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外微分

## 外微分形式的概念
在前面的章节中，我们引进了曲线积分、曲面积分及体积分，并证明了格林公式、高斯公式及斯托克斯公式：

$$
\begin{array}{l}
& \oint_{L^{+}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& \oint_{S^{+}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& \oint_{L^{+}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+P \mathrm{~d} z=\iint_{S^{+}}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x  
+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\end{array}
$$

其中积分限 $L^{+}, D, S, \Omega$ 以及被积函数 $P, Q, R$ 所满足的条件同于前面，此处不再一一叙述。

仔细观察这些公式，不难发现公式左端积分的积分限恰好是右端积分的积分限的边界；其次，公式右端积分中的被积函数是左端积分中被积分函数的某种形式的＂微分＂．

我们希望有一种统一的观点，把这些公式统一成一个公式．这样的处理不仅便于记忆这些公式，更重要的是便于将这些公式推广到高维空间乃至一般流形上。实现这一想法的主要途径是引入外微分形式。

为了方便起见，在本节的讨论中我们始终假定所涉及的函数都是充分光滑的，即它们具有我们所需要的阶数的连续偏导数．

**定义** 设 $D$ 是 $\boldsymbol{R}^n$ 中的一个区域，又设 $f_j: D \rightarrow \boldsymbol{R}$ 是 $D$ 中的函数，$j= 1,2, \cdots, n$ ．那么，我们称表达式

$$
f_1\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mathrm{d} x_1+\cdots+f_n\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mathrm{d} x_n
$$

为 $D$ 中的一个**一阶外微分形式**，或简称为**一阶微分形式**．这里 $f_1, \cdots, f_n$ 称为**微分形式的系数**。

很明显在前述的格林公式及斯托克斯公式中，曲线积分的被积函数就是一个一阶微分形式。

另外，假如我们在区域 $D$ 中已知一个光滑函数 $F=F\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，那么它的全微分

$$
\mathrm{d} F=\sum_{j=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_j}\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mathrm{d} x_j
$$

显然是一个一阶微分形式。
然而，并非所有的一阶微分形式都是某个函数的全微分。比如，在 $\boldsymbol{R}^2$中的一个一阶微分形式

$$
P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
$$

是某函数 $F(x, y)$ 之全微分，要求

$$
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} .
$$

这就是说，只要 $P$ 与 $Q$ 不满足这一条件，它们所决定的一阶微分形式 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 就不可能是某函数之全微分。

因此，我们应当把微分形式与一个函数的全微分加以区分：前者是系数任意给定的一个微分表达式，而后者是由一个函数求得的全微分．函数的全微分是一种一阶微分形式，但并非一阶微分形式的全部。

如果一个一阶微分形式 $f_1 \mathrm{~d} x_1+\cdots+f_n \mathrm{~d} x_n$ 恰好是某个函数 $F$ 的全微分 $\mathrm{d} F$ ，则称该一阶微分形式为恰当微分．

微分形式 $f_1 \mathrm{~d} x_1+\cdots+f_n \mathrm{~d} x_n$ 是恰当微分的必要条件是

$$
\frac{\partial f_j}{\partial x_i}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}, \quad \forall i \neq j ; i, j=1, \cdots, n .
$$

今后我们将区域 $D \subset \boldsymbol{R}^n$ 中的所有一阶微分形式组成的集合记作 $\Lambda_1(D)$ ，或简记为 $\Lambda_1$ ．这时在 $\Lambda_1(D)$ 中可以定义加法运算．若

$$
\begin{aligned}
& \lambda=f_1 \mathrm{~d} x_1+\cdots+f_n \mathrm{~d} x_n \in \Lambda_1(D), \\
& \mu=g_1 \mathrm{~d} x_1+\cdots+g_n \mathrm{~d} x_n \in \Lambda_1(D),
\end{aligned}
$$

我们定义 $\lambda+\mu$ 是一阶微分形式
$$
\left(f_1+g_1\right) \mathrm{d} x_1+\cdots+\left(f_n+g_n\right) \mathrm{d} x_n .
$$

