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方向导数

## 20.2 方向导数和梯度

> 《数学分析》是给数学系的学生使用，很多内容较为抽象，如果感觉较难理解，可以参考《高等数学》里 [方向导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=390) 的教材， 高等数学追求的是通俗易懂，不过于强调严谨性。
 个点处定义一个向量，则就得到向量场．

##  方向导数

在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率．这就是本节所要讨论的方向导数．

**定义**  设三元函数 $f$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的某邻域 $U\left(P_0\right) \subset \mathbf{R}^3$ 有定义，$l$ 为从点 $P_0$ 出发的射线，$P(x, y, z)$ 为 $\boldsymbol{l}$ 上且含于 $U\left(P_0\right)$ 内的任一点，以 $\rho$ 表示 $P$ 与 $P_0$ 两点间的距离．若极限

$$
\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{f(P)-f\left(P_0\right)}{\rho}=\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta_l f}{\rho}
$$

存在，则称此极限为函数 $f$ 在点 $P_0$ 沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的**方向导数**，记作

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}, f_l\left(P_0\right) \text { 或 } f_l\left(x_0, y_0, z_0\right) \text {. }
$$

容易看到，若 $f$ 在点 $P_0$ 存在关于 $x$ 的偏导数，则 $f$ 在点 $P_0$ 沿 $x$ 轴正向的方向导数恰为

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{P_0}=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{P_0} .
$$

当 $\boldsymbol{l}$ 的方向为 $x$ 轴的负方向时，则有

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}=-\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{P_0}
$$

沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出．

**定理**  若函数 $f$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 可微，则 $f$ 在点 $P_0$ 沿

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