最后更新: 2025-03-26 20:44 查看: 21 次反馈刷题

等价无穷小注意事项

## 常见的等价无穷小：
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim \ln (1+x) \sim e ^x-1 \sim x, \quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^2$ ， $(1+x)^{\frac{1}{n}}-1 \sim \frac{1}{n} x, \sqrt{1-x^2}-1 \sim-\frac{1}{2} x^2, x-\sin x \sim \frac{1}{6} x^3$（考试时一定要写 $\sin x=x-\frac{1}{6} x^3+o\left(x^3\right)$ 推出此结论）．

注意：＂等价＂不是＂相等＂，$A$ 与 $B$ 等价可以理解为 $A$ 等于 $B$ 加上一个可以忽略不计但不为零的部分（高阶无穷小）。零是最高阶的无穷小。等价的实质就是把最低阶的无穷小项保留，而将高阶的项统统去掉．无穷小的比较
设当 $x \rightarrow x_0$（ $x_0$ 可以是 $\pm \infty$ 等）时，$\alpha$ 与 $\beta$ 都是无穷小，并且 $\beta$ 在 $x_0$ 的一个充分小的近旁 （除 $x_0$ 之外）不取零值。
（1）若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$ ，则称 $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的高阶无穷小，记为 $\alpha(x)=o(\beta(x))$ ；
（2）若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty$ ，则称 $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的低阶无穷小；
（3）若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=c(c \neq 0)$ ，则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是同阶无穷小，记为 $\alpha(x)=O(\beta(x))$ ；
（4）若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$ ，则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是等价无穷小，记为 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ；
（5）若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta^k(x)}=c(c \neq 0)$ ，则称 $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的 $k$ 阶无穷小；
（6）若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ 不存在且 $\neq \infty$ ，则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 无法比较．如 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}$ ．

> 注意：＂等价＂不是＂相等＂，$A$ 与 $B$ 等价可以理解为 $A$ 等于 $B$ 加上一个可以忽略不计但不为零的部分（高阶无穷小）。零是最高阶的无穷小。等价的实质就是把最低阶的无穷小项保留，而将高阶的项统统去掉．

利用等价无穷小代换时要注意以下事项：
（1）$\alpha(x) \sim \alpha_1(x), \beta(x) \sim \beta_1(x), \lim \frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}$ 存在且不等于 -1 ，则 $\alpha(x)+\beta(x) \sim \alpha_1(x)+\beta_1(x)$ ．
（2）乘除运算用等价无穷小代换可简化运算．例如，求 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arcsin x}{(\arcsin x)^3}$ ．
错误解 $I \neq \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-x}{x^3}=0$ 。
正确解 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arcsin x}{x^3} \stackrel{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{3 x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{3 x^2 \sqrt{1-x^2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} x^2}{3 x^2 \sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{6}$ ．

（3）用泰勒公式（等价无穷小是泰勒公式的近似表示，泰勒公式是等价无穷小的精确表示）。当 $x \rightarrow 0$ 时，
（1） $e ^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)$ ，其中 $o\left(x^3\right)$ 是比 $x^3$ 更高阶的无穷小；
（2） $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o\left(x^4\right)$ ，其中 $o\left(x^4\right)$ 是比 $x^4$ 更高阶的无穷小；
（3） $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)$ ，其中 $o\left(x^3\right)$ 是比 $x^3$ 更高阶的无穷小；
（4） $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)$ ，其中 $o\left(x^3\right)$ 是比 $x^3$ 更高阶的无穷小；
（5） $\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)$ ，其中 $o\left(x^3\right)$ 是比 $x^3$ 更高阶的无穷小；
（6） $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)$ ，其中 $o\left(x^3\right)$ 是比 $x^3$ 更高阶的无穷小；
（7） $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)$ ，其中 $o\left(x^3\right)$ 是比 $x^3$ 更高阶的无穷小；
（8）$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3+o\left(x^3\right)$ ，其中 $o\left(x^3\right)$ 是比 $x^3$ 更高阶的无穷小．
注：$o\left(x^n\right) \pm o\left(x^n\right)=o\left(x^n\right), o\left(x^n\right)+o\left(x^{n+1}\right)=o\left(x^n\right)$ ．

设 $f(x)$ 连续，$\varphi(x), \psi(x), g(x)$ 可导，则 $\left(\int_a^x f(t) d t\right)^{\prime}=f(x)$ ，其中 $\int_a^x f(t) d t$ 为积分上限函数．
推论 $\quad 1^{\circ}\left(\int_a^{\varphi(x)} f(t) d t\right)^{\prime}=f[\varphi(x)] \cdot \varphi^{\prime}(x)$ ；

$$
2^{\circ}\left(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) d t\right)^{\prime}=f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x)-f[\psi(x)] \psi^{\prime}(x)
$$

$$
\begin{aligned}
3^{\circ}\left(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) g(x) d t\right)^{\prime} & =\left(g(x) \int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) d t\right)^{\prime} \\
& =g^{\prime}(x) \int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) d t+g(x)\left[f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x)-f(\psi(x)) \psi^{\prime}(x)\right]
\end{aligned}
$$

`例` 设 $f(x)=\int_0^{\sin x}(1-\cos t) d t, g(x)=\tan x-\sin x$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的（D）．
（A）高阶无穷小
（B）低阶无穷小
（C）等价无穷小
（D）同阶而非等价无穷小

$$
\begin{aligned}
&\text { 解 }\\
&\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin x}(1-\cos t) d t}{\tan x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[1-\cos (\sin x)] \cos x}{\frac{1}{\cos ^2 x}-\cos x} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}(\sin x)^2 \cdot \cos ^3 x}{1-\cos ^3 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^2}{1-\cos ^3 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{-3 \cos ^2 x \cdot(-\sin x)}=\frac{1}{3} .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

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