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一阶微分方程的几何意义及应用

##  一阶微分方程的几何意义
在1．2节和1．3节中对几类方程给出了求解的一般方法，找到解的解析表达式后，当然就容易知道微分方程解的很多性质。然而，也能够用其他方法来描述方程的解．有时，这些方法在某种程度上更容易理解与使用．在本节中，首先是在几何直观上通过对微分方程

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y)
$$

的斜率场和解的图像的大致描述来研究它．其次，给出最常用的一种数值方法——欧拉方法．

## 斜率场
一阶微分方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 的解 $y(t)$ 表示 $t y$ 平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线．如果积分曲线 $y=y(t)$ 经过点 $\left(t_1, y_1\right)$ ，即 $y_1=y\left(t_1\right)$ ，则 $y=y(t)$ 在 $t=t_1$ 处的导数 $\frac{ d y}{d t}=f\left(t_1, y_1\right)$ 。这告诉我们在 $\left(t_1, y_1\right)$ 处积分曲线 $y=y(t)$ 的切线斜率为 $f\left(t_1, y_1\right)$ ，如图 1.6 所示．其实，方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 的积分曲线 $y=y(t)$ 在其上任一点 $(t, y)$ 处的斜率必为 $f(t, y)$ 。换句话说，方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 右边 $f(t, y)$ 的值给出了积分曲线 $y=y(t)$ 上所有点的切线斜率，如图1．7所示．反之，如果一条曲线上每一点的切线斜率为 $f(t, y)$ ，则此曲线必为方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 的积分曲线．
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  对于方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ ，若给定 $f(t, y)$ ，在 $t y$ 平面内选择 $f(t, y)$ 定义域 $D$ 内的点 $(t, y)$ ，在这一点标注一个以该点为中心的小线段，其斜率为 $f(t, y)$（图 1．8），一般称这样的小线段为斜率标记，而对 $t y$ 平面上 $D$ 内任一点 $(t, y)$ 有这样一个小线段 与之对应，这样在 $D$ 内形成一个方向场，称为**斜率场**．
  
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`例`画出 $\frac{ d y}{d t}=y+2 t$ 的斜率场分布图．
解 $f(t, y)=y+2 t$ 在全平面内有定义，这样对任意点都可以画一个斜率标记与之对应，选取 $t=-1,0,1, y=-1,0,1$ 对应的 9 个点 $(t, y)$ ．因为 $f(-1,-1)=$ $-3, f(-1,0)=-2, f(-1,1)=-1, f(0,-1)=-1, f(0,0)=0, f(0,1)=1, f(1,-1)=$ $1, f(1,0)=2, f(1,1)=3$ ，所以在这些点的斜率标记如图 1.9 所示．图 1.10 是通过计算机给出的在 $-3 \leqslant t \leqslant 3,-3 \leqslant y \leqslant 3$ 范围内的斜率场．

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  ![图片](/uploads/2025-06/911779.jpg)
  
  事实上，利用一阶线性微分方程的求解方法知上述方程的通解是 $y(t)=c e ^t-$ $2 t-2$ ，其中 $c$ 是任意常数．在图 1.11 中，给出了当 $c=3,2,1,0,-1,-2$ 时解的图像，可以看到这些图像与斜率场中的小线段相切．
   ![图片](/uploads/2025-06/280a53.jpg)

## 斜率场的两种特例
**（1）$\frac{ d y}{d t}=f(t)$ 的斜率场**．由于 $f$ 仅是自变量 $t$ 的函数，可知方程的任一解 $y=y(t)$ 的斜率仅与 $t$ 有关，都是 $f(t)$ ．这样在斜率场中，当 $t$ 相等时，所有的斜率标记都是平行的，即每个坚直直线上的标记是平行的。反之，若一个微分方程对应的斜率场在任何竖直直线上具有相同的斜率标记，则该微分方程一定具有 $\frac{ d y}{d t}=f(t)$的形式．实际上，方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t)$ 的解即为 $f(t)$ 的不定积分 $\int f(t) d t$ ．例如，方程 $\frac{ d y}{d t}=2 t$ 的解为 $\int 2 t d t=t^2+c$ ，其中 $c$ 是任意常数．所有的解的图像仅仅是 $y=t^2$图像的上、下平移（图 1．12）．
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 `例`画出方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=\cos t$ 的斜率场．解 如图 1.13 所示．
  
