最后更新: 2025-06-05 21:47 查看: 122 次反馈同步训练

复数乘法的几何意义

## 复数乘法的几何意义

我们都知道，一个复数 $z=x+y i$ 可以被描述成在一个复平面上的一个向量，这个向量的坐标就是 $(x, y)$ 。也就是一个复数的实部为这个向量的横坐标，虚部为纵坐标。

![图片](/uploads/2025-05/2c33f5.jpg){width=200px}
 
 
 这个向量的坐标自然也可以通过参数方程表示为 $z=\rho(\cos \theta + i \sin \theta)$ ，其中 $\theta$ 就是向量与 $x$轴正方向的夹角，$\rho$ 就是向量的模长。

考虑任意两个复数 $z_1, z_2$ 的乘法运算

$$
\begin{aligned}
z_1 & =\rho_1\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1 \right) \\
z_2 & =\rho_2\left(\cos \theta_2 +i \sin \theta_2 \right)
\end{aligned}
$$

可以计算得到 $z_1 z_2=\rho_1 \rho_2\left(\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1+\theta_2 \right)\right)$

这也就是说，两个复数相乘后得到的向量，它的模长为两因子之积，它与 $x$ 轴正方向的夹角为两因子之和。

> **也就是说复数乘法的几何意义就是向量的伸缩旋转**。

令 $z$ 为复平面$C$ 中一般的点并且考虑当用一个固定复数 $A=R \angle \phi$ 去乘它时，它会变成什么．按上面的理解，$z$ 的长度将放大 $R$ 倍，而 $z$ 的角度将增加一个 $\phi$ ．现在想象对平面的每一点都同时这样做：

从几何上看，乘以复数 $A=R \angle \phi$ 就是把平面旋转一个角 $\phi$ ，且放大一个因子 $R$ ．

## 一个简单的复数乘法
 理解了上面复数乘法的意义后，我们看一下一个简单的复数乘法：
 $w=f(z)=(1+i \sqrt{3}) z $
 
因为 $(1+ i \sqrt{3})=2 e ^{ i \pi / 3}$ ，这意味着复平面$z$ 上的图像经过$f(z)$ 转换后，图像会放大 2倍，且图像会旋

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