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隐函数存在方程组的情况

## 隐函数存在 方程组的情况
为简明起见，先讨论在给定两个 4 个变量的方程

$$
F(x, y, u, v)=0, \quad G(x, y, u, v)=0
$$

时，如何可以由它们确定 $u, v$ 为 $x, y$ 的函数

$$
u=u(x, y), \quad v=v(x, y)
$$

这样的问题在前面的例题 4 已经见到。此外，在例题 5 中则出现了两个含 5 个变量 $u, v, x, y, z$ 的方程，要求从方程组确定 $u, v$ 为 $x, y, z$ 的函数．在这两个例题的答案中，导数的分母都出现了 Jacobi 行列式。与一个方程确定隐函数的情况类似，分母上的 Jacobi 行列式不等于 0 就是这里的关键条件。

下面叙述并证明关于 4 个变量和两个方程情况的隐函数存在定理，当然其中的条件只是充分条件．
**定理** 设两个 4 元函数 $F(x, y, u, v)$ 和 $G(x, y, u, v)$ 满足下列条件：
（1）$F\left(P_0\right)=0, G\left(P_0\right)=0$ ，
（2）在点 $P_0\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)$ 的某一个邻域 $D$ 内对每一个变元都有连续偏导数，
（3）在点 $P_0$ 的 Jacobi 行列式 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}\right|_{P_0} \neq 0$ ，
则存在点 $P_0$ 的一个邻域

$$
\left\{(x, y, u, v)\left|\left|x-x_0\right|<a,\left|y-y_0\right|<b,\left|u-u_0\right|<c,\left|v-v_0\right|<d\right\} \subset D\right.
$$

使得在该邻域中存在惟一的连续可微的隐函数组 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ ，其定义域为

$$
A=\left\{(x, y)| | x-x_0\left|<a,\left|y-y_0\right|<b\right\}\right.
$$

当 $(x, y) \in A$ 时成立恒等式

$$
F(x, y, u(x, y), v(x, y)) \equiv 0, \quad G(x, y, u(x, y), v(x, y)) \equiv 0
$$

且满足 $u\left(x_0, y_0\right)=u_0, v\left(x_0, y_0\right)=v_0$ ．
证明概要 以下只写出证明的主要步骤，其中用的是消去法．
第一步是从关键条件 $\left|\begin{array}{ll}F_u\left(P_0\right) & F_v\left(P_0\right) \\ G_u\left(P_0\right) & G_v\left(P_0\right)\end{array}\right| \neq 0$ 出发．这时行列式的第一行至少有一个数不等于 0 ．不妨设有 $F_v\left(P_0\right) \neq 0$ ，则对于方程

$$
F(x, y, u, v)=0
$$

在点 $P_0$ 用前面的定理 2 ，知道存在 $P_0$ 的一个邻域，在其中存在惟一的隐函数

$$
v=\varphi(x, y, u)
$$

它在点 $\left(x_0, y_0, u_0\right)$ 的一个邻域中连续可偏导，满足

$$
F(x, y, u, \varphi(x, y, u)) \equiv 0, \quad v_0=\varphi\left(x_0, y_0, u_0\right)
$$

且有

$$
\varphi_x=-\frac{F_x}{F_v}, \quad \varphi_y=-\frac{F_y}{F_v}, \quad \varphi_u=-\frac{F_u}{F_v} .
$$

第二步是考虑第二个方程 $G=0$ ．将上面得到的 $v=\varphi(x, y, u)$ 代入 $G$ 中，为了方便起见，改记

$$
\psi(x, y, u)=G(x, y, u, \varphi(x, y, u))
$$

对于方程

$$
\psi(x, y, u)=0
$$

来说，条件 $\psi\left(x_0, y_0, u_0\right)=0$ 和光滑性不成问题，关键之处是计算出

$$
\psi_u=G_u+G_v \varphi_u=G_u+G_v \cdot\left(-\frac{F_u}{F_v}\right)=-\frac{1}{F_v} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)} .
$$

