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一维波动方程

§1 一维波动方程
1.1 齐次波动方程的 Cauchy 问题和特征线法

最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题，在忽略其边值条件的影响时，它可归结为如下的定解问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x), \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

其中 $a$ 是一个正常数，函数 $\varphi \in C^2( R ), \psi \in C^1( R )$ 是给定的已知函数．
在求解定解问题（1．1），（1．2）之前，让我们先求解如下特殊的线性偏微分方程：

$$
u_{\xi \eta}+A(\xi, \eta) u_\eta=0
$$

经过观察，若在方程（1．3）中令 $v(\xi, \eta)=u_\eta(\xi, \eta)$ ，则对任意固定的 $\eta$ ，方程（1．3）可化为关于变量 $\xi$ 的如下常微分方程：

$$
v_{\xi}+A(\xi, \eta) v=0
$$

这个一阶线性常微分方程的通解为

$$
v(\xi, \eta)=c(\eta) e^{-\int A(\xi, \eta) d \xi}
$$

其中 $c(\eta)$ 是 $\eta$ 的任意连续可微函数．对上式关于 $\eta$ 积分，得到

$$
u(\xi, \eta)=\int c(\eta) e^{-\int A(\xi, \eta) d \xi} d \eta+D(\xi)
$$

其中 $D(\xi)$ 是关于 $\xi$ 的任意二阶连续可微函数．
特别地，若 $A(\xi, \eta) \equiv 0$ ，则方程（1．3）的通解为

$$
u(\xi, \eta)=\int c(\eta) d \eta+D(\xi) \stackrel{\text { def }}{=} F(\xi)+G(\eta)
$$

其中 $F$ 和 $G$ 都是其变元的任意二阶连续可微函数．
注 5.1 类似地可求出线性偏微分方程 $u_{\xi \eta}+B(\xi, \eta) u_{\xi}=0$ 的通解为

$$
u(\xi, \eta)=\int M(\xi) e^{-\int B(\xi, \eta) d \eta} d \xi+N(\eta)
$$

综上，为了求解 Cauchy 问题（1．1），（1．2），不妨将方程（1．1）化成第一标准形．方程（1．1）的特征方程是

$$
\frac{d x}{d t}=a, \quad \frac{d x}{d t}=-a
$$

由此求得特征曲线为

$$
x-a t=c_1, \quad x+a t=c_2,
$$

其中 $c_1, c_2$ 为任意常数．
为了将方程（1．1）化成第一标准形，引入自变量变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
\xi=x-a t \\
\eta=x+a t
\end{array}\right.
$$

即把特征线当作坐标线，则方程（1．1）变成

$$
u_{\xi \eta}=0 .
$$

由（1．5）式得到

$$
u(\xi, \eta)=F^{\prime}(\xi)+G(\eta)
$$

代回原来的变量 $x$ 和 $t$ ，就可得到波动方程（1．1）的通解：

$$
u(x, t)=F(x-a t)+G(x+a t) .
$$

现在我们利用初值条件（1．2）来确定任意函数 $F$ 和 $G$ ，由（1．6）式有

$$
\begin{gathered}
u(x, 0)=F(x)+G(x)=\varphi(x) \\
u_t(x, 0)=a\left(-F^{\prime}(x)+G^{\prime}(x)\right)=\psi(x)
\end{gathered}
$$

对（1．8）式积分，得出

$$
F(x)-G(x)

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