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偏微分方程
第五篇 波动方程
dAlembert 达朗贝尔 公式几何解释
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2025-04-30 07:13
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dAlembert 达朗贝尔 公式几何解释
1.3 d'Alembert 公式的几何解释 容易验证,任何形如(1.6)式的函数 $u(x, t)$ 都满足函数方程 $$ u(x, t)-u(x+a \xi, t-\xi)-u(x-a \eta, t-\eta)+u(x+a \xi-a \eta, t-\xi-\eta)=0 . $$ 它的几何解释是:对于任何以四条特征线为边的平行四边形(如图 5-2),d'Alembert解 $u$ 在其相对顶点上的值的和是相等的,即 $$ u(A)+u(C)=u(B)+u(D) . $$  注 5.2 d'Alembert 公式(1.10)告诉我们,如果已知 $u$ 在平行四边形 $A B C D$三个顶点上的值,则可求出第四个顶点上的值,这将有助于我们求解波动方程的混合问题(见注 5.3)。
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