这时右边用 $x=x_0, y=y_0, u=u_0$ 代入，则从 $v_0=\varphi\left(x_0, y_0, u_0\right)$ 可见，从定理的条件推出 $\psi_u\left(x_0, y_0, u_0\right) \neq 0$ ．于是可以对于含三个变量的方程 $\psi(x, y, u)=0$ 再次用定理 2 ，从而推出在点 $\left(x_0, y_0, u_0\right)$ 的一个邻域中可惟一确定隐函数 $u=u(x, y)$ ，且对 $x, y$ 连续可偏导．这时成立恒等式

$$
\psi(x, y, u(x, y))=G(x, y, u(x, y), \varphi(x, y, u(x, y))) \equiv 0
$$

最后令

$$
\varphi(x, y, u(x, y))=v(x, y)
$$

则所得到的 $u(x, y), v(x, y)$ 就满足定理的全部要求．
下面给出一般情况的从方程组确定隐函数组的存在定理．

**定理**  给定有 $m$ 个未知量的 $n$ 个方程的方程组

$$
\left.\begin{array}{c}
F_1\left(x_1, \cdots, x_m\right)=0 \\
\ldots \ldots \ldots \cdots \\
F_n\left(x_1, \cdots, x_m\right)=0
\end{array}\right\}
$$

其中 $m>n$ ．设点 $P_0\left(x_1^{(0)}, \cdots, x_m^{(0)}\right)$ 满足该方程组，函数 $F_1, \cdots, F_n$ 在点 $P_0$ 的某
个邻域 $D$ 中连续可微，且设 Jacobi 行列式 $\left.\frac{\partial\left(F_1, \cdots, F_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}\right|_{P_0} \neq 0$ ，则存在点 $P_0$ 的一个邻域

$$
\left\{\left(x_1, \cdots, x_m\right)\left|\left|x_i-x_i^{(0)}\right|<a_i, i=1, \cdots, m\right\} \subset D\right.
$$

使得在该邻域中存在惟一的连续可微的隐函数组

$$
x_1=x_1\left(x_{n+1}, \cdots, x_m\right), \cdots, x_n=x_n\left(x_{n+1}, \cdots, x_m\right),
$$

其定义域为

$$
A=\left\{\left(x_{n+1}, \cdots, x_m\right)| | x_i-x_i^{(0)} \mid<a_i, i=n+1, \cdots, m\right\}
$$

当 $\left(x_{n+1}, \cdots, x_n\right) \in A$ 时成立恒等式

$$
F_i\left(x_1\left(x_{n+1}, \cdots, x_m\right), \cdots, x_n\left(x_{n+1}, \cdots, x_m\right), x_{n+1}, \cdots, x_m\right) \equiv 0, i=1, \cdots, n
$$

且满足条件

$$
x_1^{(0)}=x_1\left(x_{n+1}^{(0)}, \cdots, x_m^{(0)}\right), \cdots, x_n^{(0)}=x_n\left(x_{n+1}^{(0)}, \cdots, x_m^{(0)}\right) .
$$

这个定理的证明有多种方法．下面用数学归纳法和定理 3 中的消去法来证．
证明概要 对于方程组中方程的个数 $n$ 用数学归纳法，其中对 $m>n$ 不作其他限制。 $n=1$ 时即定理 $2, n=2, m=4$ 时即定理 3 ．不难将定理 3 中的 $m$ 从 4 改为大于 $n$ 的任意正整数。

设定理的结论对 $n-1$ 已经成立，在这个归纳假设下讨论 $n$ 的情况．
从 Jacobi 行列式 $\left.\frac{\partial\left(F_1, \cdots, F_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}\right|_{P_0} \neq 0$ ，可见第一行不会都是 0 ．不妨假设 $\left.\frac{\partial F_1}{\partial x_1}\right|_{P_0} \neq 0$ ，于是可以用定理 2 于方程组（1）的第一个方程 $F_1\left(x_1, \cdots, x_m\right)=0$ ，知道存在点 $P_0$ 的一个邻域，使得在这个邻域中存在惟一的连续可微的隐函数
$\left.\frac{\partial F_1}{\partial x_1}\right|_{P_0} \neq 0$ ，于是可以用定理 2 于方程组（1）的第一个方程 $F_1\left(x_1, \cdots, x_m\right)=0$ ，知道存在点 $P_0$ 的一个邻域，使得在这个邻域中存在惟一的连续可微的隐函数

$$
x_1=x_1\left(x_2, \cdots, x_m\right),
$$

满足条件 $x_1^{(0)}=x_1\left(x_2^{(0)}, \cdots, x_m^{(0)}\right)$ ，且在其定义域（点 $\left(x_2^{(0)}, \cdots, x_m^{(0)}\right)$ 的一个邻域）上成立恒等式

$$
F_1\left(x_1\left(x_2, \cdots, x_m\right), x_2, \cdots, x_m\right) \equiv 0 .
$$

