最后更新: 2025-03-15 11:12 查看: 196 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

曲率

## 平面曲线的曲率
本小节要讨论如何刻画曲线的弯曲程度．同一条曲线在不同点上的弯曲程度可以不一样，除非是圆或直线．从比较不同半径的圆弧可知它们的弯曲程度是不同的．对于一般的曲线来说，各个点处的弯曲程度也可能是不一样的．

如何度量曲线的弯曲程度？我们采取的方法是用切向量方向作为曲线方向，然后观察在曲线上经过相同弧长情况下曲线的方向变化的大小．因此这也是一种变化率问题。

具体来说，设以弧长为参数的光滑曲线方程为 $r (s)=(x(s), y(s))$, 它的方向由 $r ^{\prime}(s)=\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right)$确定．但曲线从点 $r (s)$ 变化到 $r (s+\Delta s)$ 时，曲线的方向从 $r ^{\prime}(s)$ 变化到 $r ^{\prime}(s+\Delta s)$ ．如图 12.13 所示，将方向的变化记为 $\Delta \varphi$ ．此后的问题就与导数的定义完全相同，这就是先写出平均变化率，然后取极限．

![图片](/uploads/2025-02/1a83ca.jpg)

## 定义 
光滑曲线 $r (s)$ 在某一点处的曲率为

K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}=\left|\frac{d \varphi}{d s}\right|

其中 $\varphi$ 是切向量 $r ^{\prime}(s)=\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right)$ 的倾斜角．

`例`求半径为 $R$ 的圆周的曲率 $K$ ．
解: 容易看出，与弧长的增量 $\Delta s$ 对应的 $\Delta \varphi$ 等于 $\Delta s$ 对应的圆心角，即有 $\Delta \varphi=\frac{\Delta s}{R}$ ，因此

$$
K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\frac{\Delta s}{R}}{\Delta s}=\frac{1}{R}
$$

> 以上结论与直观是完全一致的，即圆周上各个点的曲率相同，而半径越小，圆弧的弯曲程度越大，半径越大，则圆弧越是平坦，即弯曲程度越小．极端情况是直线，它可以看成是半径无穷大的圆弧。

下面介绍曲率的具体计算公式。
（1）曲线由直角坐标方程 $y=y(x)$ 给出．这时 $\varphi=\arctan y^{\prime}, \frac{ d s}{d x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ ，于是有（以 $x$ 为参数的计算公式）

$$
\frac{d \varphi}{d s}=\frac{\frac{d \varphi}{d x}}{\frac{d s}{d x}}=\frac{y^{\prime \prime}}{1+y^{\prime 2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\frac{y^{\prime \prime}}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}

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【高等数学】弧微分与曲率

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