最后更新: 2025-03-15 11:12 查看: 180 次反馈同步训练

曲率

## 平面曲线的曲率
本小节要讨论如何刻画曲线的弯曲程度．同一条曲线在不同点上的弯曲程度可以不一样，除非是圆或直线．从比较不同半径的圆弧可知它们的弯曲程度是不同的．对于一般的曲线来说，各个点处的弯曲程度也可能是不一样的．

如何度量曲线的弯曲程度？我们采取的方法是用切向量方向作为曲线方向，然后观察在曲线上经过相同弧长情况下曲线的方向变化的大小．因此这也是一种变化率问题。

具体来说，设以弧长为参数的光滑曲线方程为 $r (s)=(x(s), y(s))$, 它的方向由 $r ^{\prime}(s)=\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right)$确定．但曲线从点 $r (s)$ 变化到 $r (s+\Delta s)$ 时，曲线的方向从 $r ^{\prime}(s)$ 变化到 $r ^{\prime}(s+\Delta s)$ ．如图 12.13 所示，将方向的变化记为 $\Delta \varphi$ ．此后的问题就与导数的定义完全相同，这就是先写出平均变化率，然后取极限．

![图片](/uploads/2025-02/1a83ca.jpg)

## 定义 
光滑曲线 $r (s)$ 在某一点处的曲率为

K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}=\left|\frac{d \varphi}{d s}\right|

其中 $\varphi$ 是切向量 $r ^{\prime}(s)=\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right)$ 的倾斜角．

`例`求半径为 $R$ 的圆周的曲率 $K$ ．
解: 容易看出，与弧长的增量 $\Delta s$ 对应的 $\Delta \varphi$ 等于 $\Delta s$ 对应的圆心角，即有 $\Delta \varphi=\frac{\Delta s}{R}$ ，因此

$$
K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\frac{\Delta s}{R}}{\Delta s}=\frac{1}{R}
$$

> 以上结论与直观是完全一致的，即圆周上各个点的曲率相同，而半径越小，圆弧的弯曲程度越大，半径越大，则圆弧越是平坦，即弯曲程度越小．极端情况是直线，它可以看成是半径无穷大的圆弧。

下面介绍曲率的具体计算公式。
（1）曲线由直角坐标方程 $y=y(x)$ 给出．这时 $\varphi=\arctan y^{\prime}, \frac{ d s}{d x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ ，于是有（以 $x$ 为参数的计算公式）

$$
\frac{d \varphi}{d s}=\frac{\frac{d \varphi}{d x}}{\frac{d s}{d x}}=\frac{y^{\prime \prime}}{1+y^{\prime 2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\frac{y^{\prime \prime}}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

取绝对值就得到所求的曲率公式：

$$
\boxed{
K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}
}
$$

对上述计算作一点解释．$\varphi$ 作为弧长 $s$ 的函数，但它们又都是曲线参数的函数．对于由 $y=y(x)$ 给出的曲线来说，参数就是 $x$ ．于是有 $\varphi=\varphi(x), s=s(x)$ ．由于 $s(x)$ 一定严格单调增加，因此存在反函数 $x=x(s)$ ．从而建立起函数关系 $\varphi(x(s))$ ．因此求导法则与 [参数方程求导法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2250) 中的法则完全一样。
（2）曲线由 $x=x(t), y=y(t)$ 给出．这时只要将

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{y_t^{\prime}}{x_t^{\prime}}, \quad \frac{d^2 y}{d x^2}=\left(\frac{y_t^{\prime}}{x_t^{\prime}}\right)_t^{\prime} \cdot t_x^{\prime}=\frac{y_t^{\prime \prime} x_t^{\prime}-x_t^{\prime \prime} y_t^{\prime}}{x_t^{\prime 3}}
$$

代入前面的公式即可得到

$$
\boxed{
K=\dfrac{\left|y_t^{\prime \prime} x_t^{\prime}-x_t^{\prime \prime} y_t^{\prime}\right|}{\left(x_t^{\prime 2}+y_t^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}
}
$$

## 曲率圆
在曲率概念的基础上下面给出曲率圆，曲率半径和曲率中心的定义，它们对于理解曲率概念提供了非常具体的几何意义．

为简单起见，在图 12.14 中对于用粗黑线表示的曲线 $y=y(x)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)\left(y_0=y\left(x_0\right)\right)$ 处作出了曲线在该点的曲率圆，其中设曲线在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的曲率为 $K$ ．

**定义12.3** 过点 $\left(x_0, y_0\right)$ 且与曲线 $y=$ $y(x)$ 在该点具有相同的一阶和二阶导数的圆 $(X-a)^2+(Y-b)^2=R^2$ 称为曲线在该点的**曲率圆**，曲率圆的圆心 $(a, b)$ 称为曲线 $y=y(x)$上点 $\left(x_0, y_0\ri

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【高等数学】弧微分与曲率

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