  ![图片](/uploads/2026-02/4dbd32.jpg)
  
  
**（2）自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ 的斜率场**．当一阶微分方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 的右端项仅是 $y$ 的函数而与 $t$ 无关时，称为**一阶自治方程**．斜率场中任何水平直线上的斜率标记相同，这是自治方程独有的特征．其所有的解在 $y$ 轴方向上是平行的，即若 $y(t)$是解，则 $y(t+c)$ 也是解，其中 $c$ 是任意常数．

`例`画出 $\frac{ d y}{d t}=y(2+y)$ 的斜率场．
解 如图 1.14 所示．
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## 解析方法与定性方法相结合的分析方法
在研究微分方程时，利用何种方法更好地处理它，要针对具体问题而定。如果方程容易求解，那利用解析方法来研究；如果不容易求解，就要利用其他方法来研究解的性质。对自治方程 $\frac{ d y}{d t}=4 y(1-y)$ 而言，它是变量分离方程，可以求出它的解为

$$
y=\frac{1}{1+c e^{-4 t}}(c \text { 为任意常数 }) \text { 和 } y=0 \text {. }
$$

即使有了解的表达式，也不容易画出它的图像来观察它所具有的一些性质．但通过前面的斜率场就可以得到解的许多性质。尽管不能够利用定性方法来回答诸如解在某一时刻 $t$ 的精确值，但是可以利用这些方法来理解解的长渐近性质．

当对求解方程无能为力时，定性分析的思想就显得尤为重要．例如，

$$
\frac{d y}{d t}=e^{y^2 / 10} \sin ^2 y
$$

虽然可变量分离来解，但是对于积分

$$
\int \frac{d y}{e^{y^2 / 10} \sin ^2 y}
$$

而言是很难求解的。通过定性方法来分析，首先，当 $y=n \pi(n$ 是整数）时，方程的右端等于 0 ，可知 $y=n \pi$ 是方程的平衡解（ $n$ 是任意整数）。其次，除 $y=n \pi$ 外，方程的右端总是大于 0 ，可知两个平衡解之间的任一解都是严格单调增的，并且这些解当趋向于平衡解时，其导数趋向于 0 ，并以它们上、下端的平衡解为水平渐近线。这样即使没有解析解，仍然可以知道解的一些重要性质（图 1．15）．

![图片](/uploads/2025-06/86d1ca.jpg)

##  应用举例
 `例`(混合问题）一个水池有一个进水管 $A$ 和一个排水管 $B$ ，现水池内有 1000 kg 的盐水，$A$ 水管每分钟有浓度为 $20 \%$ 的盐水 60 kg 流入，盐水流入水池后即与水池内的盐水充分混合，使得各处盐水浓度相同．与此同时，$B$ 水管每分钟有 60 kg 的盐水从水池中流出。试建立水池内盐随时间变化的模型，并对此进行分析。

解 设 $S(t)$ 表示时刻 $t$ 水池内盐的质量，则水池内每分钟盐的变化为流入的质量－流出的质量．$A$ 管流入 $20 \% \cdot 60, B$ 管流出 $\frac{S}{1000} \cdot 60$ ，因而可建立模型如下：

$$
\frac{d S}{d t}=20 \% \cdot 60-\frac{S}{1000} \cdot 60
$$

即

$$
\frac{d S}{d t}=12-\frac{3 S}{50}=\frac{600-3 S}{50}
$$

利用变量分离法求解方程

$$
\begin{gathered}
\frac{d S}{600-3 S}=\frac{d t}{50} \\
\ln |600-3 S|=-\frac{3 t}{50}+c_1 \\
600-3 S= \pm e^{\left(-0.06 t+c_1\right)}=c e^{-0.06 t}
\end{gathered}
$$

