $P_0$ 称为 $f$ 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称**极值**．极大值点、极小值点统称**极值点**．

**定理（极值必要条件**）若函数 $f$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 存在偏导数，且在 $P_0$ 取得极值，则有

$$
f_x\left(x_0, y_0\right)=0, \quad f_y\left(x_0, y_0\right)=0
$$

使得一阶导数为零的点叫做**驻点**。或者说，当函数取到极值时，驻点为零。

![图片](/uploads/2025-10/ba5c44.jpg){width=400px}

如果一阶导数为零且不是极值点叫做**鞍点**，参考下图，因为他的曲面形状像马鞍面，所以被称作鞍点。
 ![图片](/uploads/2025-10/918434.jpg){width=400px}
 
 
`例`设 $f(x, y)=2 x^2+y^2, g(x, y)=\sqrt{1-x^2-y^2}, h(x, y)=x y$ 。由定义直接知道，坐标原点 $(0,0)$ 是 $f$ 的极小值点，是 $g$ 的极大值点，但不是 $h$ 的极值点．这是因为对任何点 $(x, y)$ ，恒有 $f(x, y) \geqslant f(0,0)=0$ ；对任何 $(x, y) \in\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ，恒有 $g(x, y) \leqslant g(0,0)=1$ ；而对于函数 $h$ ，在原点的任意小邻域上，既含有使 $h(x, y)>0$ 的 I，III 象限中的点，又含有使 $h(x, y)<0$ 的 II，IV 象限中的点，所以 $h(0,0)=0$ 既不是极大值又不是极小值。

由定义可见，若 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 取得极值，则当固定 $y=y_0$ 时，一元函数 $f\left(x, y_0\right)$ 必定在 $x=x_0$ 取相同的极值．同理，一元函数 $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 也取相同的极值．于是得到二元函数取极值的必要条件如下：

## 多元函数极值的充分条件
这里正是高等代数的二次型理论发挥作用的地方。
设 $y=f( x )$ 是区域 $D \subset R ^n$ 上的多元函数，点 $a \in D$ 为驻点，又设 $f$ 在点 $a$的一个邻域中有连续的所有二阶偏导数，则可以写出 $f$ 在该点的带 Peano 型余项的 Taylor 公式：

$$
f( x )-f( a )=\frac{1}{2!} \sum_{i, j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\left(a_1, \cdots, a_n\right) \Delta x_i \Delta x_j+o\left(r^2\right)(r \rightarrow 0),
$$

其中 $r=\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots+\Delta x_n^2}$ ．
显然上式右边出现了二次型．引入矩阵

$$
H =\left(\begin{array}{cccc}
f_{11} & f_{12} & \ldots & f_{1 n} \\
f_{21} & f_{22} & \ldots & f_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_{n 1} & f_{n 2} & \ldots & f_{n n}
\end{array}\right),
$$

其中 $f_{i j}=\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right|_{ x = a }, i, j=1, \cdots, n$ ．称 $H$ 为 $f$ 在点 $a$ 的 **黑塞 Hesse矩阵** 又记 $\Delta x =\left(\Delta x_1, \cdots, \Delta x_n\right)^T$ ，这样就可以将上面的公式改写为

$$
f( x )-f( a )=\Delta x^T H \Delta x +o\left(r^2\right)(r \rightarrow 0),
$$

这里 $r=|\Delta x |$ ．

这样就可以得到下列定理，

###  极值充分条件
设二元函数 $f$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域 $U\left(P_0\right)$ 上具有二阶连续偏导数，且 $P_0$ 是 $f$ 的稳定点．则当 $\boldsymbol{H}_f\left(P_0\right)$ 是正定矩阵时，$f$ 在点 $P_0$ 取得极小值；当 $\boldsymbol{H}_f\left(P_0\right)$ 是负定矩阵时，$f$ 在点 $P_0$ 取得极大值；当 $\boldsymbol{H}_f\left(P_0\right)$ 是不定矩阵时，$f$ 在点 $P_0$ 不取极值．

**证法一** 由 $f$ 在点 $P_0$ 的二阶泰勒公式，并注意到条件 $f_x\left(P_0\right)=f_y\left(P_0\right)=0$ ，有

$$
\begin{aligned}
& f(x, y)-f\left(x_0, y_0\right) \\
= & \frac{1}{2}(\Delta x, \Delta y) \boldsymbol{H}_f\left(P_0\right)(\Delta x, \Delta y)^{\mathrm{T}}+o\left(\Delta x^2+\Delta y^2\right) .
\end{aligned}
$$

由于 $\boldsymbol{H}_f\left(P_0\right)$ 正定，所以对任何 $(\Delta x, \Delta y) \neq(0,0)$ ，恒使二次型

$$
Q(\Delta x, \Delta y)=(\Delta x, \Delta y) \boldsymbol{H}_f\left(P_0\right)(\Delta x, \Delta y)^{\mathrm{T}}>0
$$

因此存在一个与 $\Delta x, \Delta y$ 无关的正数 $q^2$ ，使得

$$
Q(\Delta x, \Delta y) \geqslant 2 q\left(\Delta x^2+\Delta

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