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半直线上齐次波动方程的混合问题

1.5 半直线上齐次波动方程的混合问题

现在，我们来考虑半直线上的弦的振动问题，即考虑一端固定的弦的自由振动问题．不妨假设弦的左端固定在 $x=0$ 处，此时的混合问题为

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 u_{x x}=0, \quad x>0, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x), \quad x \geqslant 0 \\
\left.u\right|_{x=0}=0, \quad t \geqslant 0
\end{array}\right.
$$

关于这个问题求解的一个想法，就是利用波的反射原理对初始函数进行延拓，然后化混合问题（1．21）为 Cauchy 问题．

人类总是通过已知的去探索末知的，从而达到认识世界和改造世界的目的．我们学习数学也是如此，也总是从已知的出发去推导未知的．

为此让我们回顾一下前面已经学习过的弦振动方程 Cauchy 问题的求解．我们知道，Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\Phi(x),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\Psi(x), \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

的解，可由 d＇Alembert 公式给出：

$$
u(x, t)=\frac{1}{2}[\Phi(x-a t)+\Phi(x+a t)]+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} \Psi(\tau) d \tau
$$

显然，有如下结论：
（i）在 $x \in R , t>0$ 上（1．23）式处处满足问题（1．22）中的方程．特别地，在 $x>0, t>0$ 上，（1．23）式也满足（1．22）问题中的方程，这表明（1．23）式满足问题（1．21）中的方程；
（ii）（1．23）式满足问题（1．22）中的初值条件．若希望将（1．23）式限制在 $x \geqslant 0, t>0$ 上后成为问题（1．21）的解，必须要求当 $x \geqslant 0$ 时，$\Phi(x)=\varphi(x), \Psi(x)=$ $\psi(x) ;$

（iii）若希望（1．23）式限制在 $x \geqslant 0, t>0$ 上后成为问题（1．21）的解，还必须要求

$$
u(0, t)=\frac{1}{2}[\Phi(-a t)+\Phi(a t)]+\frac{1}{2 a} \int_{-a t}^{a t} \Psi(\tau) d \tau=0
$$

我们知道，使（1．24）式成立的一个最简单的充分条件是取 $\Phi(x)$ 与 $\Psi(x)$ 为奇函数．
基于以上分析，得到求解混合问题（1．21）的步骤如下：
第一步：构造辅助 Cauchy 问题（1．22），其中 $\Phi(x)$ 和 $\Psi(x)$ 满足

$$
\left\{\begin{array}{l}
\Phi(x)= \begin{cases}\varphi(x), & x \geqslant 0 \\
-\varphi(-x), & x<0\end{cases} \\
\Psi(x)= \begin{cases}\psi(x), & x \geq

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