此外，我们还可定义 $\Lambda_1$ 中的元素 $\lambda$ 与一个实数 $r$ 的数乘运算．设 $\lambda= f_1 \mathrm{~d} x_1+\cdots+f_n \mathrm{~d} x_n$ ，则我们定义：

$$
r \lambda=r f_1 \mathrm{~d} x_1+\cdots+r f_n \mathrm{~d} x_n .
$$

在这样的加法运算及数乘运算之下，$\Lambda_1(D)$ 组成了一个线性空间。
下面我们讨论高阶外微分形式的定义。
很自然会想到一个二阶微分形式应该是形如 $f_{i j} \mathrm{~d} x_i \mathrm{~d} x_j$ 项的和，就像在格林公式、高斯公式及斯托克斯公式中二重积分及曲面积分的被积函数那样。

首先我们注意到，在上述公式中只包含带 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 及 $\mathrm{d} z \mathrm{~d} x$ 的项，而不包括 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} y \mathrm{~d} y$ 及 $\mathrm{d} z \mathrm{~d} z$ 的项．这是因为从几何上看， $\mathrm{d} x$ 与它自己所构成＂面积元＂应该是零。

另外，在上述公式中 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ 中的自变量的次序也是十分重要的。回顾在三维空间中第二型曲面积分的定义，就会看到这一点。通常在三维空间中所取定的直角坐标系 $O x y z$ 是一个右手系。为了定义曲面 $S$ 的面积分，须事先给出曲面 $S$ 的定向，即选定法向量 $\boldsymbol{n}$ ．点 $\boldsymbol{P} \in S$ 处的曲面面积元素 $\mathrm{d} S$ 所对应的三个有向投影分别是

$$
\mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\mathrm{d} S \cdot \cos \gamma, \quad \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\mathrm{d} S \cdot \cos \alpha, \quad \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\mathrm{d} S \cdot \cos \beta .
$$

这里 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是点 $P$ 处的法向量 $\boldsymbol{n}$ 的方向余弦．可见 $\mathrm{d} S$ 的有向投影 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 及 $\mathrm{d} z \mathrm{~d} x$ 完全依赖于坐标轴的选取。如果 $x$ 轴与 $y$ 轴对调，那么为保持坐标系为右手系。 $z$ 轴的方向应当反向，而这时的 $\cos \gamma$ 则改变符号。这就是说，在自变量对换位置时， $\mathrm{d} S$ 的有向投影将改变其符号。比如， $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 应该是 $-\mathrm{d} y \mathrm{~d} x$ 。

为了 $\mathrm{d} S$ 的有向投影的上述性质，我们引入两个自变量的微分的外积的记号 $\mathrm{d} x_i \wedge \mathrm{~d} x_j$ 来替代通常的写法 $\mathrm{d} x_i \mathrm{~d} x_j$ 。我们做如下的约定：
（1） $\mathrm{d} x_i \wedge \mathrm{~d} x_i=0(i=1, \cdots, n)$ ，即相同自变量微分的外积为零；
（2） $\mathrm{d} x_i \wedge \mathrm{~d} x_j=-\mathrm{d} x_j \wedge \mathrm{~d} x_i(i \neq j ; i, j=1, \cdots, n)$ ，即交换不同自变量的微分的次序时它们的外积改变符号。

现在我们引入二阶外微分形式的定义。

## 二阶外微分
**定义** 设 $D$ 为 $\boldsymbol{R}^n$ 中的一个区域，$f_{i j}$ 为 $D$ 中的函数。我们称表达式

$$
\sum_{i, j=1}^n f_{i j} \mathrm{~d} x_i \wedge \mathrm{~d} x_j
$$

为 $D$ 上的一个二阶外微分形式，或简称为二阶微分形式，其中 $f_{i j}$ 被称为微分形式的系数．
根据前面两条约定，$D \subset \boldsymbol{R}^n$ 中的一个二阶外微分形式在经过整理后至多有 $\frac{1}{2} n(n-1)$ 个非零项。在三维欧氏空间中，一个二阶外微分形式可由三个系数确定，即

$$
P \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y+Q \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+R \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x
$$

显然，我们可以类似地定义三阶或更高阶的外微分形式，只要我们考虑自变量微分的三重外积 $\mathrm{d} x_i \wedge \mathrm{~d} x_j \wedge \mathrm{~d} x_l$ 或更高重数的外积就够了。当然，我们应当约定在这种多重外积 $\mathrm{d} x_{i_1} \wedge \mathrm{~d} x_{i_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} x_{i_k}$ 中：
（1）只要有两个自变量相同，则为零；
（2）当交换相邻自变量的位置时，改变符号。
我们用 $\Lambda_m(D)$ 表示区域 $D \subset \boldsymbol{R}^n$ 中全体 $m$ 阶外微分形式之集合。特别地，我们用 $\Lambda_0(D)$ 表示 $D$ 中全体光滑函数的集合，并把每一个这样的函数称作一个零阶外微分形式。

