最后更新: 2025-02-02 09:15 查看: 16 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

反函数存在定理

下面补充一般形式的反函数（逆映射）存在定理．它与定理 4 等价．在下图中以 $n=2$ 为例作出了示意图。

图 1：逆映射定理的示意图
定理 0.5 给定从点 $P_0\left(x_1^{(0)}, \cdots, x_n^{(0)}\right)$ 的一个邻域 $D \in R ^n$ 到 $R ^n$ 的连续可微映射 $y = f ( x )$ ，即当 $\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in D$ 时有连续可微的 $n$ 个 $n$ 元函数

$$
y_i=f_i\left(x_1, \cdots, x_n\right), \quad i=1, \cdots, n,
$$

且在点 $P_0$ 的 Jacobi 行列式

$$
\left.\frac{\partial\left(f_1, \cdots, f_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}\right|_{P_0} \neq 0
$$

则存在含有点 $P_0$ 的一个连通开集 $U \subset D$ ，使得
（i）映射 $f$ 在 $U$ 上为单射，
（ii）在像集 $V= f (U)$ 上存在连续可微的逆映射 $x = \varphi ( y )$ ．

证 将（1）看成为含 $2 n$ 个未知量 $x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n$ 的 $n$ 个方程的方程组，引入记号 $y_i^{(0)}=f_i\left(x_1^{(0)}, \cdots, x_n^{(0)}\right)(i=1, \cdots, n)$ ，点 $Q_0\left(y_1^{(0)}, \cdots, y_n^{(0)}\right)$ ，然后用定理 4 ，可知分别存在点 $P_0$ 和 $Q_0$ 的邻域

$$
\begin{aligned}
J & =\left\{\left(x_1, \cdots, x_n\right)| | x_i-x_i^{(0)} \mid<a_i, i=1, \cdots, n\right\} \\
V & =\left\{\left(y_1, \cdots, y_n\right)| | y_i-y_i^{(0)} \mid<b_i, i=1, \cdots, n\right\}
\end{aligned}
$$

使得在 $R ^{2 n}$ 中点 $\left(P_0, Q_0\right)$ 的邻域 $J \times V$ 内存在惟一的连续可微的隐函数组

$$
x_1=\varphi_1\left(y_1, \cdots, y_n\right), \cdots, x_n=\varphi_n\left(y_1, \cdots, y_n\right)
$$

其定义域为 $V$ ，当 $y \in V$ 时成立恒等式

$$
y_i \equiv f_i\left(\varphi_1\left(y_1, \cdots, y_n\right), \cdots, \varphi_n\left(y_1, \cdots, y_n\right)\right), i=1, \cdots, n
$$
且满足 $x_i^{(0)}=\varphi_i\left(y_1^{(0)}, \cdots, y_n^{(0)}\right), i=1, \cdots, n$ ．

以下记 $\varphi =\left(\varphi_1, \cdots, \varphi_n\right), U= \varphi (V)$ ，则一定有 $U \subset J$ 。我们来证明它们满足定理的结论．
首先，从（2）可见， $f$ 在 $U= \varphi (V)$ 上的作用就是将点 $\varphi ( y )$ 映回到 $y$ ．当 $y , y ^{\prime} \in V$ 且 $y \neq y ^{\prime}$ 时，不可能有 $\varphi ( y )= \varphi \left( y ^{\prime}\right)$ ，因此映射 $\varphi$ 在 $V$ 上是单射．由于 $U=\varphi(V)$ ，因此 $f$ 在 $U$ 上也是单射。这样 $f$ 和 $\varphi$ 就实现了 $U$ 和 $V$ 之间的双射，即互为逆映射，且有 $V= f (U)$ 。

下面要证明 $U$ 为开集．任取点 $P \in U$ ，我们要证明 $P$ 是 $U$ 的内点．
由于 $U$ 与 $V$ 的双射关系，点 $f (P)=Q \in V$ ．利用 $f$ 在点 $P$ 连续，对 $\varepsilon>0$ ，且不妨设 $O_{\varepsilon}(Q) \subset V$ ，存在 $\delta>0$ ，使得当 $x \in O_\delta(P)$ 时，就有 $y = f ( x ) \in O_{\varepsilon}(Q)$ ．由于总可以取

$$
O_\delta(P) \subset J
$$

利用在 $J \times V$ 上满足方程组 $y = f ( x )$ 的隐函数组的惟一性，因此从 $y = f ( x )$ ， $y \in V$ 和 $x \in J$ 就推出 $x = \varphi ( y )$ ．这样就证明了 $O_\delta(P)$ 中的每个 $x$ 都是 $\varphi ( y )$ ，其中 $y \in V$ ，即有 $x \in U$ ．这表明 $O_\delta(P) \subset U$ ，即 $U$ 中每一个点都是内点．

