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二级微分方程的两个典型应用-弹簧振子与LC震荡器

## 二阶线性微分方程-弹簧振子与LC震荡器
`例` 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为 $m$ 的物体．当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等、方向相反．这个位置就是物体的平衡位置．如图  所示，取 $x$ 轴铅直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点．
 ![图片](/uploads/2025-05/9cdae8.jpg)

如果使物体具有一个初始速度 $v_0 \neq 0$ ，那么物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近做上下振动．在振动过程中，物体的位置 $x$ 随时间 $t$ 变化，即 $x$ 与 $t$ 之间存在函数关系：$x=x(t)$ ．要确定物体的振动规律，就要求出函数 $x=x(t)$ 。

由力学知道，弹簧使物体回到平衡位置的弹性恢复力 $f$（它不包括在平衡位置时和重力 $m g$ 相平衡的那一部分弹性力）和物体离开平衡位置的位移 $x$ 成正比：

$$
f=-c x,
$$

其中 $c$ 为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力的方向和物体位移的方向相反．

另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质（如空气、油等）的阻力的作用，使得振动逐渐趋向停止．由实验知道，阻力 $R$ 的方向总与运动方向相反，当运动速度不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为 $\mu$ ，则有

$$
R=-\mu \frac{d x}{d t}
$$

根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得

$$
m \frac{d^2 x}{d t^2}=-c x-\mu \frac{d x}{d t}
$$

移项，并记

$$
2 n=\frac{\mu}{m}, \quad k^2=\frac{c}{m},
$$

则上式化为

$$
\frac{d^2 x}{d t^2}+2 n \frac{d x}{d t}+k^2 x=0  ...(6-1)
$$

这就是在有阻尼的情况下，物体**自由振动的微分方程**．
如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力

$$
F=H \sin p t
$$

的作用，那么有

$$
\frac{d^2 x}{d t^2}+2 n \frac{d x}{d t}+k^2 x=h \sin p t ...(6-2)
$$

其中 $h=\frac{H}{m}$ ．这就是**强迫振动的微分方程**．

`例`设有一个由电阻 $R$ 、自感 $L$ 、电容 $C$ 和电源 $E$ 串联组成的电路，其中 $R, L$ 及 $C$ 为常数，$E=E_{ m } \sin \omega t$ ，这里 $E_{ m }$ 及 $\omega$ 也是常数（图7-9）．

设电路中的电流为 $i(t)$ ，电容器极板上的电荷量为 $q(t)$ ，两极板间的电压为 $u_C$ ，
 ![图片](/uploads/2025-05/a5bbe0.jpg)
 
 自感电动势为 $E_L$ ．由电学知道

$$
i=\frac{d q}{d t}, \quad u_C=\frac{q}{C}, \quad E_L=-L \frac{d i}{d t},
$$

根据回路电压定律，得

$$
E-L \frac{d i}{d t}-\frac{q}{C}-R i=0
$$

即

$$
L C \frac{d^2 u_C}{d t^2}+R C \frac{d u_C}{d t}+u_C=E_{m} \sin \omega t,
$$

或写成
$$
\frac{d^2 u_C}{d t^2}+2 \beta \frac{d u_C}{d t}+\omega_0^2 u_C=\frac{E_{m}}{L C} \sin \omega t . ...(6-3)
$$

式中 $\beta=\frac{R}{2 L}, \omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}}$ ．这就是**串联电路的振荡方程**．
如果电容器经充电后撤去外电源（ $E=0$ ），那么方程（6－3）成为

$$
\frac{d^2 u_C}{d t^2}+2 \beta \frac{d u_C}{d t}+\omega_0^2 u_C=0 ...(6-4)
$$

例1和例2虽然是两个不同的实际问题，但是仔细观察一下所得出的方程（6－2）和（6－3），就会发现它们可以归结为同一个形式
$$
\frac{d^2 y}{d x^2}+P(x) \frac{d y}{d x}+Q(x) y=f(x) ...(6-5)
$$

而方程（6－1）和方程（6－4）都是方程（6－5）的特殊情形：$f(x) \equiv 0$ ．在工程技术的其他许多问题中，也会遇到上述类型的微分方程．

方程（6－5）叫做二阶线性微分方程．当方程右端 $f(x) \equiv 0$ 时，方程叫做齐次的；当 $f(x) \not \equiv 0$ 时，方程叫做非齐次的．

于是方程（6－2）、（6－3）都是二阶非齐次线性微分方程，方程（6－1）、（6－4）都是二阶齐次线性微分方程．

**关于高阶微分方程的解法，会在下节介绍。这里看一个例题**

`例` 在例1中，设物体只受弹性恢复力 $f$ 的作用，且在初始时刻 $t=0$ 的位置为 $x=x_0$ ，初始速度为 $\left.\frac{ d x}{d t}\right|_{t=0}=v_0$ ．求反映物体运动规律的函数 $x=x(t)$ ．

解 由于不计阻力 $R$ ，即假设 $-\mu \frac{ d x}{d t}=0$ ，所以方程 $(6-1)$ 成为

$$
\frac{d^2 x}{d t^2}+k^2 x=0 ...(7-4)
$$

方程（7－4）叫做无阻尼息由振动的微分方程．
反映物体运动规律的函数 $x=x(t)$ 是满足微分方程 $(7-4)$ 及初值条件

$$
\left.x\right|_{t=0}=x_0,\left.\frac{d x}{d t}\right|_{t=0}=v_0
$$

的特解．
方程（7－4）的特征方程为 $r^2+k^2=0$ ，其根 $r= \pm k i$ 是一对共轭复根，所以方程（7－4）的通解为

$$
x=C_1 \cos k t+C_2 \sin k t
$$

应用初值条件，定出 $C_1=x_0, C_2=\frac{v_0}{k}$ ．因此，所求的特解为

$$
x=x_0 \cos k t+\frac{v_0}{k} \sin k t . ...(7-5)
$$

为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令

$$
x_0=A \sin \varphi, \quad \frac{v_0}{k}=A \cos \varphi \quad(0 \leqslant \varphi<2 \pi),
$$

于是（7－5）式成为

$$
x=A \sin (k t+\varphi),  ...(7-6)
$$

其中

$$
A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{k^2}}, \quad \tan \varphi=\frac{k

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