最后更新: 2025-05-23 08:21 查看: 170 次反馈同步训练

若尔当不等式

## 若尔当不等式
若尔当不等式的形式

当$x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时 （注意：这里使用的是弧度制），
$$
\boxed{
\tan x \geqslant x \geqslant \sin x \geqslant \frac{2 x}{\pi}
}
$$ 
其中 $ x=0$ 时取等号．

若尔当之前经常考察，现在靠的不多了，因此，这里了解即可。

### 不等式的几何意义
若尔当不等式的证明较为繁琐，但是几何意义比较明显

几何解释：
如下图中，其中大圆是单位圆，也就是$OA$的长度取1，$x$是弧度制，所以$x$的值就是对应的圆弧,

$x=\overparen{AP}$ 
$\tan x = \frac{NA}{OA}= NA$ 
$\sin x = \frac{PM}{OP}= PM$

因为 $NP> \overparen{AP}> PM $

所以 $\tan x > x > sin x$

![图片](/uploads/2025-05/ad8960.jpg){width=400px}

在 $x=0$时取等号。 其它的参考下面推理。
$N A \geqslant P M$ ，故 $\tan x \geqslant x$ ．又 $\overparen{P B Q} \geqslant \overparen{P A Q} \geqslant P Q$ ，则 $\pi \sin x \geqslant$ $2 x \geqslant 2 \sin x$ ，即 $x \geqslant \sin x \geqslant \frac{2 x}{\pi}$ ．综合以上两方面讨论，有 $\tan x \geqslant x \geqslant \sin x \geqslant \frac{2 x}{\pi}$ ．

`例` 在  $\tan x > x > sin x$ 取 $x=0.01$ 可得
 
 $\tan 0.01 > 0.01 > sin 0.01 $
 
 所以，若尔当不等式可以用来进行缩放，把三角函数问题转换为$x$问题。使用时，请注意$x$的取值范围。
 
 
### 推论
若 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\frac{2}{\pi}<\frac{\sin x}{x}<1$ ．

`例` 若尔当不等式：若 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\

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