最后更新: 2025-11-04 14:56 查看: 224 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

隐函数存在定理

## 隐函数存在定理
### 一个方程的情况
对于能否从一个给定的方程 $F(x, y)=0$ 确定某个隐函数 $y=f(x)$ 的问题，可以借助于三维空间从几何上进行思考。

设曲面的方程为 $z=F(x, y)$ ，则首先，什么情况下这个曲面与 $x O y$ 坐标平面有交？其次是它们的非空交集是否能够用某个函数 $y=f(x)$ 来描述？

这里的第一个问题就不容易。在某些条件下也许可以用前面的零点存在定理来证明这样的非空交是存在的．本章对这个问题不作讨论，而是从一开始假设，已经存在一个点 $\left(x_0, y_0\right)$ ，使得 $F\left(x_0, y_0\right)=0$ ．于是曲面 $z=F(x, y)$ 与 $x O y$ 坐标面至少交于一个点 $\left(x_0, y_0, 0\right)$ ．

接下来的问题自然就是在 $x O y$ 坐标面上点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的邻近，是否存在经过该点的交线，它可以用 $y=f(x)$ 来描述．

如下图（a）所示，设曲面 $z=F(x, y)$ 的边界用粗曲线表示，它在坐标面 $x O y$ 以下部分用虚线标出．曲面与该坐标面，即 $z=0$ 的交线经过点 $\left(x_0, y_0\right)$ ．在区间 $\left(x_0-\eta, x_0+\eta\right)$ 上确定了一个隐函数 $y=f(x)$ ．

![图片](/uploads/2025-11/e6ba42.jpg){width=400px}

在下图（b）上就是在 $x O y$ 平面上的隐函数 $y=f(x)$ 的图像．

![图片](/uploads/2025-11/df8507.jpg){width=400px}

当然这需要一定的条件．否则，例如曲面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $z=0$ 只交于一点 $(0,0)$ ，并不能生成在某个区间上有定义的隐函数。

此外，我们还希望隐函数具有良好的性质，例如连续性和可微性等。

## 结论
**定理0.1** 设二元函数 $F(x, y)$ 满足下列条件：
（1）$F\left(x_0, y_0\right)=0$ ，
（2）在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某一个邻域 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 有连续偏导数，
（3）$F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，
则有以下结论：
（i）存在在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个矩形邻域

$$
\left\{(x, y)\left|\left|x-x_0\right|<\eta,\left|y-y_0\right|<b^{\prime}\right\} \subset D,\right.
$$

使得在这个邻域内，存在惟一的隐函数 $y=f(x)$ ，其定义域为 $\left(x_0-\eta, x_0+\eta\right)$ ，当 $x \in\left(x_0-\eta, x_0+\eta\right)$ 时，成立恒等式 $F(x, f(x)) \equiv 0$ ，且满足 $f\left(x_0\right)=y_0$ ；
（ii）$f$ 在 $\left(x_0-\eta, x_0+\eta\right)$ 上连续；
（iii）$f$ 在 $\left(x_0-\eta, x_0+\eta\right)$ 上有连续导函数．
证 不妨取 $D$ 为以下长方形邻域  ：

> 实际上取定一个 $D$ 全无必要，$a, b$ 也从未起作用．因此今后改写时都可以去掉，从取定 $D^{\prime}$ 开始即可。

$$
D=\left\{(x, y)| | x-x_0\left|<a,\left|y-y_0\right|<b\right\} .\right.
$$

注意条件 $(3) F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ 是关键条件，以下不妨设 $F_y\left(x_0, y_0\right)>0$ ．在证明中可参看下面的图中的 4 个分图．
 ![图片](/uploads/2025-02/778559.jpg)
 
 由于 $F_y(x, y)$ 是二元连续函数，因此存在以 $\left(x_0, y_0\right)$ 为中心的一个长方形闭区域（参看分图（a））

$$
D^{\prime}=\left\{(x, y)| | x-x_0\left|\leqslant a^{\prime},\left|y-y_0\right| \leqslant b^{\prime}\right\} \subset D\right.
$$

使得 $F_y(x, y)$ 在 $D^{\prime}$ 上处处大于  。

> 于是若 $x \in O_{a^{\prime}}\left(x_0\right)$ ，则至多只有一个 $y \in O_{b^{\prime}}\left(y_0\right)$ 使得 $F(x, y)=0$ ．因此隐函数的惟一性已经在 $D^{\prime}$ 中成立．但为了保证存在隐函数，则可能还需要缩小区域 $D^{\prime}$ 。

考虑闭区域 $D^{\prime}$ 中 $x=x_0$ 的直线段，即 $\left\{\left(x_0, y\right) \mid y_0-b^{\prime} \leqslant y \leqslant y_0+b^{\prime}\right\}$（参看分图（b））．则由于函数 $z=F\left(x_0, y\right)$ 关于 $y$ 的导数在 $\left(y_0-b^{\prime}, y_0+b^{\prime}\right)$ 上处处大于 0 ，因此是 $y$ 的严格单调增加函数．从 $F\left(x_0, y_0\right)=0$ 可知有

$$
F\left(x_0, y_0-b^{\prime}\right)<0, \quad F\left(x_0, y_0+b^{\prime}\right)>0
$$

利用二元函数 $F(x, y)$ 在 $D$ 上连续，因此从连续函数的保号性知道在点 $\left(x_0, y_0-b^{\prime}\right)$ 邻近 $F$ 小于 0 ，而在点 $\left(x_0, y_0+b^{\prime}\right)$ 上大于 0 。 特别我们考虑闭区域 $D^{\prime}$的上

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【高等数学】隐函数的求导公式

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