并由此可以求出

$$
\frac{\partial x_1}{\partial x_j}=-\frac{\frac{\partial F_1}{\partial x_j}}{\frac{\partial F_1}{\partial x_1}}, \quad j=2, \cdots, m
$$

现在将 $x_1=x_1\left(x_2, \cdots, x_m\right)$ 代入方程组（1）的后 $n-1$ 个方程中，这样就消去了 $x_1$ ，得到由 $n-1$ 个方程组成的新方程组，改记为

$$
\left.\begin{array}{rl}
G_2\left(x_2, \cdots, x_m\right)= & F_1\left(x_1\left(x_2, \cdots, x_m\right), x_2, \cdots, x_m\right)=0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
G_n\left(x_2, \cdots, x_m\right)= & F_n\left(x_1\left(x_2, \cdots, x_m\right), x_2, \cdots, x_m\right)=0
\end{array}\right\}
$$

然后用归纳假设．为此只需要计算 $G_2, \cdots, G_n$ 关于 $x_2, \cdots, x_n$ 的 Jacobi 行列式．
由（3）出发对 $i, j=2, \cdots, n$ 有

$$
\frac{\partial G_i}{\partial x_j}=\frac{\partial F_i}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial x_1}{\partial x_j}+\frac{\partial F_i}{\partial x_j} .
$$

由此就可以看出，对于 $j=2, \cdots, n$ ，在 Jacobi 行列式 $\frac{\partial\left(F_1, \cdots, F_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}$ 中将第一列分别乘以 $\frac{\partial x_1}{\partial x_j}$ 加到第 $j$ 列，并利用上面已经写出的偏导数 $\frac{\partial x_1}{\partial x_j}$ 的表达式，就可以得到如下等式：

$$
\left|\begin{array}{cccc}
\frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \frac{\partial F_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n} \\
\frac{\partial F_2}{\partial x_1} & \frac{\partial F_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_2}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial F_n}{\partial x_1} & \frac{\partial F_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial x_n}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
\frac{\partial F_1}{\partial x_1} & 0 & \cdots & 0 \\
\frac{\partial F_2}{\partial x_1} & \frac{\partial G_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial G_2}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial F_n}{\partial x_1} & \frac{\partial G_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial G_n}{\partial x_n}
\end{array}\right|=\frac{\partial F_1}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial\left(G_2, \cdots, G_n\right)}{\partial\left(x_2, \cdots, x_n\right)} .
$$

由此可见，从 Jacobi 行列式 $\left.\frac{\partial\left(F_1, \cdots, F_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}\right|_{P_0} \neq 0$ 可以推出新的方程组（3）的 Jacobi 行列式 $\frac{\partial\left(G_2, \cdots, G_n\right)}{\partial\left(x_2, \cdots, x_n\right)}$ 在点 $\left(x_2^{(0)}, \cdots, x_n^{(0)}\right)$ 不等于 0 。这样就可以用归纳假设于方程组 $(3)$ ，并在点 $\left(x_2^{(0)}, \cdots, x_n^{(0)}\right)$ 的一个邻域中惟一确定出连续可微的隐函数组 $x_2=x_2\left(x_{n+1}, \cdots, x_m\right), \cdots, x_n=x_n\left(x_{n+1}, \cdots, x_m\right)$ ，且满足条件 $x_2^{(0)}=x_2\left(x_{n+1}^{(0)}, \cdots, x_m^{(0)}\right), \cdots, x_n^{(0)}=x_n\left(x_{n+1}^{(0)}, \cdots, x_m^{(0)}\right)$ ．

将上述隐函数组代入（2）中的 $x_1=x_1\left(x_2, \cdots, x_m\right)$ ，得到
$$
x_1\left(x_2\left(x_{n+1}, \cdots, x_m\right), \cdots, x_n\left(x_{n+1}, \cdots, x_m\right), x_{n+1}, \cdots, x_m\right) \text {, }
$$

这样就确定出 $x_1, \cdots, x_n$ 为 $x_{n+1} \cdots, x_m$ 的函数，并可以验证它们满足定理在 $n$时的全部结论．细节从略．

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