最后更新: 2025-04-09 11:53 查看: 72 次反馈同步训练

理解：无旋场与无源场及其等价关系

## 理解：无旋场与无源场及其等价关系
（1）平面无旋场及其等价关系
$1^{\circ}$ 设 $A =(P, Q) \in C((D)),(D) \subset R ^2$ ，则下列三结论等价
（i）沿 $(D)$ 内任一简单分段光滑闭曲线 $(C)$ ，有

$$
\oint_{(C)} A \cdot e _{ \tau } d s=\oint_{(C)} P d x+Q d y=0
$$

这表明 $A$ 在 $(D)$ 内是无旋场．
（ii）线积分 $\int_A^B A \cdot e _\tau d s=\int_A^B P d x+Q d y$ 之值在 $(D)$ 内与积分路径无关．其中 $A$ 与 $B$ 为 $(D)$ 内任意两点，这说明 $A$ 在 $(D)$ 内是保守场．
（iii）存在函数 $U(x, y)$ ，使 $P d x+Q d y= d U(x, y)$ ，即 $A =(P, Q)$ 是一有势场或者 $A$ 是一梯度场。
$2^{\circ}$ 若加强条件．设（i）$P, Q \in C^1((D))$ ；（ii）（D）为一单连通域，则上面的三个结论与下面结论等价：

$$
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \forall(x, y) \in(D) .
$$

实际上，由 $\oint_{(C)} P d x+Q d y=0, \forall(C) \subset(D)$ 导出 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \forall(x, y) \in(D)$ ，无需单连通条件；但由后者导出前者需要此条件。
$3^{\circ}$ 平面无旋场利用积分和导数两种表示方法
（i）用积分表示
$\forall(C) \subset(D) \subset R ^2$ ，有 $\oint_{(C)} A \cdot d s=0$ ．由于 $\oint_{(C)} A \cdot d s=\oint_{(C)} A \cdot e _{ n } d s$ 表示沿闭曲线 $(C)$ 的环量，既然在 $(D)$ 内沿任一闭曲线 $(C)$ 环量均为零，向量场自然无旋。
（ii）用导数表示
容易看出，当 $A =(R, Q)$ 为平面向量场时， $\operatorname{rot} A =\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k$ ，所以 $\frac{\partial P}{\partial y} \equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$ ，即 $\operatorname{rot} A \equiv 0, \forall(x, y) \in D . A$ 在 $(D)$ 内任一点的旋度为零，自然 $A$ 在 $(D)$ 内是无旋场．

我们看到，对于无旋场 $A (x, y),(x, y) \in D$ ，用积分 $\oint_{(C)} A \cdot d s=0, \forall(C) \subset$ （ $D$ ）表示时，仅需要 $A$ 在 $(D)$ 上连续；若用导数 $\operatorname{rot} A = 0 , \forall(x, y) \in(D)$ 表示时，则还需要 $A$ 在 $(D)$ 上偏导数存在。而且若要从 $\operatorname{rot} A =0$ 导出 $\oint_{(C)} A$ 。 $d s=0, \forall(C) \subset(D)$ ，则还需要偏导数连续以及 $(D)$ 是单连通域这个条件．在 $A \in C^1((D))$ 与 $(D)$ 为单连通域的条件下，积分表示与导数表示是等价的。容易看出，用导数 $\operatorname{rot} A = 0$ 表示，便于通过 $\frac{\partial Q}{\partial x} \equiv \frac{\partial P}{\partial y}$ 来检验。
$4^{\circ}$ 推广至空间
设 $A=(P, Q, R) \in C((G)),(G) \subset R ^3$ ，无旋场可用积分形式表示为

$$
\oint_{(C)} A \cdot d s=0, \quad \forall(C) \subset(G)
$$

这时，无旋场，保守场，有势场（或梯度场）三者是等价的。

若加强条件： $A =(P, Q, R) \in C^1((G))$ ，且 $(G)$ 为一维单连通域，则利用 Stokes 公式，可以证明，无旋场的积分表示与导数表示：

$$
\operatorname{rot} A \equiv 0 , \quad \forall(x, y, z) \in(G) \quad \text { 或 } \quad \frac{\partial R}{\partial y} \equiv \frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \frac{\partial P}{\partial z} \equiv \frac{\partial R}{\partial y}, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} \equiv \frac{\partial P}{\partial x}
$$

是等价的。

## （2）无源场及其等价关系
$1^{\circ}$ 设 $A =(P, Q, R) \in C((G)),(G) \subset R ^3$ ，则下列三个结论等价：
（i）沿 $(G)$ 内任一分块光滑的闭曲面 $(S)$ ，第二型面积分

$$
\ oint_{(S)} A \cdot d S \equiv 0
$$

（ii）在 $(G)$ 内第二型面积分 $\ oint_{(S)} A \cdot d S$ 的值与积分曲面无关，仅取决于向量 $A$ 与有向积分曲面的边界曲线 $(C)$ ；
（iii） $A$ 是某向量场的旋度场，即存在一向量值函数 $B (M) \in

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：等价无穷小注意事项

下一篇：怎样求 e^x类型极限

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)