显然，可以在每一个 $\Lambda_m(D)(m \geqslant 0)$ 中定义加法及数乘运算，并使 $\Lambda_m(D)$ 构成一个线性空间，就像对 $\Lambda_1(D)$ 所做的那样。

## 微分形式的外微分运算
一个函数（即零阶微分形式）$F$ 通过微分运算而得到一个一阶微分形式

$$
\mathrm{d} F=\frac{\partial F}{\partial x_1} \mathrm{~d} x_1+\cdots+\frac{\partial F}{\partial x_n} \mathrm{~d} x_n
$$

那么，一个一阶微分形式通过微分运算就得到一个二阶微分形式，其确切定义如下。设 $\omega=f_1 \mathrm{~d} x_1+\cdots+f_n \mathrm{~d} x_n$ ，我们定义 $\omega$ 的外微分 $\mathrm{d} \omega$ 由下式确定：

$$
\mathrm{d} \omega=\mathrm{d} f_1 \wedge \mathrm{~d} x_1+\cdots+\mathrm{d} f_n \wedge \mathrm{~d} x_n
$$

其中 $\mathrm{d} f_i$ 是函数 $f_i$ 的全微分，$i=1,2, \cdots, n$ ．

`例`在二维欧氏空间的区域 $D$ 中一个一阶微分形式 $\omega=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$的外微分

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega & =\mathrm{d} P \wedge \mathrm{~d} x+\mathrm{d} Q \wedge \mathrm{~d} y \\
& =\left(\frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} y\right) \wedge \mathrm{d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{~d} y\right) \wedge \mathrm{d} y \\
& =\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} x+\frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \\
& =\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
$$

`例` 在三维欧氏空间中的一个一阶外微分形式 $\omega=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$的外微分是

$$
\mathrm{d} \omega=\mathrm{d} P \wedge \mathrm{~d} x+\mathrm{d} Q \wedge \mathrm{~d} y+\mathrm{d} R \wedge \mathrm{~d} z
$$

另外一方面，

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} P=\frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial P}{\partial z} \mathrm{~d} z, \\
& \mathrm{~d} Q=\frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial Q}{\partial z} \mathrm{~d} z, \\
& \mathrm{~d} R=\frac{\partial R}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial R}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} z .
\end{aligned}
$$

将这些代入 $\mathrm{d} \omega$ 就得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega= & \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y+\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z \\
& +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

`例`设

$$
\omega=P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y
$$

是三维欧氏空间中某一区域内的一个二阶外微分形式，则它的外微分

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega= & \mathrm{d} P \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+\mathrm{d} Q \wedge \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+\mathrm{d} R \wedge \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \\
= & \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+\frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x \\
& +\frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \\
= & \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z .
\end{aligned}
$$

在一阶微分形式中我们定义过恰当微分的概念。其实这一概念也可推广到一般的外微分形式。

## 一般的外微分 恰当微分
定义 设 $\omega$ 是 $\boldsymbol{R}^n$ 中某区域 $D$ 中的一个 $m$ 阶外微分形式，也即 $\omega \in \Lambda_m(D)$ ，这里 $m$ 是一个自然数．若存在一个 $\Omega \in \Lambda_{m-1}(D)$ 使得 $\mathrm{d} \Omega=\omega$ ，则称 $\omega$ 是一个（ $m$ 阶）恰当微分。

除了恰当微分之外，还有一个常用的词：闭的微分形式．
定义 设 $\omega \in \Lambda_m(D)$ 。我们称 $\omega$ 是闭的外微分形式，如果其外微分 $\mathrm{d} \omega=$ 0.

