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方向导数和梯度

## 20.2 方向导数和梯度

> 《数学分析》是给数学系的学生使用，很多内容较为抽象，如果感觉较难理解，可以参考《高等数学》里 [方向导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=390) 的教材， 高等数学追求的是通俗易懂，不过于强调严谨性。

本节的内容可以说是场论的开始．进一步的内容则见本书第二十四章的第5节．这里需要指出场的概念来自于物理学，例如电场，磁场，引力场，温度场，电位场等等．但同时也提供了许多有用的数学概念．数学分析只是介绍各种场所需要的一些基本数学工具．

## 一．数量场
场有两种：数量场和向量场．现在先介绍数量场．
设 $D \subset R ^n$ ，给定 $f: D \rightarrow R$ ，则称 $f$ 是 $D$ 上的一个数量场．
对于给定的数量场 $f$ 和常数 $c$ ，称

$$
S=\{x \in D \mid f(x)=c\}
$$

为数量场 $f$ 的一个等值面（等量面）．若 $n=2$ ，则称为等量线或等值线．例如天气预报中的等压面，等温面，地形图中的等高线都是非常有用的工具．

最常用的数量场是二维的平面场和三维的空间场．
类似地如在一个区域的每一个点处定义一个向量，则就得到向量场．

## 二．方向导数

点击查看高等数学里[方向导数的几何意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=390)

二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的偏导数 $z_x, z_y$ 只描述了 $z$ 在 $x$ 方向和 $y$方向的变化率．现在考虑 $z$ 沿着任意方向 $l$ 的变化率，这里将方向 $l$ 与 $-l$ 作为两个方向看待，这样就可以引入方向导数为下列极限：
$$
\frac{\partial f}{\partial l }\left(P_0\right)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(P_0+t l \right)-f\left(P_0\right)}{t}
$$

若极限存在的话．也可以将上述方向导数简记为 $f_l$ 或 $z_l$ ．
这里要指出，在各种教科书和其他文献中对于方向导数的定义不完全一致。如上面的定义可见，方向导数不仅仅与 $l$ 所表示的方向有关，而且还和该向量的长度 $| l |$ 有关．方向导数的另一种定义中则规定 $l$ 必须是单位向量，即 $| l |=1$ ．下面我们就采取这样的定义。

对于 $n=1$ ，则方向导数就成了 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的两个单侧导数，它们可以不相等。因此方向导数即使在坐标轴方向也与偏导数概念不一样。函数在某个点沿所有方向的方向导数都存在时，并不保证在该点存在两个偏导数．例如 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在点 $(0,0)$ 就是如此．

方向导数的以上概念和定义可以推广到一般的 $n$ 元函数．下面以 $n=3$ 为例介绍方向导数与可微之间的关系．它同时也表明，在可微条件下，沿坐标轴方向的偏导数同时也解决了沿任何方向的方向导数计算问题．

定理 0.1 设 $z=f(x, y, z)$ 于点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 可微，则 $f$ 沿任何方向 $l =$ （ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 的方向导数都存在，且有计算公式
$$
\frac{\partial f}{\partial l}\left(P_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(P_0\right) \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial f}{\partial z}\left(P_0\right) \cos \gamma
$$

证 从条件可以直接写出

$$
\begin{aligned}
f\left(P_0+t l \right)- & f\left(P_0\right)=f\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \cos \beta, z_0+t \cos \gamma\right)-f\left(x_0, y_0, z_0\right) \\
& =\frac{\partial f}{\partial x}\left(P_0\right) t \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\left(P_0\right) t \cos \beta+\frac{\partial f}{\partial z}\left(P_0\right) t \cos \gamma+o(t)\left(t \rightarrow 0^{+}\right)
\end{aligned}
$$

除以 $t$ ，令 $t \rightarrow 0^{+}$即可．
注 对于平面情况，设 $f(x, y)$ 是区域 $D \subset R ^2$ 上的二元函数，则对于 $D$ 的每一点 $(x, y), f$ 沿单位向量 $l$ 的方向导数为

$$
\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \alpha
$$

如右图所示，$\alpha$ 是向量 $l$ 与 $x$ 轴正向（即向量 $i$ ）的夹角 
![图片](/uploads/2025-02/46715d.jpg)．

例题 0.1 设 $u=x y-y^2 z+z e ^x$ ，计算 $u$ 在点 $(1,0,2)$ 沿方向 $l =(2,1,-1)$ 的方向导数．

解 先求出 $u$ 在该点的三个偏导数值：

$$
\begin{aligned}
& \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(1,0,2)}=\left.\left(y+z e^x\right)\right|_{(1,0,2)}=2 e \\
& \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{(1,0,2)}=\left.(x-2 y z)\right|_{(1,0,2)}=1, \\
& \left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{(1,0,2)}=\left.\left(-y^2+e^x\right)\right|_{(1,0,2)}=e,
\end{aligned}
$$

然后求出给定方向的方向余弦为 $\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{6}}, \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{6}}, \cos \gamma=\frac{-1}{\sqrt{6}}$ ，代入用定理1的公式就得到

$$
\frac{\partial u}{\partial l}(1,0,2)=2 e \frac{2}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\s

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