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曲线的切向量、切线和法平面

## 曲线的切向量、切线和法平面
一条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹．取定一个直角坐标系，设质点在时刻 $t$ 位于点 $P(x(t), y(t), z(t))$ 处，也就是它在任一时刻的坐标可用

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(t) \\
y=y(t), \quad a \leqslant t \leqslant b \\
z=z(t)
\end{array}\right.
$$

来表示，随着 $t$ 的连续变动，相应点 $(x, y, z)$ 的轨迹就是空间中的一条曲线．
这种表达式称为空间曲线的参数方程，它也可以写成向量的形式

$$
\boldsymbol{r}(t)=x(t) \boldsymbol{i}+y(t) \boldsymbol{j}+z(t) \boldsymbol{k}, \quad a \leqslant t \leqslant b
$$

**定义12.5.1**  若 $\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=x^{\prime}(t) \boldsymbol{i}+y^{\prime}(t) \boldsymbol{j}+z^{\prime}(t) \boldsymbol{k}$ 在 $[a, b]$ 上连续，并且 $\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \neq \boldsymbol{0}, t \in[a$ ， $b]$ ，则称

$$
\boldsymbol{r}(t)=x(t) \boldsymbol{i}+y(t) \boldsymbol{j}+z(t) \boldsymbol{k}, \quad a \leqslant t \leqslant b
$$

所确定的空间曲线为**光滑曲线**。

> 光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动。

记由以上参数方程所确定的光滑曲线为 $\Gamma$ ．现在来讨论 $\Gamma$ 上一点 $P_0\left(x\left(t_0\right), y\left(t_0\right), z\left(t_0\right)\right)$ 处的切线（见图12．5．1）．空间曲线的切线的定义与平面的情况相同，即定义为割线的极限位置．

![图片](/uploads/2025-10/5522a9.jpg)
 
记 $x_0=x\left(t_0\right), y_0=y\left(t_0\right), z_0=z\left(t_0\right)$ ．取 $\Gamma$ 上一点 $P_1(x(t)$ ， $y(t), z(t))$ ，则过 $P_0$ 和 $P_1$ 的割线方程为

$$
\frac{x-x_0}{x(t)-x\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{y(t)-y\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{z(t)-z\left(t_0\right)} .
$$

将其改写为

$$
\frac{x-x_0}{\frac{x(t)-x\left(t_0\right)}{t-t_0}}=\frac{y-y_0}{\frac{y(t)-y\left(t_0\right)}{t-t_0}}=\frac{z-z_0}{\frac{z(t)-z\left(t_0\right)}{t-t_0}},
$$

再令 $t \rightarrow t_0$ ，就得到曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切线方程

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{x^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime}\left(t_0\right)}  ...(1)
}
$$

向量 $\boldsymbol{r}^{\prime}\left(t_0\right)=\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)$ 就是曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切线的一个方向向量，它也称为 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的**切向量**．

过 $P_0$ 点且与切线垂直的平面称为曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的**法平面**．显然，该法平面的一个法向量就是 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切向量，因此曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的法平面方程可写成

$$
\boxed{
x^{\prime}\left(t_0\right)\left(x-x_0\right)+y^{\prime}\left(t_0\right)\left(y-y_0\right)+z^{\prime}\left(t_0\right)\left(z-z_0\right)=0,
}
$$

或写成等价的向量形式

$$
r^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)=0 .
$$

特别地，如果曲线的方程为

$$
y=f(x), z=g(x),
$$

把它看成以 $x$ 为参数的参数方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x \\
y=f(x) \\
z=g(x)
\end{array}\right.
$$

即得到它在 $P_0\left(x_0, f\left(x_0\right), g\left(x_0\right)\right)$ 点的切线方程为

$$
\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-f\left(x_0\right)}{f^{\prime}\left(x_0\right)}=\frac{z-g\left(x_0\right)}{g^{\prime}\left(x_0\right)}
$$

法平面方程为

$$
\left(x-x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(y-f\left(x_0\right)\right)+g^{\prime}\left(x_0\right)\left(z-g\left(x_0\right)\right)=0 .
$$

空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交．设曲线 $\Gamma$ 的方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
F(x, y, z)=0 \\
G(x, y, z)=0
\end{array}\right.
$$
$P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 为 $\Gamma$ 上一点，且 Jacobi 矩阵

$$
\boldsymbol{J}=\left(\begin{array}{lll}
F_x & F_y & F_z \\
G_x & G_y & G_z
\end{array}\right)
$$

在 $P_0$ 点是满秩的，即 $\operatorname{rank} \boldsymbol{J}=2$ ．我们来求曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切线与法平面方程．
由于矩阵 $\boldsymbol{J}$ 在 $P_0$ 点满秩，不失一般性，假设在 $P_0$ 点成立

$$
\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}=\left|\begin{array}{ll}
F_y & F_z \\
G_y & G_z
\end{array}\right| \neq 0 .
$$

