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dAlembert 达朗贝尔公式的物理意义

1.2 d＇Alembert 公式的物理意义

一维波动问题是波动现象最简单的物理模型，讨论其解的性质，将使我们熟悉波动现象的许多基本特性．为了简单，我们讨论只有初始位移的自由振动问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=0, \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

其解由 d＇Alembert 公式给出：

$$
u(x, t)=\frac{1}{2}[\varphi(x-a t)+\varphi(x+a t)] .
$$

若令

$$
u^{+}(x, t)=\frac{1}{2} \varphi(x-a t),
$$

则 $u^{+}(x, t)$ 是方程（1．1）的解，因而 $u^{+}(x, t)$ 描述弦在 $x$ 处 $t$ 时刻的振动状态．当 $t=0$ 时， $\bar{u}^{+}=\frac{1}{2} \varphi(x)$ ，它对应着弦的初始振动状态，其图像如图 5－1 中的实线所示．

![图片](/uploads/2025-04/6f3697.jpg)
 
 从初始时刻开始，经过时间 $t$ 以后，$u^{+}(x, t)=\frac{1}{2} \varphi(x-a t)$ ，这表明振动弦的外形保持不变，它在 $O-x u$ 平面上相对于初始时刻的图形向右平移了一段距离 $a t$ ，如图 5－1 中的虚线所示．

由此可以看出，随着时间 $t$ 的推移，弦上质点的振动所构成的图形以速度 $a$ 向 $x$ 轴正方向传播。因此，$u^{+}(x, t)=\frac{1}{2} \varphi(x-a t)$ 表示的是以速度 $a$ 沿 $x$ 轴正方向传播且不改变形状的波，我们通常称这种波为行波（右行波），或称正波．

同样地，解 $u^{-}(x, t)=\frac{1}{2} \varphi(x+a t)$ 表示的是以速度 $a$ 沿 $x$ 轴负方向传播的行波（左行波），或称反波．

综上所述，自由振动弦上的任意初始扰动，其后的影响总是以两个行波的形式沿着相反方向传播出去，传播的速度恰好是弦振动方程中的常数 $a$ ，而 d＇Alembert 解就是这两个沿着相反方向移动的行波的叠加，这就是 d＇Alembert 公式的物理意义。

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