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微分表达式的变量代换

## 微分表达式的变量代换
`例` 对于二阶偏微分方程

$$
\frac{1}{(x+y)^2}\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)-\frac{1}{(x+y)^3}\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=0
$$

作自变量代换 $u=x y, v=x-y$ ．
解 1 设 $z=z(x, y)$ 二阶连续可偏导，且是方程的解，则问题就是要将 $z$ 关于 $x, y$ 的一阶和二阶偏导数用 $u, v, \frac{\partial z}{\partial u}, \cdots$ 等表出，然后代入方程就得到以 $u, v$ 为自变量的偏微分方程．这里因变量 $z$ 不变．

以 $u, v$ 为中间变量，即 $z=z(u(x, y), v(x, y))$ ，用链式法则就有

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}
$$

这里的观点是将 $u, v$ 作为中间变量，即从 $z(u(x, y), v(x, y))$ 将 $z$ 看成为 $x, y$ 的函数．由于已经显式给出了 $u=x y, v=x-y$ ，因此从上述计算就可以得到

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=y \frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}
$$

同样有

$$
\frac{\partial z}{\partial y}=x \frac{\partial z}{\partial u}-\frac{\partial z}{\partial v}
$$

然后就可以计算出二阶偏导数：
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & =y\left(\frac{\partial^2 z}{\partial u^2} y+\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}\right)+\frac{\partial^2 z}{\partial v \partial u} y+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \\
& =y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+2 y \frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} & =\frac{\partial z}{\partial u}+y\left(\frac{\partial^2 z}{\partial u^2} x-\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}\right)+\frac{\partial^2 z}{\partial v \partial u} x-\frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \\
& =x y \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+(x-y) \frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}-\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}+\frac{\partial z}{\partial u} \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} & =x\left(\frac{\partial^2 z}{\partial u^2} x-\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}\right)-\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v} x+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \\
& =x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}-2 x \frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}
\end{aligned}
$$

然后计算出

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} & =(x+y)^2 \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+2 \frac{\partial z}{\partial u} \\
\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y} & =(x+y) \frac{\partial z}{\partial u}
\end{aligned}
$$

代入方程后得到 $\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \frac{\partial z}{\partial u}=0$ ．利用 $(x+y)^2=v^2+4 u$ ，最后得到所求的偏微分方程为

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+\frac{1}{v^2+4 u} \frac{\partial z}{\partial u}=0
$$

`例` 对于微分表达式 $z_x^2+z_y^2$ 作变量代换

$$
x=u v, y=\frac{1}{2}\left(u^2-v^2\right)
$$

求代换后的表达式．
解1 目的是要将 $z_x, z_y$ 用 $u, v, z_u, z_v$ 等表示出来．以 $u, v$ 为中间变量，即 $z=z(u(x, y), v(x, y))$ ，写出

$$
\begin{aligned}
& z_x=z_u u_x+z_v v_x \\
& z_y=z_u u_y+z_v v_y
\end{aligned}
$$

则需要求出 $u, v$ 关于 $x, y$ 的偏导数．而 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 是由两个方程 $x=u v, y=\frac{1}{2}\left(u^2-v^2\right)$ 确定的。将 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 代入得到 $x, y$ 的恒等式，然后对 $x$ 求偏导，得到

$$
1=u_x v+v_x u, \quad 0=u u_x-v v_x
$$

这样就可以解出

$$
u_x=\frac{v}{u^2+v^2}, \quad v_x=\frac{u}{u^2+v^2} .
$$

同样有对 $y$ 求偏导得到的方程组

$$
0=u_y v+u v_y, \quad 1=u u_y-v v_y
$$

并解出

$$
u_y=\frac{u}{u^2+v^2}, \quad v_y=\frac{-v}{u^2+v^2}
$$

最后将它们代入前面的 $z_x, z_y$ 的表达式中，平方相加，就得到

$$
z_x^2+z_y^2=\frac{1}{u^2+v^2}\left(z_u^2+z_v^2\right)
$$

`例` 选择常数 $\alpha$ 和 $\beta$ ，使得方程

$$
a z_{x x}+2 b z_{x y}+c z_{y y}=0
$$

在线性代换

$$
u=x+\alpha y, \quad v=x+\beta y
$$

之后尽可能简单．其中设 $b^2-a c=0, c \neq 0$ ．
解 按照 $z=z(u(x, y), v(x, y))$ 计算 $z$ 关于 $x, y$ 的一阶和二阶偏导数：

$$
\begin{aligned}
z_x & =z_u+z_v \\
z_y & =z_u \alpha+z_v \beta \\
z_{x x} & =z_{u u}+2 z_{u v}+z_{v v} \\
z_{x y} & =z_{u u} \alpha+z_{u v} \beta+z_{v u} \alpha+z_{v v} \beta \\
& =\alpha z_{u u}+(\alpha+\beta) z_{u v}+\beta z_{v v} \\
z_{y y} & =z_{u u} \alpha^2+2 z_{u v} \alpha \beta+z_{v v} \beta^2 .
\end{aligned}
$$

代入方程中得到

$$
\begin{gathered}
a z_{x x}+2 b z_{x y}+c z_{y y}=\left(a+2 b \alpha+c \alpha^2\right) z_{u u}+(2 a+(\alpha+\beta) 2 b+c 2 \alpha \beta) z_{u v} \\
+\left(a+2 b \beta+a \beta^2\right) z_{v v}=0 .
\end{gathered}
$$

利用条件 $b^2-a c=0, c \neq 0$ ，可知只要取 $\alpha=-b / c$ ，就可以使得 $z_{u u}$ 的系数为
0 ．同时 $z_{u v}$ 的系数为

$$
2 a+(\alpha+\beta) 2 b+2 c \alpha \beta=2 \beta(c \alpha+b)+2 a+2 b \alpha=2\left(a-\frac{b^2}{c}\right)=0
$$

