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方向导数

## 20.2 方向导数和梯度

> 《数学分析》是给数学系的学生使用，很多内容较为抽象，如果感觉较难理解，可以参考《高等数学》里 [方向导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=390) 的教材， 高等数学追求的是通俗易懂，不过于强调严谨性。
 个点处定义一个向量，则就得到向量场．

##  方向导数

在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率．这就是本节所要讨论的方向导数．

**定义**  设三元函数 $f$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的某邻域 $U\left(P_0\right) \subset \mathbf{R}^3$ 有定义，$l$ 为从点 $P_0$ 出发的射线，$P(x, y, z)$ 为 $\boldsymbol{l}$ 上且含于 $U\left(P_0\right)$ 内的任一点，以 $\rho$ 表示 $P$ 与 $P_0$ 两点间的距离．若极限

$$
\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{f(P)-f\left(P_0\right)}{\rho}=\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta_l f}{\rho}
$$

存在，则称此极限为函数 $f$ 在点 $P_0$ 沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的**方向导数**，记作

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}, f_l\left(P_0\right) \text { 或 } f_l\left(x_0, y_0, z_0\right) \text {. }
$$

容易看到，若 $f$ 在点 $P_0$ 存在关于 $x$ 的偏导数，则 $f$ 在点 $P_0$ 沿 $x$ 轴正向的方向导数恰为

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{P_0}=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{P_0} .
$$

当 $\boldsymbol{l}$ 的方向为 $x$ 轴的负方向时，则有

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}=-\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{P_0}
$$

沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出．

**定理**  若函数 $f$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 可微，则 $f$ 在点 $P_0$ 沿任一方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数都存在，且

$$
f_{\imath}\left(P_0\right)=f_x\left(P_0\right) \cos \alpha+f_y\left(P_0\right) \cos \beta+f_z\left(P_0\right) \cos \gamma, ...(1)
$$

其中 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向余弦．

![图片](/uploads/2025-11/6c99f2.jpg){WIDTH=300PX}

证 设 $P(x, y, z)$ 为 $\boldsymbol{l}$ 上任一点，于是（见图17－8）

$$
\left.\begin{array}{l}
x-x_0=\Delta x=\rho \cos \alpha, \\
y-y_0=\Delta y=\rho \cos \beta, \\
z-z_0=\Delta z=\rho \cos \gamma .
\end{array}\right\} ...(2)
$$

由假设 $f$ 在点 $P_0$ 可微，则有

$$
\begin{aligned}
& f(P)-f\left(P_0\right) \\
= & f_x\left(P_0\right) \Delta x+f_y\left(P_0\right) \Delta y+f_z\left(P_0\right) \Delta z+o(\rho) .
\end{aligned}
$$

上式左、右两边皆除以 $\rho$ ，并根据（2）式可得

$$
\begin{aligned}
\frac{f(P)-f\left(P_0\right)}{\rho} & =f_x\left(P_0\right) \frac{\Delta x}{\rho}+f_y\left(P_0\right) \frac{\Delta y}{\rho}+f_z\left(P_0\right) \frac{\Delta z}{\rho}+\frac{o(\rho)}{\rho} \\
& =f_x\left(P_0\right) \cos \alpha+f_y\left(P_0\right) \cos \beta+f_z\left(P_0\right) \cos \gamma+\frac{o(\rho)}{\rho} .
\end{aligned}
$$

因为当 $\rho \rightarrow 0$ 时，上式右边末项 $\frac{o(\rho)}{\rho} \rightarrow 0$ ，于是左边极限存在且有

$$
\begin{aligned}
f_l\left(P_0\right) & =\lim _{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{f(P)-f\left(P_0\right)}{\rho} \\
& =f_x\left(P_0\right) \cos \alpha+f_y\left(P_0\right) \cos \beta+f_z\left(P_0\right) \cos \gamma
\end{aligned}
$$

对于二元函数 $f(x, y)$ 来说，相应于（1）的结果是

$$
f_l\left(P_0\right)=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta,
$$

其中 $\alpha, \beta$ 是平面向量 $\boldsymbol{l}$ 的方向角．

`例` 设 $f(x, y, z)=x+y^2+z^3$ ，求 $f$ 在点 $P_0(1,1,1)$ 沿方向 $\boldsymbol{l}:(2,-2,1)$ 的方向导数．
解 易见 $f$ 在点 $P_0$ 可微。故由 $f_x\left(P_0\right)=1, f_y\left(P_0\right)=2, f_z\left(P_0\right)=3$ 及方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向余弦

$$
\begin{aligned}
& \cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\frac{2}{3}, \\
& \cos \beta=\frac{-2}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=-\frac{2}{3}, \\
& \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\frac{1}{3},
\end{aligned}
$$

可按公式（1）求得 $f$ 沿方向 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数为

$$
f_l\left(P_0\right)=1 \cdot \frac{2}{3}+2\left(-\frac{2}{3}\right)+3 \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3} .
$$

`例` 设 $u=x y-y^2 z+z e ^x$ ，计算 $u$ 在点 $(1,0,2)$ 沿方向 $l =(2,1,-1)$ 的方向导数．

解 先求出 $u$ 在该点的三个偏导数值：

$$
\begin{aligned}
& \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(1,0,2)}=\left.\left(y+z e^x\right)\right|_{(1,0,2)}=2 e \\
& \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{(1,0,2)}=\left.(x-2 y z)\right|_{(1,0,2)}=1, \\
& \left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{(1,0,2)}=\left.\left(-y^2+e^x\right)\right|_{(1,0,2)}=e,
\end{aligned}
$$

然后求出给定方向的方向余弦为 $\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{6}}, \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{6}}, \cos \gamma=\frac{-1}{\sqrt{6}}$ ，代入用定理1的公式就得到

$$
\frac{\partial u}{\partial l}(1,0,2)=2 e \frac{2}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}}-e \frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}(3 e+1) .
$$

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