由隐函数存在定理，在 $P_0$ 点附近惟一确定了满足 $y_0=f\left(x_0\right), z_0=g\left(x_0\right)$ 的隐函数

$$
y=f(x), \quad z=g(x), \quad x \in O\left(x_0, \varepsilon\right) .
$$

且有

$$
f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\left(P_0\right) / \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\left(P_0\right), \quad g^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\left(P_0\right) / \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\left(P_0\right) .
$$

于是，曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切线方程为

$$
\frac{x-x_0}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\left(P_0\right)}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\left(P_0\right)}=\frac{z-z_0}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\left(P_0\right)} ;
$$

法平面方程为

$$
\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\left(P_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\left(P_0\right)\left(y-y_0\right)+\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\left(P_0\right)\left(z-z_0\right)=0 .
$$

由空间解析几何知道，由一点及两个线性无关（即非平行）的向量确定一张过该点的平面（称为这两个向量张成的平面），平面上的任一向量都可以表为这两个向量的线性组合．

**定理 12.5.1** 曲线 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.$ 在 $P_0$ ，点的法平面就是由梯度向量 $\operatorname{grad} F\left(P_0\right)$ 和
$\operatorname{grad} G\left(P_0\right)$ 张成的过 $P_0$ 的平面．
证 仍记该曲线为 $\Gamma$ ．由于矩阵 $\boldsymbol{J}=\left(\begin{array}{lll}F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z\end{array}\right)$ 在 $P_0$ 点满秩，因此

$$
\operatorname{grad} F\left(P_0\right)=\left(F_x\left(P_0\right), F_y\left(P_0\right), F_z\left(P_0\right)\right)
$$

与

$$
\operatorname{grad} G\left(P_0\right)=\left(G_x\left(P_0\right), G,\left(P_0\right), G_z\left(P_0\right)\right)
$$

线性无关，因此它们可以张成一个过 $P_0$ 点的平面 $\pi$ ．
要证明平面 $\pi$ 就是曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的法平面，只要证明 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切向量与 $\pi$垂直，即与 $\operatorname{grad} F\left(P_0\right)$ 和 $\operatorname{grad} G\left(P_0\right)$ 均垂直即可。

因为曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切向量为

$$
\tau=\left(\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\left(P_0\right), \frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\left(P_0\right), \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\left(P_0\right)\right),
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\tau \cdot \operatorname{grad} F\left(P_0\right) & =F_x\left(P_0\right) \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\left(P_0\right)+F_y\left(P_0\right) \frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\left(P_0\right)+F_z\left(P_0\right) \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\left(P_0\right) \\
& =\left|\begin{array}{lll}
F_x\left(P_0\right) & F_y\left(P_0\right) & F_z\left(P_0\right) \\
F_x\left(P_0\right) & F_y\left(P_0\right) & F_z\left(P_0\right) \\
G_x\left(P_0\right) & G_y\left(P_0\right) & G_z\left(P_0\right)
\end{array}\right|=0 .
\end{aligned}
$$

同理 $\boldsymbol{\tau} \cdot \operatorname{grad} G\left(P_0\right)=0$ ．因此平面 $\pi$ 就是曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的法平面．
证毕
这个定理刻画了曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的法平面的几何性质．

`例`一质点一方面按逆时针方向以等角速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴旋转，另一方面又沿 $z$轴正向以匀速 $c$ 上升，已知时刻 $t=0$ 时质点在点 $P_0(a, 0,0)(a>0)$ 处，求
（1）该质点的运动轨迹 $\Gamma$ ；
（2）该质点在时刻 $t$ 的速度；
（3）当 $\omega=1$ 时，曲线 $\Gamma$ 在 $t=\frac{\pi}{2}$ 时所对应点处的切线与法平面方程．
解（1）设在时刻 $t$ ，质点在 $P(x, y, z)$ 处，$\theta$ 为 $O M$ 与 $x$ 轴正向的夹角（如图 12．5．2所示）．

![图片](/uploads/2025-10/48374b.jpg)
 
 
因为质点按逆时针方向以等角速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴旋转，而且 $t=0$ 时质点在 $P_0(a, 0,0)$ 处，所以

$$
\theta=\omega t,
$$

于是

$$
\begin{aligned}
& x=a \cos \theta=a \cos \omega t, \\
& y=a \sin \theta=a \sin \omega t .
\end{aligned}
$$

又因为质点以匀速 $c$ 上升，于是

$$
z=c t .
$$

那么质点运动的轨迹方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos \omega t, \\
y=a \sin \omega t, \\
z=c t .
\end{array} \quad t \geqslant 0\right.
$$

