最后更新: 2025-12-04 18:03 查看: 367 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

曲面的法向量，法线和切平面

## 曲面的法向量，法线和切平面

**本文为数学分析版本，如果你学的是《高等数学》建议查看 [曲面的法向量，法线和切平面(高数版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)**

若将曲线视为点的运动轨迹，则曲面就可以看成曲线的运动轨迹．
曲面方程一般表示为

$$
F(x, y, z)=0, \quad(x, y, z) \in D,
$$

这里只考虑 $F$ 在 $D$ 上具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵 $\left(F_x, F_x, F_z\right)$ 在曲面上恒为满秩，即 $F_x^2+F_y^2+F_z^2 \neq 0$ 的情况。

记以上方程确定的曲面为 $S$ ，并设 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 为 $S$ 上一点．考察曲面 $S$ 上过点 $P_0$的任意一条光滑曲线 $\Gamma$ ：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(t), \\
y=y(t), \\
z=z(t) .
\end{array}\right.
$$

并设 $x_0=x\left(t_0\right), y_0=y\left(t_0\right), z_0=z\left(t_0\right)$ ．由于曲线 $\Gamma$ 在 $S$ 上，因此

$$
F(x(t), y(t), z(t)) \equiv 0
$$

对 $t$ 在 $t=t_0$ 求导就得到

$$
F_x\left(P_0\right) x^{\prime}\left(t_0\right)+F_{,}\left(P_0\right) y^{\prime}\left(t_0\right)+F_z\left(P_0\right) z^{\prime}\left(t_0\right)=0 .
$$

这说明，曲面 $S$ 上过 $P_0$ 的任意一条光滑曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切线（因为切向量为 $\left.\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)\right)$ 都与向量

$$
\boldsymbol{n}=\left(F_x\left(P_0\right), F_{,}\left(P_0\right), F_z\left(P_0\right)\right)
$$

垂直，因此这些切线都在一张平面 $\pi$ 上．
平面 $\pi$ 称为曲面 $S$ 在点 $P_0$ 的切平面，它的法向量 $\boldsymbol{n}$ 称为 $S$ 在 $P_0$ 点的法向量（见图 12．5．4）．这样，$S$ 在点 $P_0$ 的**切平面方程**可以表示为

![图片](/uploads/2025-10/c462f7.jpg){width=300px}
 
 $$
 \boxed{
F_x\left(P_0\right)\left(x-x_0\right)+F_{,}\left(P_0\right)\left(y-y_0\right)+F_z\left(P_0\right)\left(z-z_0\right)=0 .
}
$$

过 $P_0$ 点且与切平面垂直的直线称为曲面 $S$ 在 $P_0$ 点的**法线**，它的方程显然为

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{F_x\left(P_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(P_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(P_0\right)},
}
$$

这是空间中过 $P_0$ 点，并以向量 $\operatorname{grad} F\left(P_0\right)$ 为方向的直线 。

如果一张曲面具有连续变动的切平面，即切平面位置随切点在曲面上的位置变动而连续变动，那么称该曲面为**光滑曲面**．

于是，若曲面 $S$ 由方程

$$
F(x, y, z)=0, \quad(x, y, z) \in D
$$

确定，那么当 $F_x, F_y, F_z$ 都在 $D$ 上连续，且在曲面上 $F_x^2+F_y^2+F_z^2 \neq 0$ 时，$S$ 是光滑曲面．

## $z=f(x,y)$ 表示曲面
若曲面 $S$ 的方程可显式表示为

$$
z=f(x, y),
$$

也就是

$$
F(x, y, z)=f(x, y)-z=0,
$$

且 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点可微，则曲面 $S$ 在 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 点（其中 $\left.z_0=f\left(x_0, y_0\right)\right)$ 的切平面方程即为

$$
\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)\left(y-y_0\right)-\left(z-z_0\right)=0 .
$$

将它与

$$
f(x, y)-f\left(x_0, y_0\right)=f_x\left(x_0, y_0\right)\left(x-x_0\right)+f_y\left(x_0, y_0\right)\left(y-y_0\right)+o\left(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\right)
$$

比较一下就知道：若 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点可微，则在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点附近可以用曲面 $S$ 在 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 点的切平面近似代替它，其误差是 $\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}$ 的高阶无穷小．

相应地，曲面 $S$ 在 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 点的法线方程为

$$
\frac{x-x_0}{\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right)}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)}=\frac{z-z_0}{-1} .
$$

曲面方程也可以表示成参数形式：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(u, v), \\
y=y(u, v), \quad(u, v) \in D, \\
z=z(u, v),
\end{array}\right.
$$

其中 $D$ 是 $\mathbf{R}^2$ 中的区域，它称为**曲面的参数方程**．它也可以表为向量形式

$$
\boldsymbol{r}(u, v)=x(u, v) \boldsymbol{i}+y(u, v) \boldsymbol{j}+z(u, v) \boldsymbol{k}, \quad(x, y) \in D .
$$

以下我们假设 Jacobi 矩阵

$$
\boldsymbol{J}=\left(\begin{array}{ll}
x_u & x_v \\
y_u & y_v \\
z_u & z_v
\end{array}\right)
$$

在 $D$ 上恒为满秩．

记由上述参数形式表示的曲面为 $

其他版本
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