其中，$c_2= \pm c_1$ 是不等于 0 的常数，但取 $c_2=0$ 时，$S=200$ 是方程的平衡解，这样 $c_2$ 可取任意常数．整理得

$$
S=-\frac{c_2}{3} e^{-0.06 t}+200=c e^{-0.06 t}+200
$$

其中，$c=-\frac{c_2}{3}$ 是任意常数．得到了方程的通解，只要能够知道初始时刻水池中含盐的多少，就可以得到任意时刻水池中含盐多少．当 $c=0$ 时，得到平衡解 $S=200$ ．

用斜率场来对这些解进行定性描述，如图 1.16 所示，给出方程的斜率场和几个特解图像．

如果 $S=200$ 为平衡解，斜率标记是水平的．当 $S<200$ 时，斜率为正；当 $S>200$ 时，斜率为负．因此，随着时间 $t$ 的增加，所有解趋向于平衡解．这告诉我们，无论一开始水池中含有多少盐，当 $t \rightarrow \infty$ 时，水池中的盐趋向于 200 kg ．这一结论也可从通解的表达式

$$
S=c e^{-0.06 t}+200
$$

中令 $t \rightarrow \infty$ 得到．

![图片](/uploads/2025-06/918daf.jpg)

`例`（ $R C$ 电路）包含电阻 $R$ ，电容 $C$ 及电源的电路称为 $R C$ 电路，如图1．17所示，其中电源的电压是时间 $t$ 的函数 $V(t)$ ．闭合开关后，考察通过电容 $C$中电压的变化．

![图片](/uploads/2025-06/908778.jpg)
 
解 由电路学知识，$C$ 的电压 $v(t)$与电阻 $R$ 的电压之和应为电源的电压 $V(t)$ ，而通过电容 $C$ 的电流 $I$ ，即电路中的电流 $I=\frac{ d Q}{d t}=\frac{ d (C v(t))}{ d t}=C \frac{d v}{d t}$ ，其中 $Q$
为电量，从而 $R$ 处的电压为 $R I=R C \frac{d v}{d t}$ ． 由此可以建立 $R C$ 电路的模型如下：

$$
R C \frac{d v}{d t}+v=V(t)
$$

即

$$
\frac{d v}{d t}=\frac{V(t)-v}{R C}
$$

下面就几种情况进行讨论。
（1）零输入，即电源电压 $V(t)=0$ ．此时方程变为

$$
\frac{d v}{d t}=-\frac{v}{R C}
$$
对特定的 $R, C$ ，方程的斜率场如图 1.18 所示，可以看到当 $t$ 增加时，所有的解衰减趋向于 $v=0$ ．这也可从方程的通解 $v(t)=v_0 e ^{-t / R C}$（通过变量分离法直接求得）中看出，其中 $v_0$ 是 $C$ 初始的电压．
 ![图片](/uploads/2025-06/ac0f92.jpg)
 
 （2）常量（非零）输入，即 $V(t)=K>0$ ，此时方程变为

$$
\frac{d v}{d t}=\frac{K-v}{R C}
$$

这是自治方程，则有平衡解 $v=K$ ，并且随着时间 $t$ 的增加，当 $v>K$ 时，所有解严格递减；当 $v<K$ 时，所有的解严格递增，最终趋向于平衡解 $v=K$（图1．19）．这告诉我们，对于 $C$ 处任意给定的初始电压 $v(0)$ ，经过较长时间后接近电源电压．

![图片](/uploads/2025-06/12d125.jpg)
 
 （3）开－关输入，开始为稳恒电压，后断开开关．设

$$
V(t)= \begin{cases}K, & 0 \leqslant t<5, \\ 0, & t \geqslant 5,\end{cases}
$$

则

$$
\frac{d v}{d t}=\frac{V(t)-v}{R C}= \begin{cases}\frac{K-v}{R C}, & 0 \leqslant t<5, \\ \frac{-v}{R C}, & t \geqslant 5 .\end{cases}
$$

这是前面两种情况在 $t=5$ 处的粘合，如图 1.20 所示．
 ![图片](/uploads/2025-06/65afe5.jpg)

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