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高考研究：空间向量与立体几何

利用空间向量解决立方体的问题，是高考压轴题常见类型，难点较大。

`例` （2022－新高考全国 I 改编）如图，直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 4 ， $\triangle A_1 B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ．

![图片](/uploads/2025-05/2fbce7.jpg){width=200px}
 
 （1）求 $A$ 到平面 $A_1 B C$ 的距离；
 
 （2）设 $D$ 为 $A_1 C$ 的中点，$A A_1=A B$ ，平面 $A_1 B C \perp$ 平面 $A B B_1 A_1$ ，求平面 $A B D$与平面 $B C D$ 夹角的正弦值．
 
 解：（1）设点 $A$ 到平面 $A_1 B C$ 的距离为 $h$ ，因为直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 4 ，所以 $V_{A-A_1 B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot A A_1$ $=\frac{1}{3} V_{A B C-A_1 B_1 C_1}=\frac{4}{3}$ ，又 $\triangle A_1 B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ， $V_{A-A_1 B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A_1 B C} h=\frac{1}{3} \times 2 \sqrt{2} h=\frac{4}{3}$ ，所以 $h=\sqrt{2}$ ，即点 $A$ 到平面 $A_1 B C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ．
 
 
 （2） 取 $A_1 B$ 的中点 $E$ ，连接 $A E$ ，
则 $A E \perp A_1 B$ 。
因为平面 $A_1 B C \perp$ 平面 $A B B_1 A_1$ ，平面 $A_1 B C \cap$ 平面 $A B B_1 A_1=A_1 B, A E \subset$
平面 $A B B_1 A_1$ ，
所以 $A E \perp$ 平面 $A_1 B C$ ，
又 $B C \subset$ 平面 $A_1 B C$ ，所以 $A E \perp B C$ ．
又 $A A_1 \perp$ 平面 $A B C, B C \subset$ 平面 $A B C$ ，
所以 $A A_1 \perp B C$ ．

![图片](/uploads/2025-05/fdaba3.jpg){WIDTH=200PX}
 
 因为 $A A_1 \cap A E=A, A A_1, A E \subset$ 平面 $A B B_1 A_1$ ，所以 $B C \perp$ 平面 $A B B_1 A_1$ ，又 $A B \subset$ 平面 $A B B_1 A_1$ ，所以 $B C \perp A B$ ．
以 $B$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B B_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，$A E=\sqrt{2}$ ，
所以 $A A_1=A B=2, A_1 B=2 \sqrt{2}$ ．

因为 $\triangle A_1 B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，
所以 $2 \sqrt

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