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理解：无旋场与无源场及其等价关系

## 理解：无旋场与无源场及其等价关系
（1）平面无旋场及其等价关系
$1^{\circ}$ 设 $A =(P, Q) \in C((D)),(D) \subset R ^2$ ，则下列三结论等价
（i）沿 $(D)$ 内任一简单分段光滑闭曲线 $(C)$ ，有

$$
\oint_{(C)} A \cdot e _{ \tau } d s=\oint_{(C)} P d x+Q d y=0
$$

这表明 $A$ 在 $(D)$ 内是无旋场．
（ii）线积分 $\int_A^B A \cdot e _\tau d s=\int_A^B P d x+Q d y$ 之值在 $(D)$ 内与积分路径无关．其中 $A$ 与 $B$ 为 $(D)$ 内任意两点，这说明 $A$ 在 $(D)$ 内是保守场．
（iii）存在函数 $U(x, y)$ ，使 $P d x+Q d y= d U(x, y)$ ，即 $A =(P, Q)$ 是一有势场或者 $A$ 是一梯度场。
$2^{\circ}$ 若加强条件．设（i）$P, Q \in C^1((D))$ ；（ii）（D）为一单连通域，则上面的三个结论与下面结论等价：

$$
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \forall(x, y) \in(D) .
$$

实际上，由 $\oint_{(C)} P d x+Q d y=0, \forall(C) \subset(D)$ 导出 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \forall(x, y) \in(D)$ ，无需单连通条件；但由后者导出前者需要此条件。
$3^{\circ}$ 平面无旋场利用积分和导数两种表示方法
（i）用积分表示
$\forall(C) \subset(D) \subset R ^2$ ，有 $\oint_{(C)} A \cdot d s=0$ ．由于 $\oint_{(C)} A \cdot d s=\oint_{(C)} A \cdot e _{ n } d s$ 表示沿闭曲线 $(C)$ 的环量，既然在 $(D)$ 内沿任一闭曲线 $(C)$ 环量均为零，向量场自然无旋。
（ii）用导数表示
容易看出，当 $A =(R, Q)$ 为平面向量场时， $\operatorname{rot} A =\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k$ ，所以 $\frac{\partial P}{\partial y} \equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$ ，即 $\operatorname{rot} A \equiv 0, \forall(x, y) \in D . A$ 在 $(D)$ 内任一点的旋度为零，自然 $A$ 在 $(D)$ 内是无旋场．

我们看到，对于无旋场 $A (x, y),(x, y) \in D$ ，用积分 $\oint_{(C)} A \cdot d s=0, \forall(C) \subset$ （ $D$ ）表示时，仅需要 $A$ 在 $(D)$ 上连续；若用导数 $\operatorname{rot} A = 0 , \forall(x, y) \in(D)$ 表示时，则还需要 $A$ 在 $(D)$ 上偏导数存在。而且若要从 $\operatorname{rot} A =0$ 导出 $\oint_{(C)} A$ 。 $d s=0, \forall(C) \subset(D)$ ，则还需要偏导数连续以及 $(D)$ 是单连通域这个条件．在 $A \in C^1((D))$ 与 $(D)$ 为单连通域的条件下，积分表示与导数表示是等价的。容易看出，用导数 $\operatorname{rot} A = 0$ 表示，便于通过 $\frac{\partial Q}{\partial x} \equiv \frac{\partial P}{\partial y}$ 来检验。
$4^{\circ}$ 推广至空间
设 $A=(P, Q, R) \in C((G)),(G) \subset R ^3$ ，无旋场可用积分形式表示为

$$
\oint_{(C)} A \cdot d s=0, \quad \forall(C) \subset(G)
$$

这时，无旋场，保守场，有势场（或梯度场）三者是等价的。

若加强条件： $A =(P, Q, R) \in C^1((G))$ ，且 $(G)$ 为一维单连通域，则利用 Stokes 公式，可以证明，无旋场的积分表示与导数表示：

$$
\operatorname{rot} A \equiv 0 , \quad \forall(x, y, z) \in(G) \quad \text { 或 } \quad \frac{\partial R}{\partial y} \equiv \frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \frac{\partial P}{\partial z} \equiv \frac{\partial R}{\partial y}, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} \equiv \frac{\partial P}{\partial x}
$$

