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一阶线性微分方程求解的积分因子法

## 一阶线性微分方程求解的积分因子法
前面给出了一阶非齐次线性微分方程的常数变易法，在这里给出另外一种不同的处理方法，称之为**积分因子法**．

考虑一阶非齐次线性微分方程

$$
\frac{d y}{d t}=a(t) y+b(t) .
$$

把含有未知函数 $y$ 的项移到方程的左端有

$$
\frac{d y}{d t}-a(t) y=b(t)
$$

令

$$
g(t)=-a(t)
$$

则方程变为

$$
\frac{d y}{d t}+g(t) y=b(t)
$$
根据函数乘积的求导链式法则，这样做的目的是使左端像某两个函数乘积的导数．未知函数 $y(t)$ 和某个函数 $\mu(t)$ 乘积的导数为

$$
\frac{d \mu(t) y(t)}{d t}=\mu(t) \frac{d y(t)}{d t}+y(t) \frac{d \mu(t)}{d t} .
$$

为了使方程的左端更像两个函数乘积的导数，用 $\mu(t)$ 乘方程的两端有

$$
\mu(t) \frac{d y}{d t}+\mu(t) g(t) y=\mu(t) b(t)
$$
假定已经存在一个函数 $\mu(t)$ ，使得左端项恰好是 $\mu(t) y(t)$ 的导数，则 $\mu(t)$ 满足

$$
\frac{d \mu(t) y(t)}{d t}=\mu(t) \frac{d y}{d t}+\mu(t) g(t) y,
$$

从而得到关于 $\mu(t)$ 的新微分方程

$$
\frac{d \mu(t) y(t)}{d t}=\mu(t) b(t)
$$

两边积分得到

$$
\mu(t) y(t)=\int \mu(t) b(t) d t
$$

因而

$$
y(t)=\frac{1}{\mu(t)} \int \mu(t) b(t) d t
$$

这样在假定 $\mu(t)$ 存在的情况下，得到了想要的解 $y(t)$ ．这样的 $\mu(t)$ 称为方程 $\frac{ d y}{d t}+$ $g(t) y=b(t)$ 的**积分因子**．

### 怎么找到方程的积分因子
怎么找到方程的积分因子呢？由前面知，要想 $\mu(t)$ 是方程的积分因子，则 $\mu(t)$满足

$$
\frac{d \mu(t) y(t)}{d t}=\mu(t) \frac{d y(t)}{d t}+\mu(t) g(t) y(t)
$$

而由链式法则，

$$
\frac{d \mu(t) y(t)}{d t}=\mu(t) \frac{d y(t)}{d t}+y(t) \frac{d \mu(t)}{d t}
$$

比较上面两式得．

$$
\frac{d \mu(t)}{d t}=\mu(t) g(t)
$$
因此，只要 $\mu(t)$ 满足上面的微分方程，那它就是需要的积分因子．然而 $\frac{ d \mu(t)}{ d t}=$ $\mu(t) g(t)$ 是关于 $\mu(t)$ 的齐次方程，$\mu(t)= e ^{\int g(t) d t}$ 是解。

有了积分因子的公式，就可以求解方程

$$
\frac{d y}{d t}+g(t) y=b(t)
$$

它的一个解为

$$
y(t)=\frac{1}{\mu(t)} \int \mu(t) b(t) d t=e^{-\int g(t) d t} \int b(t) e^{\int g(t) d t} d t
$$

而相应齐次方程的通解为 $c e ^{-\int g(t) d t}$ ，从而原方程的通解为

$$
y(t)=e^{-\int g(t) d t}\left(\int b(t) e^{\int g(t) d t} d t+c\right)
$$

其中，$c$ 为任意常数．这与用常数变易法得到的表达式是一样的，注意到这里的 $g(t)=-a(t)$.

`例`求解方程 $\frac{ d y}{d t}+\frac{2}{t} y=t-1$ ．
解 首先，计算积分因子

$$
\mu(t)=e^{\int \frac{2}{t} d t}=e^{2 \ln t}=t^2
$$

其次，用积分因子 $\mu(t)=t^2$ 乘方程的两端得

$$
t^2 \frac{d y}{d t}+2 t y=t^2(t-1)
$$

即

$$
\frac{d t^2 y}{d t}=t^2(t-1)
$$

两边积分得

$$
t^2 y=\frac{t^4}{4}-\frac{t^3}{3}+c
$$

其中，$c$ 是任意常数，因而通解为

$$
y=\frac{t^2}{4}-\frac{t}{3}+\frac{c}{t^2}
$$

`例`求解方程 $y d t+(y-t) d y=0$ ．
解 解法一 方程改写为

$$
\frac{d t}{d y}-\frac{t}{y}=-1
$$

这是线性方程，其中把 $t$ 看成未知函数，而把 $y$ 看成自变量．积分因子 $\mu(y)=$ $e ^{\int-\frac{1}{y} d y}=\frac{1}{y}$ 。乘方程两端得到

$$
\frac{1}{y} \frac{d t}{d y}-\frac{t}{y^2}=-\frac{1}{y}
$$
即

$$
\frac{d\left(\frac{t}{y}\right)}{d y}=-\frac{1}{y}
$$

两边积分整理得通解

$$
\frac{t}{y}+\ln |y|=c
$$

其中，$c$ 是任意常数．此外，$y=0$ 也是原方程的解．
解法二 把方程改写为

$$
\frac{d y}{d t}=\frac{y}{t-y}=\frac{\frac{y}{t}}{1-\frac{y}{t}}
$$

这是 1．2．2 小节中可化为变量分离的齐次微分方程．令 $u=\frac{y}{t}$ ，代入得到

$$
t \frac{d u}{d t}+u=\frac{u}{1-u}
$$

即

$$
\frac{1-u}{u^2} d u=\frac{d t}{t}
$$

因此，通解为

$$
-\frac{1}{u}-\ln |u|=\ln |t|-c
$$

代回原来的变量即有

$$
\frac{t}{y}+\ln |y|=c
$$

其中，$c$ 是任意常数．此外，$y=0$ 也是原方程的解．

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