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微分表达式的变量代换

四．微分表达式的变量代换
例题 0.2 对于二阶偏微分方程

$$
\frac{1}{(x+y)^2}\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)-\frac{1}{(x+y)^3}\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=0
$$

作自变量代换 $u=x y, v=x-y$ ．
解 1 设 $z=z(x, y)$ 二阶连续可偏导，且是方程的解，则问题就是要将 $z$ 关于 $x, y$ 的一阶和二阶偏导数用 $u, v, \frac{\partial z}{\partial u}, \cdots$ 等表出，然后代入方程就得到以 $u, v$ 为自变量的偏微分方程．这里因变量 $z$ 不变．

以 $u, v$ 为中间变量，即 $z=z(u(x, y), v(x, y))$ ，用链式法则就有

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}
$$

这里的观点是将 $u, v$ 作为中间变量，即从 $z(u(x, y), v(x, y))$ 将 $z$ 看成为 $x, y$ 的函数．由于已经显式给出了 $u=x y, v=x-y$ ，因此从上述计算就可以得到

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=y \frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}
$$

同样有

$$
\frac{\partial z}{\partial y}=x \frac{\partial z}{\partial u}-\frac{\partial z}{\partial v}
$$

然后就可以计算出二阶偏导数：
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & =y\left(\frac{\partial^2 z}{\partial u^2} y+\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}\right)+\frac{\partial^2 z}{\partial v \partial u} y+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \\
& =y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+2 y \frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} & =\frac{\partial z}{\partial u}+y\left(\frac{\partial^2 z}{\partial u^2} x-\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}\right)+\frac{\partial^2 z}{\partial v \partial u} x-\frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \\
& =x y \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+(x-y) \frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}-\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}+\frac{\partial z}{\partial u} \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} & =x\left(\frac{\partial^2 z}{\partial u^2} x-\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}\right)-\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v} x+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \\
& =x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}-2 x \frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}
\end{aligned}
$$

然后计算出

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} & =(x+y)^2 \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+2 \frac{\partial z}{\partial u} \\
\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y} & =(x+y) \frac{\partial z}{\partial u}
\end{aligned}
$$

代入方程后得到 $\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \frac{\partial z}{\partial u}=0$ ．利用 $(x+y)^2=v^2+4 u$ ，最后得到所求的偏微分方程为

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+\frac{1}{v^2+4 u} \frac{\partial z}{\partial u}=0
$$

例题 0.3 对于微分表达式 $z_x^2+z_y^2$ 作变量代换

$$
x=u v, y=\frac{1}{2}\left(u^2-v^2\right)
$$

求代换后的表达式．
解1 目的是要将 $z_x, z_y$ 用 $u, v, z_u, z_v$ 等表示出来．以 $u, v$ 为中间变量，即 $z=z(u(x, y), v(x, y))$ ，写出

$$
\begin{aligned}
& z_x=z_u u_x+z_v v_x \\
& z_y=z_u u_y+z_v v_y
\end{aligned}
$$

则需要求出 $u, v$ 关于 $x, y$ 的偏导数．而 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 是由两个方程 $x=u v, y=\frac{1}{2}\left(u^2-v^2\right)$ 确定的。将 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 代入得到 $x, y$ 的恒等式，然后对 $x$ 求偏导，得到

$$
1=u_x v+v_x u, \quad 0=u u_x-v v_x
$$

这样就可以解出

$$
u_x=\frac{v}{u^2+v^2}, \quad v_x=\frac{u}{u^2+v^2} .
$$

同样有对 $y$ 求偏导得到的方程组

$$
0=u_y v+u v_y, \quad 1=u u_y-v v_y
$$

并解出

$$
u_y=\frac{u}{u^2+v^2}, \quad v_y=\frac{-v}{u^2+v^2}
$$

最后将它们代入前面的 $z_x, z_y$ 的表达式中，平方相加，就得到

$$
z_x^2+z_y^2=\frac{1}{u^2+v^2}\left(z_u^2+z_v^2\right)
$$

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