最后更新: 2025-02-06 17:23 查看: 17 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

曲面的法向量，法线和切平面

## 曲面的法向量，法线和切平面

首先注意，曲面在某个点处的法向量，法线和切平面实际上是一回式．若知道法向量 $n$ ，也就可以写出曲面在该点的法线方程和切平面方程．反之，如有法线方程或切平面方程，也就可以从中读出法向量 $n$ ．

曲面的数学表示有几种方式．我们讲过去最熟悉的曲面表示作为第一种．
（i）由 $z=f(x, y)$ 给定的曲面，这一小节将对于以其他方式给出的曲面介绍法向量，法线和切平面的计算方法．

本小节主要介绍曲面的另外两种表示方式。
（ii）由方程 $F(x, y, z)=0$ 给定的曲面．
根据隐函数理论，设在某点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处 $F\left(P_0\right)=0$ ．若 $F$ 在该点连续可微，且 $F_z\left(P_0\right) \neq 0$ ，则从隐函数存在定理知道在点 $P_0$ 的一个邻域中存在惟一的隐函数 $z=f(x, y)$ ，满足 $z_0=f\left(x_0, y_0\right), f$ 于 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域内连续可微，且有偏导数公式

$$
z_x=-\frac{F_x}{F_z}, \quad z_y=-\frac{F_y}{F_z} .
$$

于是我们已经将情况（ii）归结为情况（i），我们知道法向量为
$$
n = \pm\left.\left(-\frac{F_x}{F_z},-\frac{F_y}{F_z},-1\right)\right|_{P_0}
$$

或者写成对称的形式，即

$$
n = \pm\left.\left(F_x, F_y, F_z\right)\right|_{P_0}
$$

这时在 $F_x\left(P_0\right), F_y\left(P_0\right), F_z\left(P_0\right)$ 中只要有一个不等于 0 都可以得到相同的结果．
更为方便的计算方法是对于 $F(x, y, f(x, y)) \equiv 0$ 求全微分，得到

$$
F_x d x+F_y d y+F_z d z=0
$$

令 $x=x_0, y=y_0, z=f\left(x_0, y_0\right)=z_0$ 代入，且改写 $d x=x-x_0, d y=y-y_0$ ， $d z=z-y_0$ ，就得到过 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的切平面方程

$$
F_x\left(P_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(P_0\right)\left(y-y_0\right)+F_z\left(P_0\right)\left(z-z_0\right)=0 .
$$

这与上面的结果相同．

>注 这里要注意，同样的一个等式$F_x d x+F_y d y+F_z d z=0$
在曲线和曲面两种情况的意义是不同的．

对于由 $F(x, y, z)=0$ 和 $G(x, y, z)=0$ 确定的曲线，如前所说在一定的条件下有 $y=y(x), z=z(x)$ ，因此 $d y=y^{\prime}(x) d x, d z=z^{\prime}(x) d x$ ．代入上式得到

$$
F_x+F_y y^{\prime}(x)+F_z z^{\prime}(x)=0
$$

它的意义是向量 $\left(F_x, F_y, F_z\right)$ 与切向量正交．若将 $d x, d y, d z$ 改写为 $x-x_0, y-$ $y_0, z-z_0$ ，则 $d y=y^{\prime}(x) d x, d z=z^{\prime}(x) d z$ 就是切线方程，点 $(x, y, z)$ 在切线上．
对于由 $F(x, y, z)=0$ 确定的曲面，如前所说在一定的条件下有 $z=f(x, y)$ ，因此有 $d z=z_x d x+z_y d y$ ．若将

$$
z_x=-\frac{F_x}{F_z}, z_y=-\frac{F_y}{F_z}
$$

代入，就得到等价的等式 $F_x d x+F_y d y+F_z d z=0$ ．
另一方面，若将 $d x, d y, d z$ 改写为 $x-x_0, y-y_0, z-z_0$ ，则 $d z=z_x d x+z_y d y$就是切平面．因此同样在 $F_x d x+F_y d y+F_z d z=0$ 中将 $d x, d y, d z$ 改写为 $x-x_0, y-y_0, z-z_0$ ，则也得到切平面方程，而点 $(x, y, z)$ 在切平面上也就是向量 $\left(x-x_0, y-y_0, z-z_0\right)$ 在切平面上．

（iii）以双参数形式给出的曲面方程为

$$
x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v)
$$

其中 $(u, v)$ 就是给出曲面的两个参数。设上述三个函数在 $u v$ 平面上的一个区域 $D$上有定义，并对 $u, v$ 存在连续偏导数。

如果将地球看为中心取为原点的一个球体，则球面上的经纬度就是球面的双参数形式．但在数学上则用球面坐标 $\varphi, \theta$ 将球心在原点半径为 $R$ 的球面表示为

$$
x=R \sin \varphi \cos \theta, y=R \sin \varphi \sin \theta, z=R \cos \varphi
$$