是等价的。

## （2）无源场及其等价关系
$1^{\circ}$ 设 $A =(P, Q, R) \in C((G)),(G) \subset R ^3$ ，则下列三个结论等价：
（i）沿 $(G)$ 内任一分块光滑的闭曲面 $(S)$ ，第二型面积分

$$
\ oint_{(S)} A \cdot d S \equiv 0
$$

（ii）在 $(G)$ 内第二型面积分 $\ oint_{(S)} A \cdot d S$ 的值与积分曲面无关，仅取决于向量 $A$ 与有向积分曲面的边界曲线 $(C)$ ；
（iii） $A$ 是某向量场的旋度场，即存在一向量值函数 $B (M) \in C^1((G))$ ，使 $A=\operatorname{rot} B, B$ 称为 $A$ 的向量势．
$2^{\circ}$ 若加强条件 $A \in C^1((G))$ ，且 $(G) \subset R ^3$ 为二维连单通域，则上述三个结论与结论：

$$
\operatorname{div} A =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \equiv 0, \quad \forall(x, y, z) \in(G)
$$

等价．

由此可见，对于无源场 $A$ ，也可用积分和导数两类形式表示．用积分 $\ oint A \cdot d S \equiv 0$ ，对任一闭合曲面 $(S) \subset(G)$ 成立来表示时，只需要条件 $A \in$ （S） $C((G))$ ；用导数形式： $\operatorname{div} A \equiv 0, \forall(x, y, z) \in(G)$ 表示时，则需要可导的条件．但若要证明 $\operatorname{div} A \equiv 0$ 与 $\ oint A \cdot d S \equiv 0$ 等价，则还需要 $A \in C^1((G))$ 与 $(G)$ 为二
（S）维单连通域的条件。

顺便指出，在 Stokes 公式

$$
\iint_{(+S)} \operatorname{rot} A \cdot d S=\oint_{(+C)} A \cdot d s
$$

中，令 $B =\operatorname{rot} A$ ，则由于 $B$ 是向量场 $A$ 的旋度场，故由本段结论（ii）可知，面积分

$$
\iint_{(S)} B \cdot d S=\iint_{(S)} \operatorname{rot} A \cdot d S
$$

仅依赖于 $B$ 和 $(S)$ 的边界曲线 $(C)$ ，而与有向积分曲面 $(S)$ 的形状和大小无关，这正是我们在问题 7.6 的（4）中所证明的事实．

## （3）管量场
设有向量场 $A \in C((G)),(G) \subset R ^3$ ，若空间曲线 $(C) \subset(G),(C)$ 上任一点的切线均与向量场 $A$ 在该点的方向重合，则曲线 $(C)$ 称为向量场的一条向量线。

通过 $(G)$ 内某一曲面 $(S)$ 上所有点的向量线显然构成一管状区域，称为向量场 $A$ 的向量管。

容易证明：在二维单连通域 $(G)$ 内，无源场 $A$ 穿过 $(G)$ 内任意一个向量管的所有横截面的通量均相等。

事实上，设 $A \in C^1((G))$ 是一无源场，在 $(G)$ 内任取一向量管，其上任取两横截面 $\left(S_1\right)$ 与 $\left(S_2\right)$ ，其正法线向量均与 $A$ 的指向一致。将夹在两截面 $\left(S_1\right)$ 与 $\left(S_2\right)$ 之间向量管的侧面记作 $\left(S_3\right)$（图7．9．1）。设由 $\left(S_1\right),\left(S_2\right),\left(S_3\right)$ 围成的区域为 $(V)$ 。注意到 $A$ 是无源场，取向量管的正法线方向朝外，由 Gauss 公式得

$$
\ oint_{\left(-S_1\right) \cup\left(+S_2\right) \cup\left(+S_3\right)} A \cdot d S =\iiint_{(V)} \operatorname{div} A d V=0
$$

![图片](/uploads/2025-04/a3e0af.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
&\begin{gathered}
\text { 由于在 }\left(S_3\right) \text { 上, } n _3 \text { 与 } A \text { 垂直, 故 } \iint_{\left(S_3\right)} A \cdot d S=\iint_{\left(S_3\right)} A \cdot e _{ n _3} d S=0 \text {. 从而 } \\
-\iint_{\left(+S_1\right)} A \cdot d S+\iint_{\left(+S_2\right)} A \cdot d S=0
\end{gathered}\\
&\text { 故 }\\
&\iint_{\left(+S_1\right)} A \cdot d S=\iint_{\left(+S_2\right)} A \cdot d S
\end{aligned}
$$

上述事实表明，在无源流速场中，流人某个向量管的流量和从管内流出的流量是相等的，流体通过管壁的流量为零。所以，流体在向量管中流动，好像在真正的管子中流动一样．正因如此，无源场也称管状场．

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