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数学分析
第四篇 一元函数导数与微分
弧长的微分和曲线的自然参数方程
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2025-03-15 11:11
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弧长的微分和曲线的自然参数方程
## 12.2.3 弧长的微分和曲线的自然参数方程 设曲线由参数方程给出：$x=x(t), y=y(t), \alpha \leqslant t \leqslant \beta$ ．在 $x(t), y(t)$ 连续可微条件下，曲线上从点 $(x(\alpha), y(\alpha))$ 到流动点 $(x(t), y(t))$ 的弧长为 $t$ 的函数．将这个函数记为 $$ s(t)=\int_\alpha^t \sqrt{x^{\prime 2}(\tau)+y^{\prime 2}(\tau)} d \tau $$ 由于被积函数连续，因此 $s(t)$ 对 $t$ 可导，且有 $s^{\prime}(t)=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}$（见定理 10．11）．于是我们可以写出 $s(t)$ 的微分为 $$ d s=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} d t=\sqrt{d x^2+d y^2} $$ 这样就对第六章图 6.15 中描述的微分三角形提供了严格的根据． 对于 $y=y(x)$ 确定的曲线，可以将 $x$ 看成参数，从 而就有 $$ d s=\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x=\sqrt{d x^2+d y^2} $$ 在图 12.12 上作出了这种情况的微分三角形。 对于极坐标方程 $r=r(\theta)$ 给出的曲线则有 $$ d s=\sqrt{r^2(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)} d \theta $$  也有相应的微分三角形．对于三维情况有类似的推广。 从光滑曲线的条件可知有 $\frac{ d s}{d t}=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}>0$ ，因此 $s=s(t)$ 是 $t$ 的严格单调增加函
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