（注意要区分开球坐标和球面坐标，它们的含义是不同的．）
一般而言，以 $u, v$ 为自变量的三个函数 $x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v)$ 是否能够在空间的某个点的邻近确定某个曲面，这可以用隐函数理论解决．

设由参数点 $\left(u_0, v_0\right) \in D$ 确定三维空间的某一个点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ，其中 $x_0=$ $x\left(u_0, v_0\right), y_0=y\left(u_0, v_0\right), z_0=z\left(u_0, v_0\right)$ 。写出 $x, y, z$ 关于 $u, v$ 的 Jacobi 矩阵

$$
\left(\begin{array}{ll}
x_u & x_v \\
y_u & y_v \\
z_u & z_v
\end{array}\right)
$$

并设在 $\left(u_0, v_0\right)$ 处矩阵的秩为 2 ．例如，这时设子式

$$
\left.\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|_{\left(u_0, v_0\right)} \neq 0
$$

则就可从 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ 在点 $\left(u_0, v_0, x_0, y_0\right)$ 的一个邻域内惟一确定出反函数组 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ ，满足 $u_0=u\left(x_0, y_0\right), v_0=v\left(x_0, y_0\right)$ ．这样就得到曲面方程
$$
z=z(u(x, y), v(x, y))
$$

且经过点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ．
为了求曲面的法向量或切平面，可以用 $\S 18.2$ 中的切平面的思想．这就是固定 $v=v_0$ ，则 $x=x\left(u, v_0\right), y=y\left(u, v_0\right), z=z\left(u, v_0\right)$ 确定了曲面上的一条参数曲线，它在点 $P_0$ 的切向量是

$$
\tau _u=\left.\left(x_u, y_u, z_v\right)\right|_{u=u_0, v=v_0}
$$

同样固定 $u=u_0$ ，则 $x=x\left(u_0, v\right), y=y\left(u_0, v\right), z=z\left(u_0, v\right)$ 确定了曲面上的一条参数曲线，它的点 $P_0$ 切向量是

$$
\tau _v=\left.\left(x_v, y_v, z_v\right)\right|_{u=u_0, v=v_0}
$$

根据 $\S 18.2$ 中刻画切平面特征的定理 2 （教科书 p .45 ），在曲面于点 $P_0$ 有切平面时（即 $z=z(x, y)$ 于 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微），经过该点的任意一条光滑曲线的切向量都在该切平面上．于是上述 $\tau_u$ 和 $\tau_v$ 都在该切平面上，也就是与切平面的法向量正交．

由于 $\tau _u$ 和 $\tau _v$ 就是前述 Jacobi 矩阵的两个列向量，因此在该矩阵于点 $\left(u_0, v_0\right)$的秩为 2 的前提下，向量 $\tau _u$ 和 $\tau _v$ 线性无关，因此它们的向量积 $\tau _u \times \tau _v$ 就完全决定了切平面的法方向向量 $n$ ．这样就得到公式

$$
n = \pm\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & x_v
\end{array}\right|
$$
另一种方法是全微分法，它直接确定切平面，然后从切平面方程中看出其法向量，并可写出法线方程。（这与上面的方法恰好相反．）

首先从前面的三个方程 $x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v)$ 写出方程组

$$
\begin{aligned}
d x & =x_u d u+x_v d v \\
d y & =y_u d u+y_v d v \\
d z & =z_u d u+z_v d v
\end{aligned}
$$

然后将 $d x, d y, d z$ 改写为 $x-x_0, y-y_0, z-z_0$ ，则可见它就是 $\tau _u$ 和 $\tau _v$ 的线性组合，因此由这三个向量组成的行列式等于 0 ，这就是

$$
\left|\begin{array}{ccc}
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{array}\right|=0
$$

其中 $u=u_0, v=v_0$ ．可以看出，这个行列式就是曲面经过点 $P_0$ 的切平面方程．将它展开得到的 $x, y, z$ 前的系数就决定了法向量方向．

`例` 求曲面 $z=x^2+y^2-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的法向量的方向余弦，并求出其法线方程和切平面方程。

解 这是最熟悉的曲面方程．可以直接计算 $z_x, z_y$ 后得到 $n = \pm\left(z_x, z_y,-1\right)$ ，然后再做下去。从略。

这里用前面说的全微分方法来做．先从曲面方程写出全微分

$$
d z=2 x d x+2 y d y
$$

然后用 $x=2, y=1, d x=x-2, d y=y-1, d z=z-4$ 代入得到

$$
z-4=4(x-2)+2(y-1)
$$

整理后为

$$
4 x+2 y-z=6
$$

这就是所求的切平面方程．从中又可直接读出 $n = \pm(4,2,-1)$ ．它的方向余弦是

$$
\cos \alpha= \pm \frac{4}{\sqrt{21}}, \cos \beta= \pm \frac{2}{\sqrt{21}}, \cos \gamma=\mp \frac{1}{\sqrt{21}}
$$

法线方程是

$$
\frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-4}{-1}
$$

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