最后更新: 2025-03-15 11:12 查看: 306 次纠错评论(0) 课件开VIP

曲率

## 平面曲线的曲率
本小节要讨论如何刻画曲线的弯曲程度．同一条曲线在不同点上的弯曲程度可以不一样，除非是圆或直线．从比较不同半径的圆弧可知它们的弯曲程度是不同的．对于一般的曲线来说，各个点处的弯曲程度也可能是不一样的．

如何度量曲线的弯曲程度？我们采取的方法是用切向量方向作为曲线方向，然后观察在曲线上经过相同弧长情况下曲线的方向变化的大小．因此这也是一种变化率问题。

具体来说，设以弧长为参数的光滑曲线方程为 $r (s)=(x(s), y(s))$, 它的方向由 $r ^{\prime}(s)=\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right)$确定．但曲线从点 $r (s)$ 变化到 $r (s+\Delta s)$ 时，曲线的方向从 $r ^{\prime}(s)$ 变化到 $r ^{\prime}(s+\Delta s)$ ．如图 12.13 所示，将方向的变化记为 $\Delta \varphi$ ．此后的问题就与导数的定义完全相同，这就是先写出平均变化率，然后取极限．

![图片](/uploads/2025-02/1a83ca.jpg)

## 定义 
光滑曲线 $r (s)$ 在某一点处的曲率为

K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}=\left|\frac{d \varphi}{d s}\right|

其中 $\varphi$ 是切向量 $r ^{\prime}(s)=\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right)$ 的倾斜角．

`例`求半径为 $R$ 的圆周的曲率 $K$ ．
解: 容易看出，与弧长的增量 $\Delta s$ 对应的 $\Delta \varphi$ 等于 $\Delta s$ 对应的圆心角，即有 $\Delta \varphi=\frac{\Delta s}{R}$ ，因此

$$
K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\frac{\Delta s}{R}}{\Delta s}=\frac{1}{R}
$$

> 以上结论与直观是完全一致的，即圆周上各个点的曲率相同，而半径越小，圆弧的弯曲程度越大，半径越大，则圆弧越是平坦，即弯曲程度越小．极端情况是直线，它可以看成是半径无穷大的圆弧。

下面介绍曲率的具体计算公式。
（1）曲线由直角坐标方程 $y=y(x)$ 给出．这时 $\varphi=\arctan y^{\prime}, \frac{ d s}{d x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ ，于是有（以 $x$ 为参数的计算公式）

$$
\frac{d \varphi}{d s}=\frac{\frac{d \varphi}{d x}}{\frac{d s}{d x}}=\frac{y^{\prime \prime}}{1+y^{\prime 2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\frac{y^{\prime \prime}}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

取绝对值就得到所求的曲率公式：

$$
\boxed{
K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}
}
$$

对上述计算作一点解释．$\varphi$ 作为弧长 $s$ 的函数，但它们又都是曲线参数的函数．对于由 $y=y(x)$ 给出的曲线来说，参数就是 $x$ ．于是有 $\varphi=\varphi(x), s=s(x)$ ．由于 $s(x)$ 一定严格单调增加，因此存在反函数 $x=x(s)$ ．从而建立起函数关系 $\varphi(x(s))$ ．因此求导法则与 [参数方程求导法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2250) 中的法则完全一样。
（2）曲线由 $x=x(t), y=y(t)$ 给出．这时只要将

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{y_t^{\prime}}{x_t^{\prime}}, \quad \frac{d^2 y}{d x^2}=\left(\frac{y_t^{\prime}}{x_t^{\prime}}\right)_t^{\prime} \cdot t_x^{\prime}=\frac{y_t^{\prime \prime} x_t^{\prime}-x_t^{\prime \prime} y_t^{\prime}}{x_t^{\prime 3}}
$$

代入前面的公式即可得到

$$
\boxed{
K=\dfrac{\left|y_t^{\prime \prime} x_t^{\prime}-x_t^{\prime \prime} y_t^{\prime}\right|}{\left(x_t^{\prime 2}+y_t^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}
}
$$

## 曲率圆
在曲率概念的基础上下面给出曲率圆，曲率半径和曲率中心的定义，它们对于理解曲率概念提供了非常具体的几何意义．

为简单起见，在图 12.14 中对于用粗黑线表示的曲线 $y=y(x)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)\left(y_0=y\left(x_0\right)\right)$ 处作出了曲线在该点的曲率圆，其中设曲线在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的曲率为 $K$ ．

