最后更新: 2025-10-31 14:47 查看: 145 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

曲线的切向量、切线和法平面

## 曲线的切向量、切线和法平面
一条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹．取定一个直角坐标系，设质点在时刻 $t$ 位于点 $P(x(t), y(t), z(t))$ 处，也就是它在任一时刻的坐标可用

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(t) \\
y=y(t), \quad a \leqslant t \leqslant b \\
z=z(t)
\end{array}\right.
$$

来表示，随着 $t$ 的连续变动，相应点 $(x, y, z)$ 的轨迹就是空间中的一条曲线．
这种表达式称为空间曲线的参数方程，它也可以写成向量的形式

$$
\boldsymbol{r}(t)=x(t) \boldsymbol{i}+y(t) \boldsymbol{j}+z(t) \boldsymbol{k}, \quad a \leqslant t \leqslant b
$$

**定义12.5.1**  若 $\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=x^{\prime}(t) \boldsymbol{i}+y^{\prime}(t) \boldsymbol{j}+z^{\prime}(t) \boldsymbol{k}$ 在 $[a, b]$ 上连续，并且 $\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \neq \boldsymbol{0}, t \in[a$ ， $b]$ ，则称

$$
\boldsymbol{r}(t)=x(t) \boldsymbol{i}+y(t) \boldsymbol{j}+z(t) \boldsymbol{k}, \quad a \leqslant t \leqslant b
$$

所确定的空间曲线为**光滑曲线**。

> 光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动。

记由以上参数方程所确定的光滑曲线为 $\Gamma$ ．现在来讨论 $\Gamma$ 上一点 $P_0\left(x\left(t_0\right), y\left(t_0\right), z\left(t_0\right)\right)$ 处的切线（见图12．5．1）．空间曲线的切线的定义与平面的情况相同，即定义为割线的极限位置．

![图片](/uploads/2025-10/5522a9.jpg)
 
记 $x_0=x\left(t_0\right), y_0=y\left(t_0\right), z_0=z\left(t_0\right)$ ．取 $\Gamma$ 上一点 $P_1(x(t)$ ， $y(t), z(t))$ ，则过 $P_0$ 和 $P_1$ 的割线方程为

$$
\frac{x-x_0}{x(t)-x\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{y(t)-y\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{z(t)-z\left(t_0\right)} .
$$

将其改写为

$$
\frac{x-x_0}{\frac{x(t)-x\left(t_0\right)}{t-t_0}}=\frac{y-y_0}{\frac{y(t)-y\left(t_0\right)}{t-t_0}}=\frac{z-z_0}{\frac{z(t)-z\left(t_0\right)}{t-t_0}},
$$

再令 $t \rightarrow t_0$ ，就得到曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切线方程

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{x^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime}\left(t_0\right)}  ...(1)
}
$$

向量 $\boldsymbol{r}^{\prime}\left(t_0\right)=\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)$ 就是曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切线的一个方向向量，它也称为 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的**切向量**．

过 $P_0$ 点且与切线垂直的平面称为曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的**法平面**．显然，该法平面的一个法向量就是 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的切向量，因此曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 点的法平面方程可写成

$$
\boxed{
x^{\prime}\left(t_0\right)\left(x-x_0\right)+y^{\prime}\left(t_0\right)\left(y-y_0\right)+z^{\prime}\left(t_0\right)\left(z-z_0\right)=0,
}
$$

或写成等价的向量形式

$$
r^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)=0 .
$$

特别地，如果曲线的方程为

$$
y=f(x), z=g(x),
$$

把它看成以 $x$ 为参数的参数方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x \\
y=f(x) \\
z=g(x)
\end{array}\right.
$$

即得到它在 $P_0\left(x_0, f\left(x_0\right), g\left(x_0\right)\right)$ 点的切线方程为

$$
\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-f\left(x_0\right)}{f^{\prime}\left(x_0\right)}=\frac{z-g\left(x_0\right)}{g^{\prime}\left(x_0\right)}
$$

法平面方程为

$$
\left(x-x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(y-f\left(x_0\right)\right)+g^{\prime}\left(x_0\right)\left(z-g\left(x_0\right)\right)=0 .
$$

空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交．设曲线 $\Gamma$ 的方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
F(x, y, z)=0 \\
G(x, y, z)=0
\end{array}\r

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