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解的结构

## 函数组的线性相关与线性无关
在[引言](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=338)说过， 一阶微分方程通常有一个常系数，二阶微分方程通常有两个常系数，当我们解除二阶微分方程时，希望得到的通解包含所有解。

例如$x+y+z=0$ ，可以求的他的解用向量表示为

用向量表示：
$$
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}
= k_1 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
+ k_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},
\quad k_1, k_2 \in \mathbb{R}
$$

此时，任何一个解都可以用上面的表示。既没有多，也没有少。

为了理解线性微分方程的解的结构, 先解释一下函数组的线性相关与线性无关等概念.
设 $y_i(x)$ 为定义在区间 $I$ 上的 $n$ 个函数, 如果存在 $n$ 个不全为零的常数 $k_i(i=1,2,..., n)$, 使得

$$
k_1 y_1+k_2 y_2+...+k_n y_n=0
$$

在区间 $I$ 上恒成立, 则称 $n$ 个函数 $y_i(x)(i=1,2, ..., n)$ 在 $I$ 上**线性相关**, 否则称**线性无关**, 或者说要使 $k_1 y_1+k_2 y_2+...+k_n y_n=0$ 在区间 $I$ 上恒成立, 则必须有$k_i=0(i=1,2, ..., n)$
 
为什么要引入线性相关与线性无关？简单的说，**要表达一个方程的所有解，既不能多，也不能少**

> 线性相关与线性无关是《线性代数》里非常重要的内容，有兴趣的可以点击 [线性相关与线性无关](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=479) 进行查看。

`例` 证明 $1, \cos ^2 x, \sin ^2 x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内线性相关.
证明 由于 $\cos ^2 x+\sin ^2 x-1=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内恒成立, 即可看作存在不全为 零的数 $1,1,-1$, 使 $1 \cdot \cos ^2 x+1 \cdot \sin ^2 x-1 \cdot 1=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内恒成立,
因此 $1, \cos ^2 x, \sin ^2 x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内线性相关.

> **对于两个函数 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$, 如果 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)} \equiv k \in \mathrm{R}$, 那么它们线性相关, 否则 就线性无关.**

这个结论的证明较为复杂，这里不给于证明，只要记住这个结论即可。他的核心思想是：假如你得到了两个解： $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 如果他们线性相关，你以为得到了通解 $y=C_1 y_1(x) +C_2 y_2(x) $，但是后者可以表示为 $y_2(x)= C_3 y_1(x)$ 因此，最终结果可以表示为 $y=C y_1(x)$

##  二阶线性常系数微分方程解的结构
 
 二阶线性常系数微分方程的一般形式是

$$
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+p \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+q y=f(x) ...(1),
$$

其中 $p 、 q$ 是常数, $f(x)$ 是自变量 $x$ 的函数, 函数 $f(x)$ 称为方程(1) 的自由项. 当 $f(x) \equiv 0$ 时, 方程(1)成为

$$
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+p \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+q y=0 ...(2).
$$

这个方程称为**二阶齐次线性微分方程**

**等号右边为0称为其次方程，等号右边不为零称为非齐次方程**

相应地, 当 $f(x) \neq 0$ 时, 方程(1)称为二阶 **非齐次线性微分方程**.

### 定理1
> **定理1：如果函数 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 是方程 $(2)$ 的两个解, 则
$y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)$ 也是方程(2)的解, 其中 $C_1, C_2$ 是任意常数.**

证明 因为 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 是方程(2)的两个解, 所以

$$
y_1^{\prime}+p y_1^{\prime}+q y_1=0, \quad y_2^{\prime}+p y_2^{\prime}+q y_2=0 .
$$

将(3)代入(2)式左端, 得

$$
\begin{aligned}
\text { 左端 } & =\left(C_1 y_1^{\prime \prime}+C_2 y_2^{\prime \prime}\right)+p\left(C_1 y_1^{\prime}+C_2 y_2^{\prime}\right)+q\left(C_1 y_1+C_2 y_2\right) \\
& =C_1\left(y_1^{\prime \prime}+p y_1^{\prime}+q y_1\right)+C_2\left(y_2^{\prime}+p y_2^{\prime}+q y_2\right) \\
& =C_1 \cdot 0+C_2 \cdot 0 \equiv 0=\text { 右端 }
\end{aligned}
$$

故 $C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)$ 是方程(2)的解.

`例`对于二阶线性微分方程

$$
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0 \text {, }
$$

验证 $y_1=\mathrm{e}^x, y_2=\mathrm{e}^{2 x}, y_3=\mathrm{e}^{2+ x}$ 是它的解, 并证明 $C_1 \mathrm{e}^x+C_2 \mathrm{e}^{2 x}$ 是原方程的通解, 而 $C_1 \mathrm{e}^x+C_3 \mathrm{e}^{2+

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