最后更新: 2025-11-04 15:56 查看: 114 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

反函数存在定理

## 反函数存在定理
下面补充一般形式的反函数（逆映射）存在定理．它与定理 4 等价．在下图中以 $n=2$ 为例作出了示意图。
 ![图片](/uploads/2025-03/006a70.jpg)
图 1：逆映射定理的示意图
**定理 0.5** 给定从点 $P_0\left(x_1^{(0)}, \cdots, x_n^{(0)}\right)$ 的一个邻域 $D \in R ^n$ 到 $R ^n$ 的连续可微映射 $y = f ( x )$ ，即当 $\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in D$ 时有连续可微的 $n$ 个 $n$ 元函数

$$
y_i=f_i\left(x_1, \cdots, x_n\right), \quad i=1, \cdots, n,
$$

且在点 $P_0$ 的 Jacobi 行列式

$$
\left.\frac{\partial\left(f_1, \cdots, f_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}\right|_{P_0} \neq 0
$$

则存在含有点 $P_0$ 的一个连通开集 $U \subset D$ ，使得
（i）映射 $f$ 在 $U$ 上为单射，
（ii）在像集 $V= f (U)$ 上存在连续可微的逆映射 $x = \varphi ( y )$ ．

证 将（1）看成为含 $2 n$ 个未知量 $x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n$ 的 $n$ 个方程的方程组，引入记号 $y_i^{(0)}=f_i\left(x_1^{(0)}, \cdots, x_n^{(0)}\right)(i=1, \cdots, n)$ ，点 $Q_0\left(y_1^{(0)}, \cdots, y_n^{(0)}\right)$ ，然后用定理 4 ，可知分别存在点 $P_0$ 和 $Q_0$ 的邻域

$$
\begin{aligned}
J & =\left\{\left(x_1, \cdots, x_n\right)| | x_i-x_i^{(0)} \mid<a_i, i=1, \cdots, n\right\} \\
V & =\left\{\left(y_1, \cdots, y_n\right)| | y_i-y_i^{(0)} \mid<b_i, i=1, \cdots, n\right\}
\end{aligned}
$$

使得在 $R ^{2 n}$ 中点 $\left(P_0, Q_0\right)$ 的邻域 $J \times V$ 内存在惟一的连续可微的隐函数组

$$
x_1=\varphi_1\left(y_1, \cdots, y_n\right), \cdots, x_n=\varphi_n\left(y_1, \cdots, y_n\right)
$$

其定义域为 $V$ ，当 $y \in V$ 时成立恒等式

$$
y_i \equiv f_i\left(\varphi_1\left(y_1, \cdots, y_n\right), \cdots, \varphi_n\left(y_1, \cdots, y_n\right)\right), i=1, \cdots, n
$$
且满足 $x_i^{(0)}=\varphi_i\left(y_1^{(0)}, \cdots, y_n^{(0)}\right), i=1, \cdots, n$ ．

以下记 $\varphi =\left(\varphi_1, \cdots, \varphi_n\right), U= \varphi (V)$ ，则一定有 $U \subset J$ 。我们来证明它们满足定理的结论．
首先，从（2）可见， $f$ 在 $U= \varphi (V)$ 上的作用就是将点 $\varphi ( y )$ 映回到 $y$ ．当 $y , y ^{\prime} \in V$ 且 $y \neq y ^{\prime}$ 时，不可能有 $\varphi ( y )= \varphi \left( y ^{\prime}\right)$ ，因此映射 $\varphi$ 在 $V$ 上是单射．由于 $U=\varphi(V)$ ，因此 $f$ 在 $U$ 上也是单射。这样 $f$ 和 $\varphi$ 就实现了 $U$ 和 $V$ 之间的双射，即互为逆映射，且有 $V= f (U)$ 。

下面要证明 $U$ 为开集．任取点 $P \in U$ ，我们要证明 $P$ 是 $U$ 的内点．
由于 $U$ 与 $V$ 的双射关系，点 $f (P)=Q \in V$ ．利用 $f$ 在点 $P$ 连续，对 $\varepsilon>0$ ，且不妨设 $O_{\varepsilon}(Q) \subset V$ ，存在 $\delta>0$ ，使得当 $x \in O_\delta(P)$ 时，就有 $y = f ( x ) \in O_{\varepsilon}(Q)$ ．由于总可以取

$$
O_\delta(P) \subset J
$$

利用在 $J \times V$ 上满足方程组 $y = f ( x )$ 的隐函数组的惟一性，因此从 $y = f ( x )$ ， $y \in V$ 和 $x \in J$ 就

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