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一维波动方程

§1 一维波动方程
1.1 齐次波动方程的 Cauchy 问题和特征线法

最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题，在忽略其边值条件的影响时，它可归结为如下的定解问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x), \quad x \in R
\end{array}\right.
$$

其中 $a$ 是一个正常数，函数 $\varphi \in C^2( R ), \psi \in C^1( R )$ 是给定的已知函数．
在求解定解问题（1．1），（1．2）之前，让我们先求解如下特殊的线性偏微分方程：

$$
u_{\xi \eta}+A(\xi, \eta) u_\eta=0
$$

经过观察，若在方程（1．3）中令 $v(\xi, \eta)=u_\eta(\xi, \eta)$ ，则对任意固定的 $\eta$ ，方程（1．3）可化为关于变量 $\xi$ 的如下常微分方程：

$$
v_{\xi}+A(\xi, \eta) v=0
$$

这个一阶线性常微分方程的通解为

$$
v(\xi, \eta)=c(\eta) e^{-\int A(\xi, \eta) d \xi}
$$

其中 $c(\eta)$ 是 $\eta$ 的任意连续可微函数．对上式关于 $\eta$ 积分，得到

$$
u(\xi, \eta)=\int c(\eta) e^{-\int A(\xi, \eta) d \xi} d \eta+D(\xi)
$$

其中 $D(\xi)$ 是关于 $\xi$ 的任意二阶连续可微函数．
特别地，若 $A(\xi, \eta) \equiv 0$ ，则方程（1．3）的通解为

$$
u(\xi, \eta)=\int c(\eta) d \eta+D(\xi) \stackrel{\text { def }}{=} F(\xi)+G(\eta)
$$

其中 $F$ 和 $G$ 都是其变元的任意二阶连续可微函数．
注 5.1 类似地可求出线性偏微分方程 $u_{\xi \eta}+B(\xi, \eta) u_{\xi}=0$ 的通解为

$$
u(\xi, \eta)=\int M(\xi) e^{-\int B(\xi, \eta) d \eta} d \xi+N(\eta)
$$

综上，为了求解 Cauchy 问题（1．1），（1．2），不妨将方程（1．1）化成第一标准形．方程（1．1）的特征方程是

$$
\frac{d x}{d t}=a, \quad \frac{d x}{d t}=-a
$$

由此求得特征曲线为

$$
x-a t=c_1, \quad x+a t=c_2,
$$

其中 $c_1, c_2$ 为任意常数．
为了将方程（1．1）化成第一标准形，引入自变量变换

$$
\left\{\begin{array}{l}
\xi=x-a t \\
\eta=x+a t
\end{array}\right.
$$

即把特征线当作坐标线，则方程（1．1）变成

$$
u_{\xi \eta}=0 .
$$

由（1．5）式得到

$$
u(\xi, \eta)=F^{\prime}(\xi)+G(\eta)
$$

代回原来的变量 $x$ 和 $t$ ，就可得到波动方程（1．1）的通解：

$$
u(x, t)=F(x-a t)+G(x+a t) .
$$

现在我们利用初值条件（1．2）来确定任意函数 $F$ 和 $G$ ，由（1．6）式有

$$
\begin{gathered}
u(x, 0)=F(x)+G(x)=\varphi(x) \\
u_t(x, 0)=a\left(-F^{\prime}(x)+G^{\prime}(x)\right)=\psi(x)
\end{gathered}
$$

对（1．8）式积分，得出

$$
F(x)-G(x)=-\frac{1}{a} \int_0^x \psi(\tau) d \tau+c
$$

其中 $c$ 是任意常数．由（1．7）式和（1．9）式解出 $F(x)$ 和 $G(x)$ 为

$$
\begin{aligned}
& F(x)=\frac{1}{2} \varphi(x)-\frac{1}{2 a} \int_0^x \psi(\tau) d \tau+\frac{c}{2}, \\
& G(x)=\frac{1}{2} \varphi(x)+\frac{1}{2 a} \int_0^x \psi(\tau) d \tau-\frac{c}{2} .
\end{aligned}
$$

代入（1．6）式，得到

$$
u(x, t)=\frac{1}{2}[\varphi(x-a t)+\varphi(x+a t)]+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} \psi(\tau) d \tau
$$

这个公式称为 Cauchy 问题（1．1），（1．2）的 d＇Alembert（达朗贝尔）公式．由公式（1．10）所确定的函数通常称为 d＇Alembert 解．
到目前为止，表达式（1．10）还只能说是 Cauchy 问题（1．1），（1．2）的形式解．为了使它确实是 Cauchy 问题（1．1），（1．2）的解，我们需要对初值 $\varphi, \psi$ 加上一定的条件。

定理 5.1 若 $\varphi \in C^2( R ), \psi \in C^1( R )$ ，则由 d＇Alembert 公式（1．10）表示的函数 $u(x, t)$ 是 Cauchy 问题（1．1），（1．2）解．

证明请读者自己完成。
下面我们讨论 Cauchy 问题（1．1），（1．2）的 d＇Alembert 解在最大模意义下的稳定性。

定理 5.2 假设对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，总可找到这样的 $\delta>0$ ，当初值函数 $\varphi(x)$ ， $\psi(x)$ 与 $\bar{\varphi}(x), \bar{\psi}(x)$ 满足不等式

$$
\sup _{x \in R }|\varphi(x)-\bar{\varphi}(x)|<\delta, \quad \sup _{x \in R }|\psi(x)-\bar{\psi}(x)|<\delta
$$

