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常微分方程
第一篇 一阶微分方程
一阶微分方程的几何意义
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2025-06-07 06:19
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一阶微分方程的几何意义
1.4 定性方法与数值方法 在1．2节和1．3节中对几类方程给出了求解的一般方法，找到解的解析表达式后，当然就容易知道微分方程解的很多性质。然而，也能够用其他方法来描述方程的解．有时，这些方法在某种程度上更容易理解与使用．在本节中，首先是在几何直观上通过对微分方程 $$ \frac{d y}{d t}=f(t, y) $$ 的斜率场和解的图像的大致描述来研究它．其次，给出最常用的一种数值方法——欧拉方法． 1．4．1 一阶微分方程的几何意义 一阶微分方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 的解 $y(t)$ 表示 $t y$ 平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线．如果积分曲线 $y=y(t)$ 经过点 $\left(t_1, y_1\right)$ ，即 $y_1=y\left(t_1\right)$ ，则 $y=y(t)$ 在 $t=t_1$ 处的导数 $\frac{ d y}{d t}=f\left(t_1, y_1\right)$ 。这告诉我们在 $\left(t_1, y_1\right)$ 处积分曲线 $y=y(t)$ 的切线斜率为 $f\left(t_1, y_1\right)$ ，如图 1.6 所示．其实，方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 的积分曲线 $y=y(t)$ 在其上任一点 $(t, y)$ 处的斜率必为 $f(t, y)$ 。换句话说，方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 右边 $f(t, y)$ 的值给出了积分曲线 $y=y(t)$ 上所有点的切线斜率，如图1．7所示．反之，如果一条曲线上每一点的切线斜率为 $f(t, y)$ ，则此曲线必为方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 的积分曲线．   对于方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ ，若给定 $f(t, y)$ ，在 $t y$ 平面内选择 $f(t, y)$ 定义域 $D$ 内的点 $
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