最后利用 $\varphi$ 连续，因此从 $V$ 连通即可推出 $U= \varphi (V)$ 连通 ${ }^{(1)}$ 。这样就完成了 $U$是连通开集（即区域）的证明。

注1 这里需要指出：与一元函数中的反函数存在定理有截然不同之处，即当 $n>1$ 时的逆映射存在定理只能是局部性质的．

对 $n=1$ 来说，若 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上处处可微，且 $f^{\prime}(x)$ 处处不等于 0 ，则它必定保号，从而 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上一定严格单调，于是反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在区间 $f(I)$ 上整体存在。

但以下例子表明，对 $n=2$ 来说，即使在区域的每一个点处定理 5 的条件都满足，仍然不足以保证大范围的逆映射存在．
例如设在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0<x^2+y^2<1\right\}$ 上有映射

$$
f : u=x^2-y^2, v=2 x y
$$

则从 $u^2+v^2=\left(x^2+y^2\right)^2$ 可知 $0<u^2+v^2<1$ ，而且可以证明 $f (D)=\{(u, v) \mid$ $\left.0<u^2+v^2<1\right\}$ ．又可以计算出 Jacobi 行列式

$$
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}=\left|\begin{array}{cc}
2 x & -2 y \\
2 y & 2 x
\end{array}\right|=4\left(x^2+y^2\right) \neq 0 \forall(x, y) \in D
$$

可知，对于 $D$ 中每一个点来说，映射 $f$ 局部都存在逆映射．但在整个 $D$ 上来看， $f$不可能有逆映射．为此用极坐标 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, u=\rho \cos \varphi, v=\rho \sin \varphi$ ，就发现有

$$
\rho=r^2, \varphi=2 \theta
$$

因此 $f$ 是从 $D$ 到 $f (D)$ 的二对一的映射．
注 2 可以简要地介绍如何从逆映射存在定理证明一般情况的隐函数存在定理，即从定理5证明定理4。

对于定理4中给定的方程 $F_i\left(x_1, \cdots, x_m\right)=0, i=1, \cdots, n, m>n$ ，构造从 $R ^m$ 的点 $P_0\left(x_1^{(0)}, \cdots, x_m^{(0)}\right)$ 到 $R ^m$ 的映射 $y = f ( x )$ ：

$$
\begin{aligned}
& y_i=F_i( x ), i=1, \cdots, n \\
& y_j=x_j, j=n+1, \cdots, m
\end{aligned}
$$

记点 $f \left(P_0\right)=\left(0, \cdots, 0, x_{n+1}^{(0)}, \cdots, x_m^{(0)}\right)$ 为 $Q_0$ ，则就可见 $f$ 在点 $P_0$ 的 Jacobi 行列式等于 $\frac{\partial\left(F_1, \cdots, F_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)} \neq 0$ ，因此满足定理 5 的条件．于是就可以推出存在 $P_0$ 的邻域 $J$ 和 $Q_0$ 的邻域 $V$ ，使得对每一个点 $y \in V$ ，存在惟一的点 $x \in J$ ，使得满足 $y = f ( x )$ ．特别将 $y$ 的前 $n$ 个坐标为 0 ，这样就可以得到定理 4 所要求的隐函数组．细节从略。

不妨用上述方法回顾定理1，对于方程 $F(x, y)=0$ ，可以定义从 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域到 $(u, v)$ 的映射：

$$
u=F(x, y), v=x
$$

这时根据定理 1 的条件，Jacobi 行列式 $\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}=\left|\begin{array}{cc}F_x & F_y \\ 1 & 0\end{array}\right|$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处不等于 0 ，因此在 $u=0, v=x_0$ 的一个邻域到 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域上存在惟一的逆映射 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ 。由惟一性可见 $x=x(u, v)=v$ ，而 $y=y(0, x)$ 就提供了定理 1 所要求的隐函数．细节从略．
这里还需要介绍变量代换中需要的一个结论．即在定理的条件满足时，在恒等式（2）的两边对 $y_i(i=1, \cdots, n)$ 求偏导，就得到矩阵等式

$$
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial y_n}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial y_n}{\partial x_n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \ldots & \frac{\partial x_1}{\partial y_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial x_n}{\partial y_1} & \ldots & \frac{\partial x_n}{\partial y_n}
\end{array}\right)
$$