时，与之相对应的 Cauchy 问题的解 $u(x, t)$ 与 $\bar{u}(x, t)$ ，满足

$$
\sup _{x \in R , 0 \leqslant t \leqslant T}|u(x, t)-\bar{u}(x, t)|<\varepsilon .
$$

证 只要取 $\delta \leqslant \frac{\varepsilon}{1+T}$ 即可．
例 5.1 求解 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-u_{x x}=0, \quad x \in R , \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\sin x,\left.\quad u_t\right|_{t=0}=x^2, \quad x \in R .
\end{array}\right.
$$

解 由 d＇Alembert 公式（1．10）可知 Cauchy 问题（1．11）的解为

$$
\begin{aligned}
u(x, t) & =\frac{1}{2}[\sin (x+t)+\sin (x-t)]+\frac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t} \tau^2 d \tau \\
& =\sin x \cos t+x^2 t+\frac{1}{3} t^3
\end{aligned}
$$

上面对常系数双曲型方程求解的特征线法，亦适用于某些变系数双曲型方程的 Cauchy 问题．

例 5.2 求解 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2 u_{x x}-y^2 u_{y y}=0, \quad x>0, \quad y>1 \\
\left.u\right|_{y=1}=\varphi(x),\left.\quad u_y\right|_{y=1}=\psi(x), \quad x \geqslant 0
\end{array}\right.
$$

其中 $\varphi(x)$ 和 $\psi(x)$ 都是已知函数．
解 容易求出问题（1．12）中方程的特征曲线为
$$
x y=c_1, \quad \frac{x}{y}=c_2 .
$$

作自变量变换

$$
\xi=x y, \quad \eta=\frac{x}{y},
$$

就可把问题（1．12）中的方程化成第一标准形

$$
u_{\xi \eta}-\frac{1}{2 \xi} u_\eta=0
$$

这个方程我们在前面已经讨论过，实际上，它是方程（1．3）的特殊形式：$A(\xi, \eta)=$ $-\frac{1}{2 \xi}$ ，于是，我们可得到它的通解

$$
u(\xi, \eta)=\sqrt{\xi} \int \theta(\eta) d \eta+\theta_1(\xi)
$$

其中 $\theta_1(\xi)$ 是 $\xi$ 的任意二阶连续可微函数．若令 $\theta_2(\eta)=\int \theta(\eta) d \eta$ ，上式可写成

$$
u(\xi, \eta)=\theta_1(\xi)+\sqrt{\xi} \theta_2(\eta)
$$
其中 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 都是其变元的任意二阶连续可微函数．代回原来的变量 $x$ 和 $y$ ，便得到问题（1．12）中方程的通解为

$$
u(x, y)=\theta_1(x y)+\sqrt{x y} \theta_2\left(\frac{x}{y}\right) .
$$

下面我们利用问题（1．12）中的初值条件来确定任意函数 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ ．首先，容易得到下面两个等式：

$$
\begin{gathered}
\theta_1(x)+\sqrt{x} \theta_2(x)=\varphi(x), \\
x \theta_1^{\prime}(x)+\frac{\sqrt{x}}{2} \theta_2(x)-x^{\frac{3}{2}} \theta_2^{\prime}(x)=\psi(x) .
\end{gathered}
$$

将（1．15）式两端对 $x$ 微分，得

$$
\theta_1^{\prime}(x)+\frac{1}{2 \sqrt{x}} \theta_2(x)+\sqrt{x} \theta_2^{\prime}(x)=\varphi^{\prime}(x) .
$$

用 $-x$ 乘上式再与（1．16）式相加，得

$$
\theta_2^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \varphi^{\prime}(x)-\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \psi(x)
$$

由此推得

$$
\theta_2(x)=\frac{1}{2} \int_{x_0}^x \frac{\varphi^{\prime}(\tau)}{\sqrt{\tau}} d \tau-\frac{1}{2} \int_{x_0}^x \frac{\psi(\tau)}{\tau^{\frac{3}{2}}} d \tau+c,
$$

其中 $x_0>0, c$ 为任意常数．再将 $\theta_2(x)$ 的表达式代入（1．15）式，得

$$
\theta_1(x)=\varphi(x)-\frac{\sqrt{x}}{2} \int_{x_0}^x \frac{\varphi^{\prime}(\tau)}{\sqrt{\tau}} d \tau+\frac{\sqrt{x}}{2} \int_{x_0}^x \frac{\psi(\tau)}{\tau^{\frac{3}{2}}} d \tau-c \sqrt{x} .
$$

于是 Cauchy 问题（1．12）的解可写成

$$
u(x, y)=\varphi(x y)+\frac{\sqrt{x y}}{2} \int_{x y}^{\frac{x}{y}} \frac{\varphi^{\prime}(\tau)}{\sqrt{\tau}} d \tau-\frac{\sqrt{x y}}{2} \int_{x y}^{\frac{x}{y}} \frac{\psi(\tau)}{\tau^{\frac{3}{2}}} d \tau .
$$

利用分部积分法，它又可化为

$$
u(x, y)=\frac{1}{2} \varphi(x y)+\frac{y}{2} \varphi\left(\frac{x}{y}\right)+\frac{\sqrt{x y}}{4} \int_{x y}^{\frac{x}{y}} \frac{\varphi(\tau)}{\tau^{\frac{3}{2}}} d \tau-\frac{\sqrt{x y}}{2} \int_{x y}^{\frac{x}{y}} \frac{\psi(\tau)}{\tau^{\frac{3}{2}}} d \tau .
$$

至于在什么条件下，这个函数才是 Cauchy 问题（1．12）的解以及解的唯一性和稳定性问题，这里就不详细讨论了．

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