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方向导数和梯度

$\S 20.2$ 方向导数和梯度
本节的内容可以说是场论的开始．进一步的内容则见本书第二十四章的第5节．这里需要指出场的概念来自于物理学，例如电场，磁场，引力场，温度场，电位场等等．但同时也提供了许多有用的数学概念．数学分析只是介绍各种场所需要的一些基本数学工具．

一．数量场
场有两种：数量场和向量场．现在先介绍数量场．
设 $D \subset R ^n$ ，给定 $f: D \rightarrow R$ ，则称 $f$ 是 $D$ 上的一个数量场．
对于给定的数量场 $f$ 和常数 $c$ ，称

$$
S=\{x \in D \mid f(x)=c\}
$$

为数量场 $f$ 的一个等值面（等量面）．若 $n=2$ ，则称为等量线或等值线．例如天气预报中的等压面，等温面，地形图中的等高线都是非常有用的工具．

最常用的数量场是二维的平面场和三维的空间场．
类似地如在一个区域的每一个点处定义一个向量，则就得到向量场．
二．方向导数
二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的偏导数 $z_x, z_y$ 只描述了 $z$ 在 $x$ 方向和 $y$方向的变化率．现在考虑 $z$ 沿着任意方向 $l$ 的变化率，这里将方向 $l$ 与 $-l$ 作为两个方向看待，这样就可以引入方向导数为下列极限：
$$
\frac{\partial f}{\partial l }\left(P_0\right)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(P_0+t l \right)-f\left(P_0\right)}{t}
$$

若极限存在的话．也可以将上述方向导数简记为 $f_l$ 或 $z_l$ ．
这里要指出，在各种教科书和其他文献中对于方向导数的定义不完全一致。如上面的定义可见，方向导数不仅仅与 $l$ 所表示的方向有关，而且还和该向量的长度 $| l |$ 有关．方向导数的另一种定义中则规定 $l$ 必须是单位向量，即 $| l |=1$ ．下面我们就采取这样的定义。

对于 $n=1$ ，则方向导数就成了 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的两个单侧导数，它们可以不相等。因此方向导数即使在坐标轴方向也与偏导数概念不一样。函数在某个点沿所有方向的方向导数都存在时，并不保证在该点存在两个偏导数．例如 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在点 $(0,0)$ 就是如此．

方向导数的以上概念和定义可以推广到一般的 $n$ 元函数．下面以 $n=3$ 为例介绍方向导数与可微之间的关系．它同时也表明，在可微条件下，沿坐标轴方向的偏导数同时也解决了沿任何方向的方向导数计算问题．

定理 0.1 设 $z=f(x, y, z)$ 于点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 可微，则 $f$ 沿任何方向 $l =$ （ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 的方向导数都存在，且有计算公式
$$
\frac{\partial f}{\partial l}\left(P_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(P_0\right) \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial f}{\partial z}\left(P_0\right) \cos \gamma
$$

证 从条件可以直接写出

$$
\begin{aligned}
f\left(P_0+t l \right)- & f\left(P_0\right)=f\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \cos \beta, z_0+t \cos \gamma\right)-f\left(x_0, y_0, z_0\right) \\
& =\frac{\partial f}{\partial x}\left(P_0\right) t \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\left(P_0\right) t \cos \beta+\frac{\partial f}{\partial z}\left(P_0\right) t \cos \gamma+o(t)\left(t \rightarrow 0^{+}\right)
\end{aligned}
$$

除以 $t$ ，令 $t \rightarrow 0^{+}$即可．
注 对于平面情况，设 $f(x, y)$ 是区域 $D \subset R ^2$ 上的二元函数，则对于 $D$ 的每一点 $(x, y), f$ 沿单位向量 $l$ 的方向导数为

$$
\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \alpha
$$

如右图所示，$\alpha$ 是向量 $l$ 与 $x$ 轴正向（即向量 $i$ ）的夹角 
![图片](/uploads/2025-02/46715d.jpg)．

例题 0.1 设 $u=x y-y^2 z+z e ^x$ ，计算 $u$ 在点 $(1,0,2)$ 沿方向 $l =(2,1,-1)$ 的方向导数．

解 先求出 $u$ 在该点的三个偏导数值：

$$
\begin{aligned}
& \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(1,0,2)}=\left.\left(y+z e^x\right)\right|_{(1,0,2)}=2 e \\
& \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{(1,0,2)}=\left.(x-2 y z)\right|_{(1,0,2)}=1, \\
& \left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{(1,0,2)}=\left.\left(-y^2+e^x\right)\right|_{(1,0,2)}=e,
\end{aligned}
$$

然后求出给定方向的方向余弦为 $\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{6}}, \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{6}}, \cos \gamma=\frac{-1}{\sqrt{6}}$ ，代入用定理1的公式就得到

$$
\frac{\partial u}{\partial l}(1,0,2)=2 e \frac{2}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}}-e \frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}(3 e+1) .
$$