其中将原映射的偏导数 $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ 改记为 $\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$ ，将逆映射的偏导数 $\frac{\partial \varphi_i}{\partial y_j}$ 改记为 $\frac{\partial x_i}{\partial y_j}$ ．
对上述矩阵等式的两边取它们的行列式，就得到关于正映射和逆映射的 Jacobi行列式之间的重要等式：

$$
1=\frac{\partial\left(y_1, \cdots, y_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)} \cdot \frac{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}{\partial\left(y_1, \cdots, y_n\right)}
$$

这在今后的变量代换的 Jacobi 行列式的计算中是有用的．
补充例题 对于从 $u v$ 平面到 $x y$ 平面的映射

$$
x=u+v, y=u^2+v^2
$$

讨论逆映射的存在性．
解 写出 $x, y$ 关于 $u, v$ 的 Jacobi 矩阵

$$
\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 u & 2 v
\end{array}\right)
$$

可见对于 $u_0 \neq v_0$ 的点 $\left(u_0, v_0\right)$ ，可以用逆映射定理知道，存在点 $\left(u_0, v_0\right)$ 的一个邻域 $U$ ，使得给定的映射成为该邻域到 $x y$ 平面上的点 $\left(u_0+v_0, u_0^2+v_0^2\right)$ 的一个邻域 $V$ 上的双射，从而在邻域 $V$ 上存在逆映射 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ ．（这里的邻域 $U$和 $V$ 都不必是圆邻域．）

然而对于满足 $u_0=v_0$ 的点 $\left(u_0, v_0\right)$ ，就不能再用逆映射定理．当然它只是存在局部逆映射的一个充分条件．在条件不满足时不能提供什么结论．

由于本题的映射非常简单，因此不难直接研究映射表达式得到结论。
首先，从映射关于 $u, v$ 的对称性，当 $u \neq v$ 时，$u v$ 平面上的两个不同点 $(u, v)$ 和 $(v, u)$ 一定映射到 $x y$ 平面上的同一个点，即所谓二对一映射．当 $u=v$ 时则直接可见该映射将 $u v$ 平面上的直线 $u=v$ 一对一地映射为 $x y$ 平面上的抛物线 $y=\frac{1}{2} x^2$ ．在图 2 中的左分图中以粗黑直线表出直线 $u=v$ ，在右分图中用粗黑线描出上述抛物线．同时左分图中以 $u=v$ 为边界的两个半平面均映射成为右分图中处于拋物线上方的闭区域，这可以从 Cauchy 不等式得到：

$$
|x|=|1 \cdot u+1 \cdot v| \leqslant \sqrt{2} \sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2 y},
$$

从而有 $y \geqslant \frac{1}{2} x^2$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/6c4d71.jpg)
 
 不难进一步看出，在图 2 左分图中若只考虑直线 $u=v$ 的左上方的半平面，并用坐标轴和 $u+v=0$ 将它分成 4 个子区域，则就分别映射为右分图中的 4 个子区域．其中的细曲线是抛物线 $y=x^2$ ，即 $u+v=0$ 的像．映射实现了左分图的半闭平面和右分图的 $S=\left\{(x, y) \left\lvert\, y \geqslant \frac{1}{2} x^2\right.\right\}$ 之间的一一对应．将定义域限制在 $S$ 上，则分别存在到左边的两个半平面的逆映射．

特别对于满足 $u_0=v_0$ 的点 $\left(u_0, v_0\right)$ 来说，在它的邻域中，由满足 $u=v$ 的直线段分成的两个开集（半邻域）同时映射到上述 $S$ 内的一个开集上（可以写出其边界的表达式）．无论该邻域取得多么小，都不能实现到 $x y$ 上的一一映射．

下面介绍计算，其中注意学习全微分方法．
例题 0.1 给定方程组 $\left\{\begin{array}{l}u^2+v^2+x^2+y^2=1, \\ u-v+x y=0,\end{array}\right.$ 试确定适当的条件使得：
（1）由方程组可以惟一确定 $u, v$ 是 $x, y$ 的可微函数，
（2）由方程组可以惟一确定 $u, x$ 是 $v, y$ 的可微函数 ${ }^{(1)}$ 。
解 记 $F(u, v, x, y)=u^2+v^2+x^2+y^2-1, G(u, v, x, y)=u-v+x y$ ，求出 $F, G$ 关于 $u, v, x, y$ 的 Jacobi 矩阵如下：

$$
\left(\begin{array}{cccc}
2 u & 2 v & 2 x & 2 y \\
1 & -1 & y & x
\end{array}\right)
$$

就可以得到

$$
\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=-2(u+v), \quad \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=2 u y-2 x=2(u y-x)
$$

用定理 3 可知，在 $u+v \neq 0$ 时，可以惟一确定 $u, v$ 为 $x, y$ 的可微函数；而当 $x-u y \neq 0$ 时，可以惟一确定 $u, x$ 是 $v, y$ 的可微函数．

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