根据这一定义及例1中的计算，在平面区域中的一阶外微分形式 $\omega= P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 是闭的，当且仅当 $P$ 与 $Q$ 满足方程

$$
\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=0 .
$$

同理，三维欧氏空间中某区域内的二阶外微分形式 $\omega=P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x +R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y$ 是闭的，当且仅当 $P, Q$ 与 $R$ 满足

$$
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0 .
$$

而三维欧氏空间中某区域内的一阶外微分形式 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 是闭的外微分形式，则须要满足三个条件：

$$
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0 .
$$

> **命题 恰当微分是闭的。**

这条命题也可以表述成下列形式：若 $\Omega$ 为一个外微分形式，则 $\mathrm{dd} \Omega=$ 0 ．换句话说，任意的一个外微分形式求两次外微分必为零。

现在我们先来解释为什么前面的命题可以表述成这种形式。事实上，假定 $\omega$ 为一恰当微分，那么即存在一个外微分形式 $\Omega$ 使得 $\mathrm{d} \Omega=\omega$ ．这样，命题中的结论 $\omega$ 是闭的（也即 $\mathrm{d} \omega=0$ ）就意味着 $\mathrm{dd} \Omega=0$ ．

## 庞加莱引理
这条命题有时被称作庞加莱（Poincaré，1854－1912）引理．
现在我们证明这一命题。为了简单起见，我们的证明仅限于三维空间的情况．因为在三维空间中三阶以上的外微分形式是 0 ，所以只须验证一阶及二阶的恰当微分的外微分为零就足够了。

设 $\omega=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 是一个恰当微分．那么存在一个函数 $F= F(x, y, z)$ 使得

$$
P=\frac{\partial F}{\partial x}, \quad Q=\frac{\partial F}{\partial y}, \quad R=\frac{\partial F}{\partial z}
$$

也就是说，$\omega=\frac{\partial F}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial F}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial F}{\partial z} \mathrm{~d} z$ ．这样一来，

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega= & \mathrm{d}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) \wedge \mathrm{d} x+\mathrm{d}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right) \wedge \mathrm{d} y+\mathrm{d}\left(\frac{\partial F}{\partial z}\right) \wedge \mathrm{d} z \\
= & \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \mathrm{~d} x+\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial z} \mathrm{~d} z\right) \wedge \mathrm{d} x \\
& +\left(\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \mathrm{~d} y+\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial z} \mathrm{~d} z\right) \wedge \mathrm{d} y \\
& +\left(\frac{\partial^2 F}{\partial z \partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial^2 F}{\partial z \partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2} \mathrm{~d} z\right) \wedge \mathrm{d} z
\end{aligned}
$$

注意到

$$
\begin{gathered}
\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} x=\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} y=\mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} z=0 \\
\mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y=-\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} x ; \quad \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z=-\mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} y, \\
\mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} z=-\mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x
\end{gathered}
$$

我们立即推出

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega= & \left(\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}-\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y+\left(\frac{\partial^2 F}{\partial z \partial y}-\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial z}\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z \\
& +\left(\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial z}-\frac{\partial^2 F}{\partial z \partial x}\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x .
\end{aligned}
$$

在本节一开头我们就约定，本节讨论中所涉及的函数有足够的光滑性．当 $F$有二阶连续偏导数时，我们有

$$
\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}, \quad \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial z}=\frac{\partial^2 F}{\partial z \partial y}, \quad \frac{\partial^2 F}{\partial z \partial x}=\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial z} .
$$

于是 $\mathrm{d} \omega=0$ ，也即 $\omega$ 是闭的。
现在假定 $\omega$ 是一个二阶恰当微分形式。这时存在一个一阶外微分形式 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 使得 $\omega=\mathrm{d} P \wedge \mathrm{~d} x+\mathrm{d} Q \wedge \mathrm{~d} y+\mathrm{d} R \wedge \mathrm{~d} z$ ，也即

$$
\begin{aligned}
\omega= & \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y+\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z \\
& +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x .
\end{aligned}
$$
这样

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega= & \mathrm{d}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \wedge \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y+\mathrm{d}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \wedge \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z \\
& +\mathrm{d}\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \wedge \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x \\
= & \left(\frac{\partial^2 Q}{\partial x \partial z}-\frac{\partial^2 P}{\partial y \partial z}+\frac{\partial^2 R}{\partial y \partial x}-\frac{\partial^2 Q}{\partial z \partial x}-\frac{\partial^2 R}{\partial x \partial y}\right. \\
& \left.+\frac{\partial^2 P}{\partial z \partial y}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z \\
= & 0 .
\end{aligned}
$$

这就证明了我们的命题．
上述命题的逆命题是否成立呢？也就是说任意一个闭微分是否总是恰当微分呢？

一般说来，这要依赖于外微分的定义域。如在三维空间中，线单连通域内的一阶闭微分总是恰当的．

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