最后更新: 2025-05-20 10:20 查看: 43 次反馈同步训练

高考研究：利用导数判断零点

## 高考研究：利用导数判断零点
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的图象连续不间断，在开区间 $(a, b)$ 内的导数为 $f^{\prime}(x)$ ，那么在区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$ ，使得 $f(b)$ $-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a)$ 成立，其中 $c$ 叫做 $f(x)$ 在 $[a, ~ b]$ 上的＂拉格朗日中值点＂。根据这个定理，可得函数 $f(x)=x^3-3 x$ 在 $[-2,2]$ 上的＂拉格朗日中值点＂的个数为

A． 3
B． 2
C． 1
D． 0

解：函数 $f(x)=x^3-3 x$ ，
则 $f(2)=2, ~ f(-2)=-2, ~ f^{\prime}(x)=3 x^2-3$ ，
由 $f(2)-f(-2)=f^{\prime}(c)(2+2)$ ，
得 $f^{\prime}(c)=1$ ，即 $3 c^2-3=1$ ，
解得 $c= \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} \in[-2,2]$ ，
所以 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上的＂拉格朗日中值点＂的个数为 2 ． 选B

## 利用函数性质研究函数的零点
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.

`例` 已知函数 $f(x)=x \sin x-1$ ．
（1）讨论函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的单调性；

（2）证明：函数 $y=f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上有两个零点．

解：（1）因为函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ， $f(-x)=-x \sin (-x)-1=f(x)$ ，所以函数 $f(x)$ 为偶函数，又 $f^{\prime}(x)=\sin x+x \cos x$ ，且当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ，所以函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增，又函数 $f(x)$ 为偶函数，所以 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 上单调递减，综上，函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 上单调递减．

（2）由（1）得，$f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增，又 $f(0)=-1<0, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-1>0$ ，
所以 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 内有且只有一个零点，当 $x \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 时，令 $g(x)=f^{\prime}(x)=\sin x+x \cos x$ ，则 $g^{\prime}(x)=2 \cos x-x \sin x$ ，当 $x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 时，$g^{\prime}(x)<0$ 恒成立，

即 $g(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上单调递减，又 $g\left(\frac{\pi}{2}\right)=1>0, g(\pi)=-\pi<0$ ，则存在 $m \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ ，使得 $g(m)=0$ ，
且当 $x \in\left(\frac{\pi}{2}, m\right)$ 时，$g(x)>g(m)=0$ ，
即 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{2}, m\right)$ 上单调递增，
当 $x \in(m, ~ \pi]$ 时，有 $g(x)<g(m)=0$ ，即 $f^{\prime}(x)<0$ ，
则 $f(x)$ 在 $(m, \pi]$ 上单调递减，

又 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-1>0, f(\pi)=-1<0$ ，
所以 $f(x)$ 在 $(m, \pi]$ 上有且只有一个零点，
综上，函数 $y=f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上有 2 个零点．

## 数形结合法研究函数的零点

含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数.

`例` 已知函数 $f(x)= e ^x-a x+2 a, ~ a \in R$ 。
（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
(2)求函数f(x)的零点个数.

解：（1）$f(x)= e ^x-a x+2 a$ ，定义域为 $R$ ，且 $f^{\prime}(x)= e ^x-a$ ，
当 $a \leqslant 0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $R$ 上单调递增；
当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，则 $x=\ln a$ ，
当 $x<\ln a$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，$f(x)$ 单调递减；
当 $x>\ln a$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，$f(x)$ 单调递增．
综上所述，当 $a \leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $R$ 上单调递增；
当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty, \ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增．

（2）令 $f(x)=0$ ，得 $e ^x=a(x-2)$ ，
当 $a=0$ 时， $e ^x=a(x-2)$ 无解，$\therefore f(x)$ 无零点，
当 $a \neq 0$ 时，$\frac{1}{a}=\frac{x-2}{ e ^x}$ ，
令 $\varphi(x)=\frac{x-2}{ e ^x},

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