**定义12.3** 过点 $\left(x_0, y_0\right)$ 且与曲线 $y=$ $y(x)$ 在该点具有相同的一阶和二阶导数的圆 $(X-a)^2+(Y-b)^2=R^2$ 称为曲线在该点的**曲率圆**，曲率圆的圆心 $(a, b)$ 称为曲线 $y=y(x)$上点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的**曲率中心**，$R$ 称为**曲率半径**．

由于曲线的曲率 $K$ 只由一阶和二阶导数决定，因此从定义可见，曲率圆在该点的曲率也只能是 $K$ ．从上面例题知道圆的曲率处处等于其半径的倒数，因此就有 $R=\dfrac{1}{K}$ ．

![图片](/uploads/2025-02/40f446.jpg)

此外，由于曲线和曲率圆在该点切线相同，因此曲率中心一定在该点的法线上．又从 $y^{\prime \prime}(x)$ 的符号可以确定当 $y^{\prime \prime}(x)>0$ 时，曲率中心在点 $(x, y(x))$ 的上方，而当 $y^{\prime \prime}(x)<0$ 时则在其下方．这一点利用 [凸函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2398) 知识就容易理解。

从定义可知，曲线在点 $(x, y(x))$ 的凸性与曲率圆在该点的凸性必须相同．又利用上半圆为上凸，而下半圆为下凸，可见曲率圆一定位于所说的方向上．

`例`对于椭圆 $x(t)=10 \cos t, y(t)=8 \sin t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ 上由参数值 $t_0=\pi / 4$ 确定的点计算其曲率圆的半径和中心．

解 这里的点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为 $(5 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$ ．由曲率公式 $K=\frac{\left|x^{\prime \prime} y^{\prime}-x^{\prime} y^{\prime \prime}\right|}{\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)^{3 / 2}}$ 可以计算出在该点的曲率 $K=\frac{80}{(82)^{3 / 2}}$ ，

因此 $R=1 / K \approx 9.28$ ．

求出椭圆在该点的导数值 -0.8 ，然后过该点作出法线$Y-y_0=1.25\left(X-x_0\right)$ ，就可以计算出曲率中心 $(a, b)$ ，它们的近似值为 $a \approx 1.273, b \approx-1.591$ 。

## 曲率圆与切线比较
将曲率圆比切线提供了更多的信息．它不仅提供了切线方向，还提供了曲线在该点的弯曲程度和如何弯曲。由于二阶导数与 牛顿Newton力学[第二定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=972)的联系，曲率在许多问题中都是不能不考虑的因素．下面举一个例子．

`例` 曲率概念的应用之一是铺设铁轨时对于弯道的联接问题．若简单地将直线和圆弧联接，则由于向心加速度的突然变化，对于路基，铁轨和人都极其不利。从数学角度来看，就是要使得曲率变化有一个光滑的过渡。我国一般采用 3 次曲线过渡。
 ![图片](/uploads/2025-02/88bb87.jpg)

具体来说，如右边的示意图中那样，设铁轨的直道取为 $x$ 轴的负半轴，从左方到原点后开始左拐弯。要求前进方向 $x_0$ 米时曲率半径到达指定的数值 $r$（例如 600 米）。采用过渡曲线为 $k x^3$ ，要求计算出 $k$ ．前提是 $k x_0^3 \ll x_0$ ，即

![图片](/uploads/2025-02/39cf3b.jpg)

解 在曲率半径公式 $R=\frac{1}{K}=\frac{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left|y^{\prime \prime}\right|}$ 中用 $y=k x^3, x=x_0, R=r$ 代入，并利用 $k x_0^3 \ll x_0$ 的前提条件，则有

$$
r=\frac{\left(1+9 k^2 x_0^4\right)^{\frac{3}{2}}}{6 k x_0} \approx \frac{1}{6 k x_0} .
$$

同时过渡轨道的长度 $l=\int_0^{x_0} \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x \approx x_0$ ，因此最后的公式为 $k=\frac{1}{6 r l}$ ．由此可以定出过渡轨道与圆形轨道的结合点位置．
例如，设取 $r=600$ 米，$l=100$ 米，则

$$
k x_0^3 \approx \frac{1}{6 \times 600 \times 100} \cdot(100)^3=\frac{100}{36} \approx 2.77,
$$

即接近 3 米．这表明前进 100 米时向左偏转 3 米就实现了曲率从 0 到 $1 / 600$ 的过渡，然后就可以平滑地与半径为 600 米的弯曲轨道联接了。

**思考题** 计算三次曲线 $y=x^3$ 的曲率半径的变化规律．

注 从目前文献来看（不限于铁轨铺设问题），对于过渡轨道或缓和曲线等问题的研究很多，有许多学术论文．实际上凡是要将两条不同轨道连接时都有一个如何过渡的问题．以上可以说是最简单的一类问题．

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