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依赖区间，决定区域和影响区域

1.4 依赖区间，决定区域和影响区域

首先，我们考察这样的问题：Cauchy 问题（1．1），（1．2）的解 $u(x, t)$ 在点 $(x, t)$ 处的值与 $x$ 轴上哪些点的初值条件有关？从公式（1．10）可以看到，解 $u$ 在点 $(x, t)$ 处的值依赖于 $x$ 轴上区间 $[x-a t, x+a t]$ 上的初值条件，而与其他点上的初值条件无关。我们称这个区间为点 $(x, t)$ 的依赖区间。它是过点 $(x, t)$ ，斜率为 $\pm \frac{1}{a}$ 的两条特征线与 $x$ 轴相交而截得的区间（如图 5－3）．
 ![图片](/uploads/2025-04/da1228.jpg)
 
 反之，我们考察这样的问题：在区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 上给定初值数据，它能决定平面 $O x t$ 上哪些点的函数值？考虑过点 $\left(x_1, 0\right)$ 斜率为 $\frac{1}{a}$ 的特征线 $x-a t=x_1$ 及过点 $\left(x_2, 0\right)$ 斜率为 $-\frac{1}{a}$ 的特征线 $x+a t=x_2$ 所围成的区域，即由不等式

$$
x_1+a t \leqslant x \leqslant x_2-a t, \quad t>0
$$

所确定的闭区域 $D$（如图 5－4）．根据确定依赖区间的方法，容易证明，区域 $D$ 内任意一点 $\left(x_0, t_0\right)$ 的依赖区间都含于区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 内（如图 5－4）．因此，解 $u(x, t)$ 在 $D$中每点的取值完全由区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 上的初值确定，而与区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 外的初值无关，区域 $D$ 称为区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 的决定区域．

![图片](/uploads/2025-04/cb3c48.jpg)
 影响区域讨论的是：若在初始时刻 $t=0$ ，扰动仅在一个有限区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 上存在，则经过时间 $t$ 后，确定它所传播的范围．根据确定依赖区域的方法，容易证明区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 的影响区域为：以过点 $\left(x_1, 0\right)$ ，斜率为 $-\frac{1}{a}$ 的特征线 $x+a t=$ $x_1$ 及过点 $\left(x_2, 0\right)$ ，斜率为 $\frac{1}{a}$ 的特征线 $x-a t=x_2$ 为边界所围成的区域，即由不等式

$$
x_1-a t \leqslant x \leqslant x_2+a t, \quad t>0
$$

所确定的闭区域 $G$（如图 5－5）．

![图片](/uploads/2025-04/86d320.jpg)
 
 事实上，对于任一 $\left(x_0, t_0\right) \in G$ ，其依赖区间必有一部分含于区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 内，因此 $u\left(x_0, t_0\right)$ 的值一定要受到区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 上的初始扰动的影响．而对任一 $(\bar{x}, \bar{t}) \notin G$ ，它的依赖区间完全在区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 之外；于是 $u(\bar{x}, \bar{t})$ 的值不受区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 上的初始扰动的影响．因此，由（1．19）式所确定的闭区域 $G$ 为区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 的影响区域。

特别地，当区间 $\left[x_1, x_2\right]$ 收缩为一点 $x_0$ 时，就可得到点 $\left(x_0, 0\right)$ 的影响区域，它是过此点斜率为 $\pm \frac{1}{a}$ 的两条特征线 $x-a t=x_0$ 和 $x+a t=x_0$ 所围成的角形区域（如图 5－6）．

![图片](/uploads/2025-04/234198.jpg)
 
 例 5.3 求 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-4 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x), \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

的解关于 $O-x t$ 平面上的点 $(1,2)$ 的依赖区间，关于 $x$ 轴上的区间 $[3,7]$ 的决定区域和影响区域。

解 按照依赖区间，决定区域和影响区域的定义，可直接写出答案．为了加深初学者对这一定义的理解，我们不妨给出详细的计算过程。容易求出问题（1．20）中的方程过点 $(1,2)$ 的两条特征线为 $x-2 t=-3$ 和 $x+2 t=5$ ，这两条特征线与 $x$ 轴的交点坐标分别为 $(-3,0)$ 和 $(5,0)$ ，于是两条特征线与 $x$ 轴相交而截得的区间为 $[-3,5]$ ．所以，Cauchy 问题 $(1,20)$ 的解关于点 $(1,2)$ 的依赖区间为 $[-3,5]$ ．

容易求出问题 $(1.20)$ 中的方程过点 $(3,0)$ 斜率为 $\frac{1}{2}$ 的特征线为 $x-2 t=3$ ，过点 $(7,0)$ 斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的特征线为 $x+2 t=7$ ，这两条特征线与 $x$ 轴围成的区域为

$$
\{(x, t) \mid 3+2 t \leqslant x \leqslant 7-2 t, t>0\},
$$

该区域即为区间 $[3,7]$ 的决定区域．

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