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偏微分方程
第五篇 波动方程
依赖区间,决定区域和影响区域
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2025-04-30 07:14
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依赖区间,决定区域和影响区域
1.4 依赖区间,决定区域和影响区域 首先,我们考察这样的问题:Cauchy 问题(1.1),(1.2)的解 $u(x, t)$ 在点 $(x, t)$ 处的值与 $x$ 轴上哪些点的初值条件有关?从公式(1.10)可以看到,解 $u$ 在点 $(x, t)$ 处的值依赖于 $x$ 轴上区间 $[x-a t, x+a t]$ 上的初值条件,而与其他点上的初值条件无关。我们称这个区间为点 $(x, t)$ 的依赖区间。它是过点 $(x, t)$ ,斜率为 $\pm \frac{1}{a}$ 的两条特征线与 $x$ 轴相交而截得的区间(如图 5-3).  反之,我们考察这样的问题:在区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 上给定初值数据,它能决定平面 $O x t$ 上哪些点的函数值?考虑过点 $\left(x_1, 0\right)$ 斜率为 $\frac{1}{a}$ 的特征线 $x-a t=x_1$ 及过点 $\left(x_2, 0\right)$ 斜率为 $-\frac{1}{a}$ 的特征线 $x+a t=x_2$ 所围成的区域,即由不等式 $$ x_1+a t \leqslant x \leqslant x_2-a t, \quad t>0 $$ 所确定的闭区域 $D$(如图 5-4).根据确定依赖区间的方法,容易证明,区域 $D$ 内任意一点 $\left(x_0, t_0\right)$ 的依赖区间都含于区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 内(如图 5-4).因此,解 $u(x, t)$ 在 $D$中每点的取值完全由区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 上的初值确定,而与区间
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