最后更新: 2025-05-31 17:54 查看: 17 次反馈同步训练

高考研究：立体图形的表面积与体积

## 空间几何体的结构特征

### 棱体
 ![图片](/uploads/2025-05/23db1e.jpg)
  
![图片](/uploads/2025-05/c84e6b.jpg)

### 旋转体
 ![图片](/uploads/2025-05/4d105d.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-05/9dfd82.jpg)

###  表面积
 ![图片](/uploads/2025-05/4052fa.jpg)
 
 ## 体积
  ![图片](/uploads/2025-05/aef0f8.jpg)
  
 
 与体积有关的几个结论
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖则原理）。

`例`  如图，已知正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的底面边长为 1 cm ，高为 5 cm ，一质点自 $A$ 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 $A_1$ 点的最短路线的长为
 ![图片](/uploads/2025-05/b0ddf9.jpg){width=200px}
A． 12 cm
B． 13 cm
C．$\sqrt{61} cm$
D． 15 cm

解 如图，把侧面展开 2 周可得对角线最短，则 $A A_1=\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}(cm)$ ．

![图片](/uploads/2025-05/ba9d27.jpg){width=200px}
 
 
 
 `例` 已知圆雉的侧面积是底面积的 $\frac{5}{4}$ 倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为

A．$\frac{4 \pi}{5}$
B．$\frac{6 \pi}{5}$
c．$\frac{8 \pi}{5}$
D．$\frac{9 \pi}{5} a$

解：设圆锥的底面圆的半径为 $r$ ，母线长为 $l$ ，则圆锥的侧面积为 $\pi r l$ ，
由题意得 $\frac{\pi r l}{\pi r^2}=\frac{5}{4}$ ，解得 $l=\frac{5 r}{4}$ ，
$\because$ 圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为 $2 \pi r$ ，
$\therefore$ 该扇形的圆心角为 $\alpha=\frac{2 \pi r}{l}=\frac{2 \pi r}{\frac{5 r}{4}}=\frac{8 \pi}{5}$ ．

`例` 以边长为 2 的正方形的一边所在直线为旋转

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