三．梯度
梯度是场论中的重要概念，并在许多方面得到使用．
以 $D \subset R ^3$ 上的数量场 $f: D \rightarrow R$ 为例，设 $f$ 对其各个变元连续可偏导，则称向量

$$
\operatorname{grad} f=\frac{\partial f}{\partial x} i+\frac{\partial f}{\partial y} j+\frac{\partial f}{\partial z} k
$$

为 $f$ 在点 $(x, y, z)$ 的梯度．这里的符号 grad 是 gradient 的缩写．此外，如 p ． 211 所示，在场论中经常使用一个微分算子 $\nabla$ ，定义为

$$
\nabla=\frac{\partial}{\partial x} i +\frac{\partial}{\partial y} j +\frac{\partial}{\partial z} k
$$

读作 nabla，它是 Hamilton ${ }^{(1)}$ 引进的，因此也称为 Hamilton 算子．于是梯度又可以

记为 $\operatorname{grad} f=\nabla f$ ．
如上所说，从数量场 $f$ 出发，可以在 $D$ 的每一点处得到一个梯度向量，这样就生成了一个向量场，称为数量场 $f$ 的梯度场．

为了解释梯度的意义，我们来讨论一个重要问题，即 $f$ 沿什么方向增长最快？
设方向 $l$ 为单位向量，则从关于方向导数的定理 1 ，并利用梯度记号，就得到

$$
\frac{\partial f}{\partial l}(x, y, z)=\operatorname{grad} f(x, y, z) \cdot l =|\operatorname{grad} f(x, y, z)| \cdot| l | \cdot \cos \theta
$$

其中 $| l |=1, \theta$ 是方向 $l$ 与梯度 $\operatorname{grad} f$ 的夹角，因此可见当 $\theta=0$ 时方向导数达到最大．这个最大值就等于 grad 的范数

$$
|\operatorname{grad} f|=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2}
$$

于是梯度向量 grad 的方向代表了 $f$ 增长最快的方向，而梯度的模长代表了方向导数的最大值 ${ }^{(1)}$ 。因此 gradient 在普通语言中也可翻译为坡度和倾斜度等。

补充内容：此外，梯度还与前面的等值面有密切联系。
对于数量场 $f: D \subset R ^3 \rightarrow R$ ，设 $f$ 连续可微，考虑其某个等值面

$$
S_c=\{(x, y, z) \in D \mid f(x, y, z)=c\}
$$

并设点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right) \in S_c$ ，则当 $f_x\left(P_0\right), f_y\left(P_0\right), f_z\left(P_0\right)$ 不全为 0 时，可以用隐函数存在定理知道在点 $P_0$ 的一个邻域内惟一地确定了一个曲面，而且该曲面在点 $P_0$的切平面为 $\left. d f\right|_{P_0}=0$ ，也就是

$$
f_x\left(P_0\right)\left(x-x_0\right)+f_y\left(P_0\right)\left(y-y_0\right)+f_z\left(P_0\right)\left(z-z_0\right)=0
$$

用梯度的语言来说，即等值面上梯度不等于 $0$ 的点存在切平面，而梯度就是该切平面的法向量（之一）。

举一个二维情况的最简单例子，设有 $f=x^2+y^2$ ，则如右图所示，其等值线就是以原点为中心的同心圆。在图中的某点处用一个向量表示出梯度方向（但该向量的模并不等于梯度的模），同时作出了等值线在该点的切线，它与梯度方向是正交的。

具 体 来 说，对于点 $\left(x_0, y_0\right) \neq(0,0), c=$ $\sqrt{x_0^2+y_0^2}>0$ ，在该点的梯度向量为 $\operatorname{grad} f=$ $\left(2 x_0, 2 y_0\right)$ ，过该点的切线为

$$
x_0\left(x-x_0\right)+y_0\left(y-y_0\right)=x_0 x+y_0 y-c^2=0
$$

![图片](/uploads/2025-02/04e198.jpg)
 
 下面是场论中的一个典型例子。
例题 0.2 设在空间原点处 0 有一个点电荷 $q$ ，在真空中产生一个静电场，在空间任意点 $(x, y, z)$ 处的电位是

$$
V=\frac{q}{r}, \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
$$

这样就在 $R ^3-\{ 0 \}$ 上定义了一个数量场，其梯度是

$$
\operatorname{grad} V=-\frac{q}{r^2} \cdot \frac{x i +y j +z k }{r}=-\frac{q}{r^3}(x i +y j +z k )
$$

可以看出，由上述点电荷生成的静电场的电场强度 $E$ 与 $V$ 之间的关系是

$$
E =-\operatorname{grad} V
$$

这就是由数量场生成一个向量场的具体例子．

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