因此只要任取 $\beta \neq-\frac{b}{c}$ ，就可以将原来的方程化简为

$$
z_{v v}=0
$$

以下两个例题中不仅自变量作代换，而且因变量也参与代换。
`例` 在方程 $z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=0$ 中，作代换

$$
u=x+y, \quad v=x-y, \quad w=x y-z
$$

将 $w$ 看作 $u, v$ 的函数，求其满足的方程．
解 1 以 $u, v$ 为中间变量，则有

$$
z=x y-w(u(x, y), v(x, y))
$$

这样就可以将 $z$ 关于 $x, y$ 的一阶和二阶偏导数用 $w$ 关于 $u, v$ 的偏导数表示出来．利用 $u=x+y, v=x-y$ ，就有
$$
\begin{aligned}
& z_x=y-w_u-w_v \\
& z_y=x-w_u+w_v
\end{aligned}
$$

然后有
3

$$
\begin{aligned}
& z_{x x}=-w_{u u}-w_{u v}-w_{v u}-w_{v v}=-w_{u u}-2 w_{u v}-w_{v v} \\
& z_{x y}=1-w_{u u}+w_{u v}-w_{v u}+w_{v v}=1-w_{u u}+w_{v v} \\
& z_{y y}=-w_{u u}+2 w_{u v}-w_{v v} .
\end{aligned}
$$

代入方程就可得到 $2-4 w_{u u}=0$ ，即

$$
w_{u u}=\frac{1}{2}
$$

解 2 （全微分法）利用方程的表达式可见，只要在 $z=z(x, y)$ 的二阶全微分表达式

$$
d^2 z=z_{x x} d x^2+2 z_{x y} d x d y+z_{y y} d y^2
$$

中令 $d x= d y=1$ 就可以得到．
现在将 $w=x y-z$ 看成为 $w(u(x, y), v(x, y)$ ），然后计算
$$
\begin{aligned}
d w & =y d x+x d y-d z \\
d^2 w & =2 d x d y-d^2 z
\end{aligned}
$$

可见令 $d x= d y=1$ 后方程成为 $d ^2 w-2=0$ ．
以下按照 $w=w(u, v)$ 来计算 $d ^2 w$ ．这时有

$$
d^2 w=w_{u u} d u^2+2 w_{u v} d u d v+w_{v v} d v^2+w_u d u^2+w_v d v^2
$$

由于当 $d x= d y=1$ 时有 $d u= d x+ d y=2, d v= d x- d y=0, d^2 u= d ^2 v=0$（这里利用了 $u, v$ 为 $x, y$ 的线性函数），因此得到 $d ^2 w=4 w_{u u}$ ．

合并以上结果得到 $4 w_{u u}=2$ ，即与解 1 相同．

`例`在方程 $(x y+z) z_x+\left(1-y^2\right) z_y=x+y z$ 中作代换

$$
u=y z-x, \quad v=x z-y, \quad w=x y-z
$$

并将 $w$ 看成为 $u, v$ 的函数，求其偏微分方程．
解 1 从 $z=x y-w$ 出发，以 $u, v$ 为中间变量，则有

$$
\begin{aligned}
& z_x=y-w_u u_x-w_v v_x=y-w_u\left(y z_x-1\right)-w_v\left(z+x z_x\right), \\
& z_y=x-w_u u_y-w_v v_y=x-w_u\left(z+y z_y\right)-w_v\left(x z_y-1\right),
\end{aligned}
$$

然后从中解出
$$
\begin{aligned}
& z_x=\frac{y+w_u-z w_v}{1+y w_u+x w_v} \\
& z_y=\frac{x-z w_u+w_v}{1+y w_u+x w_v}
\end{aligned}
$$

将以上两个表达式代入方程，即得到 $w_v=0$ ．
解 2 （全微分法）利用一阶微分的形式不变性，写出

$$
\begin{aligned}
d u & =-d x+z d y+y d z \\
d v & =z d x-d y+z d z \\
d w & =y d x+x d y-d z
\end{aligned}
$$

这样就可以写出

$$
\begin{aligned}
d z & =y d x+x d y-w_u d u-w_v d v \\
& =y d x+x d y-w_u(-d x+z d y+y d z)-w_v(z d x-d y+x d z)
\end{aligned}
$$

然后整理成

$$
\left(1+y w_u+x w_v\right) d z=\left(y+w_u-z w_v\right) d x+\left(x-z w_u+w_v\right) d y
$$

就得到 $z_x$ 和 $z_y$ ．以下同解 1 ．
解 3 （全微分法）在解 2 中的 $d u$ 等表达式中代入 $d z=z_x d x+z_y d y$ ，然后改写为

$$
\begin{aligned}
d w & =\left(y-z_x\right) d x+\left(x-z_y\right) d y \\
d u & =\left(-1+y z_x\right) d x+\left(z+y z_y\right) d y \\
d v & =\left(z+x z_x\right) d x+\left(-1+x z_y\right) d y .
\end{aligned}
$$

则可以看出下列行列式等于 0 ：

$$
\left|\begin{array}{ccc}
d w & y-z_x & x-z_y \\
d u & -1+y z_x & z+y z_y \\
d v & z+x z_x & -1+x z_y
\end{array}\right| .
$$

这样就可以写出 $d w$ 为 $d u$ 和 $d v$ 的线性组合，它们的系数就是 $w_u$ 和 $w_v$ ．特别是上述行列式中 $d v$ 的余子式恰好等于 0 ，因此即有 $w_v=0$ 。

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