这样的曲线称为**螺旋线**．
（2）我们将质点的轨迹方程用向量值函数写出来就是

$$
\boldsymbol{r}(t)=(a \cos \omega t, a \sin \omega t, c t)
$$

那么质点的运动速度就为

$$
\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=(-a \omega \sin \omega t, a \omega \cos \omega t, c) .
$$

（3）当 $\omega=1$ 时，曲线 $\Gamma$ 的方程即为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos t, \\
y=a \sin t, \\
z=c t,
\end{array}\right.
$$

而 $t=\frac{\pi}{2}$ 时对应曲线上的点 $M_0\left(0, a, \frac{c \pi}{2}\right)$ ．由于 $\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=(-a \sin t, a \cos t, c)$ ，从而

$$
r^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=(-a, 0, c) .
$$

因此曲线 $\Gamma$ 在 $M_0$ 点的切线方程为

$$
\frac{x-0}{-a}=\frac{y-a}{0}=\frac{z-\frac{c \pi}{2}}{c},
$$

或

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{-a}=\frac{z-\frac{c \pi}{2}}{c}, \\
y=a .
\end{array}\right.
$$

曲线 $\Gamma$ 在 $M_0$ 点的法平面方程为

$$
-a x+c z-\frac{c^2 \pi}{2}=0
$$

`例`求两柱面 $x^2+y^2=1, x^2+z^2=1$ 的交线在点 $P_0\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$的切线方程和法平面方程（参见图 2）．

![图片](/uploads/2025-02/f7aa7e.jpg)
 
解 1 从方程组可以直接解出 $y, z$ 为 $x$ 的函数．对于点 $P_0$ ，取 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 即可，这样就有

$$
y=\sqrt{1-x^2}, \quad z=\sqrt{1-x^2}
$$

这样就可以计算出 $\left(1, y^{\prime}(x), z^{\prime}(x)\right), 0<x \leqslant 1$ ．用 $x=1 / \sqrt{2}$ 代入得到切向量

$$
\tau =\left(1,-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
$$

为方便起见，可以改取 $\tau =(1,-1,-1)$ ．

于是切线方程为

$$
\frac{x-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{y-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-1}=\frac{z-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-1}
$$

同时法平面方程为

$$
\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\left(y-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\left(z-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=x-y-z+\frac{1}{\sqrt{2}}=0
$$

解 2 用参数方程也很方便．令

$$
x=\cos t, y=\sin t, z=\sin t, \quad 0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}
$$

当 $t=\frac{\pi}{4}$ 时得到点 $P_0$ ．就可以得到 $\tau =(1,-1,-1)$ ．其余同前．

解 3 记 $F(x, y, z)=x^2+y^2-1, G(x, y, z)=x^2+z^2-1$ ，则得到 Jacobi 矩阵

$$
\left(\begin{array}{ccc}
2 x & 2 y & 0 \\
2 x & 0 & 2 z
\end{array}\right)
$$

由于在点 $P_0$ 处三个二阶子式都不等于 0 ，因此可以在该点的邻域中惟一确定曲线 $l$ ，它可以用三个变量中的任何一个作为参数．从

$$
\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
2 x & 2 y & 0 \\
2 x & 0 & 2 x
\end{array}\right|=4 x y i -4 x^2 j -4 x y k
$$

可见在点 $P_0$ 可将切向量取为 $\tau =(1,-1,-1)$ ．其余同前．

### 扩展阅读
注 如下图所示是由两个圆柱 $x^2+y^2 \leqslant 1$ 和 $x^2+z^2 \leqslant 1$ 正交的公共部分，它在古代中国数学中称为牟合方盖，是由刘徽首先提出的。

左分图中用粗黑曲线描出例题中的曲线

$$
x^2+y^2=1, \quad x^2+z^2=1
$$

其余的细线是牟合方盖与三个坐标面的交线．为表示牟合方盖的常见形状，左分图中的直角坐标轴的位置与平时所取的位置不同．在右分图中则用粗黑线表示牟合方盖的轮廓线，并去掉看不到的虚线。

由图可见在例题的曲线中有自交点 $(1,0,0)$ 和 $(-1,0,0)$ ．若将曲线方程写为 $F(x, y, z)=x^2+y^2-1=0$ 和 $G(x, y, z)=x^2+z^2-1=0$ ，则其 Jacobi 矩阵

$$
\left(\begin{array}{ccc}
2 x & 2 y & 0 \\
2 x & 0 & 2 z
\end{array}\right)
$$

在这两个点处的秩等于 1 ，因此隐函数定理失效．而从自交点的存在可以知道在这两个点的邻近方程 $F=G=0$ 也确实不能确定经过它们的曲线．
 ![图片](/uploads/2025-02/15b8ba.jpg)

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