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一元三次方程的求根公式

## 一元三次求根公式历史

人们很早就发现了一元二次方程的求根公式，但是从解决一元二次方程到解决一元三次方程，人类历经数千年。直到公元16世纪，意大利数学家费罗、塔尔塔利亚 等人出现，人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式。其后，卡尔丹（意大利，1501-1576）从塔尔塔利亚手中获得了求解方法，写在其名著《大术》中，并公之于众，后世称其为卡丹公式。

1545年，意大利学者卡尔丹 （Cardano G．，1501－1576年）所著的《关于代数的大法》中给出了一元三次方程 $x^3+p x+q=0$ 的求根公式，人们就将这个公式称为卡尔丹公式。对标准型的一元三次方程 $a x^3+b x^2+c x+d=0$ ，总可以做变量代换化为 $x^3+p x+q=0$ 进行求根。

### 三次公式的爱恨情仇

大约1500年左右，意大利数学家费罗最早发现了一元三次方程$x^3+ mx = n$ 的求根公式，这在求解一元三次方程的道路上是一个突破性的成功。然而费罗并没有马上发表自己的成果，而是对解法保密，这很大程度上是因为他拒绝公开交流他的思想，而不是将它们写下来出版，因此费罗的手稿并没有流传。

此后大约1530年左右，意大利数学家 塔尔塔利亚 独自发现了一元三次方程的求根公式，据此，塔尔塔利亚与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡尔丹得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。

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卡尔丹
当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡尔丹千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡尔丹一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。

卡尔丹并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡丹公式。

塔塔利亚知道卡丹把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡尔丹的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡尔丹在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。 许多资料都记述过塔塔利亚与卡尔丹在一元三次方程求根公式问题上的争论，可是，名为卡尔丹公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡丹没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡尔丹错有应得，但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡尔丹也做了工作。
卡尔丹用自己的工作对塔塔利亚把一元三次方程的解公诸于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。不过，或者是为了感谢卡尔丹的贡献，后世把三次方程根称作卡丹公式，而不是塔塔利亚公式。

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欧拉
 另外，塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。

> 现代数学里，对一元三次方程的求解是从一元二次方程启发的，下面先从一元二次方程谈起，然后引入一元三次方程的求根公式。

## 从一元二次方程求解谈起
一元二次方程的标准形式为

$$
a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)
$$

为方便求解，我们将方程两边同时除以 $a$ ，化为最高次项（这里是二次项）系数为 1 的（也叫做「首一的」）一元一次方程

$$
x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}=0
$$

根据 代数基本定理（Fundamental theorem of algebra），我们知道，任何复系数一元二次方程有且仅有两个复数根。

于是，我们不妨设原方程的两个解为 $x_1 、 x_2$ 。考虑到方程的解是使方程成立的所有值，则上述首一的复系数一元二次方程的左边一定可以因式分解为（等价于）

$$
\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0 \text { 。 }
$$

展开，得 $x^2-\left(x_1+x_2\right) x+x_1 \cdot x_2=0$ 。
通过比较方程的系数，可以得到下列两个等式：
两个解相加 $\sigma_1=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ，
两个解相乘 $\sigma_2=x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}$ 。

值得注意的是，这两个恒等式中，分子的第二括号里面多项式的系数，以及第二个等式中分子每项括号前面的系数刚好就是 1 的平方根 1、－1。

其中，$x_1+x_2$ 可以由韦达定理的 $\sigma_1$ 给出。因此，我们只需要知道如何用方程的系数表示 $x_1-x_2$ ，就可以用方程的系数表示一元二次方程的两个根 $x_1 、 x_2$ 。

于是，我们利用韦达定理构造代数式

$$
t=x_1-x_2=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2}=\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-4 \cdot \frac{c}{a}}=\frac{\sqrt{b^2-4 a c}}{a} .
$$

数学上，把这种需要预先构造出来的关于多项式方程 $p(x)=0$ 的根的辅助代数式，称为多项式方程的「预解式 + 」。记作 $t=t\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right)$ 。

其中，一元二次方程的预解式可记作 $t=x_1-x_2=\frac{\sqrt{b^2-4 a c}}{a}$ 或者 $t\left(x_1, x_2\right)=x_1-x_2=\frac{\sqrt{b^2-4 a c}}{a}$ 。

最后将一元二次方程的韦达定理 $\sigma_1$ 与预解式 $t$ 代入两根满足的恒等式，我们完美地求解出一元二次方程的通用求根公式

$$
\begin{aligned}
& x_1=\frac{\sigma_1+t}{2}=\frac{-\frac{b}{a}+\frac{\sqrt{b^2-4 a c}}{a}}{2}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}, \\
& x_2=\frac{\sigma_1-t}{2}=\frac{-\frac{b}{a}-\frac{\sqrt{b^2-4 a c}}{a}}{2}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a},
\end{aligned}
$$

## 一元三次方程
对于一元三次方程，我们也可以利用同样的思路，构造出三次方程的求根公式。具体过程如下：
一元三次方程都可以化为 $x^3+\frac{b}{a} x^2+\frac{c}{a} x+\frac{d}{a}=0$ 的形式。
由代数基本定理，可知任何复系数一元三次方程有且仅有三个复数根。
于是，我们不妨设原方程的三个解为 $x_1 、 x_2 、 x_3$ ，则上述首一的复系数一元三次方程的左边一定可以因式分解为（等价于）

$$
\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)=0 \text { 。 }
$$

展开，得 $x^3-\left(x_1+x_2+x_3\right) x^2+\left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\right) x-x_1 x_2 x_3=0$ 。
通过比较方程的系数，可以得到下列三个等式，也就是一元三次方程的韦达定理：
三个解相加 $\sigma_1=x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$ ，
三个解两两相乘再相加 $\sigma_2=x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3=\frac{c}{a}$ ，
三个解相乘 $\sigma_3=x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=-\frac{d}{a}$ 。

利用简单的代数恒等变形，可知一元三次方程的三根满足类似的恒等式

$$
\begin{aligned}
& x_1=\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)+\left(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3\right)+\left(x_1+\omega^2 x_2+\omega x_3\right)}{3} \\
& x_2=\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)+\omega

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