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弧长的微分和曲线的自然参数方程

## 12.2.3 弧长的微分和曲线的自然参数方程
设曲线由参数方程给出：$x=x(t), y=y(t), \alpha \leqslant t \leqslant \beta$ ．在 $x(t), y(t)$ 连续可微条件下，曲线上从点 $(x(\alpha), y(\alpha))$ 到流动点 $(x(t), y(t))$ 的弧长为 $t$ 的函数．将这个函数记为

$$
s(t)=\int_\alpha^t \sqrt{x^{\prime 2}(\tau)+y^{\prime 2}(\tau)} d \tau
$$

由于被积函数连续，因此 $s(t)$ 对 $t$ 可导，且有 $s^{\prime}(t)=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}$（见定理 10．11）．于是我们可以写出 $s(t)$ 的微分为

$$
d s=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} d t=\sqrt{d x^2+d y^2}
$$

这样就对第六章图 6.15 中描述的微分三角形提供了严格的根据．
对于 $y=y(x)$ 确定的曲线，可以将 $x$ 看成参数，从

而就有

$$
d s=\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x=\sqrt{d x^2+d y^2}
$$

在图 12.12 上作出了这种情况的微分三角形。
对于极坐标方程 $r=r(\theta)$ 给出的曲线则有

$$
d s=\sqrt{r^2(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)} d \theta
$$

![图片](/uploads/2025-02/533356.jpg)

也有相应的微分三角形．对于三维情况有类似的推广。
从光滑曲线的条件可知有 $\frac{ d s}{d t}=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}>0$ ，因此 $s=s(t)$ 是 $t$ 的严格单调增加函数．当然这很直观，从某个点开始计算弧长，则随着参数增长对应的弧长一定严格增加。

由此可见，存在反函数 $t=t(s)$ ，这表明可以取弧长 $s$ 作为参数，即有 $x=$ $x(s), y=y(s)$ ．将曲线的这种表示方式 $x=x(s), y=y(s)$ 称为曲线的自然参数方程．从

$$
s=\int_0^s \sqrt{x^{\prime 2}(\tau)+y^{\prime 2}(\tau)} d \tau
$$

两边对 $s$ 求导，就得到

$$
1=\sqrt{x^{\prime 2}(s)+y^{\prime 2}(s)}
$$

这表明由 $\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right)$ 决定的向量一定是单位长度的向量，即单位向量．
在很多问题中对于其中的曲线采用弧长为参数的自然参数方程特别有利．上
面证明了对于光滑曲线这总是可能的．
这里附带指出，对于参数方程表示的光滑曲线，由于在 $x^{\prime}(t), y^{\prime}(t)$ 中至少有一个不是 0 ，因此一定可以在该点的一个邻域内得到 $y=y(x)$ 或 $x=x(y)$ 的形式。例如对于前一种情况，切方向的斜率就是 $\frac{ d y}{d x}$ ．从微分概念可见这就是 $d y: d x$ ，而从参数方程求导法则早就知道这个比也就是 $y^{\prime}(t): x^{\prime}(t)$ ．特别是当采用弧长为参数时，$\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right)$ 就是单位切向量，它的指向是弧长的增加方向．

其他版本
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