最后更新: 2025-06-07 06:17 查看: 23 次反馈同步训练

一阶线性微分方程求解的积分因子法

1．3．5 一阶线性微分方程求解的积分因子法
前面给出了一阶非齐次线性微分方程的常数变易法，在这里给出另外一种不同的处理方法，称之为积分因子法．

考虑一阶非齐次线性微分方程

$$
\frac{d y}{d t}=a(t) y+b(t) .
$$

把含有未知函数 $y$ 的项移到方程的左端有

$$
\frac{d y}{d t}-a(t) y=b(t)
$$

令

$$
g(t)=-a(t)
$$

则方程变为

$$
\frac{d y}{d t}+g(t) y=b(t)
$$
根据函数乘积的求导链式法则，这样做的目的是使左端像某两个函数乘积的导数．未知函数 $y(t)$ 和某个函数 $\mu(t)$ 乘积的导数为

$$
\frac{d \mu(t) y(t)}{d t}=\mu(t) \frac{d y(t)}{d t}+y(t) \frac{d \mu(t)}{d t} .
$$

为了使方程的左端更像两个函数乘积的导数，用 $\mu(t)$ 乘方程的两端有

$$
\mu(t) \frac{d y}{d t}+\mu(t) g(t) y=\mu(t) b(t)
$$
假定已经存在一个函数 $\mu(t)$ ，使得左端项恰好是 $\mu(t) y(t)$ 的导数，则 $\mu(t)$ 满足

$$
\frac{d \mu(t) y(t)}{d t}=\mu(t) \frac{d y}{d t}+\mu(t) g(t) y,
$$

从而得到关于 $\mu(t)$ 的新微分方程

$$
\frac{d \mu(t) y(t)}{d t}=\mu(t) b(t)
$$

两边积分得到

$$
\mu(t) y(t)=\int \mu(t) b(t) d t
$$

因而

$$
y(t)=\frac{1}{\mu(t)} \int \mu(t) b(t) d t
$$

这样在假定 $\mu(t)$ 存在的情况下，得到了想要的解 $y(t)$ ．这样的 $\mu(t)$ 称为方程 $\frac{ d y}{d t}+$ $g(t) y=b(t)$ 的积分因子．

怎么找到方程的积分因子呢？由前面知，要想 $\mu(t)$ 是方程的积分因子，则 $\mu(t)$满足

$$
\frac{d \mu(t) y(t)}{d t}=\mu(t) \frac{d y(t)}{d t}+\mu(t) g(t) y(t)
$$

而由链式法则，

$$
\frac{d \mu(t) y(t)}{d t}=\mu(t) \frac{d y(t)}{d t}+y(t) \frac{d \mu(t)}{d t}
$$

比较上面两式得．

$$
\frac{d \mu(t)}{d t}=\mu(t) g(t)
$$
因此，只要 $\mu(t)$ 满足上面的微分方程，那它就是需要的积分因子．然而 $\frac{ d \mu(t)}{ d t}=$ $\mu(t) g(t)$ 是关于 $\mu(t)$ 的齐次方程，$\mu(t)= e ^{\int g(t) d t}$ 是解。

有了积分因子的公式，就可以求解方程

$$
\frac{d y}{d t}+g(t) y=b(t)
$$

它的一个解为

$$
y(t)=\frac{1}{\mu(t)} \int \mu(t) b(t) d t=e^{-\int g(t) d t} \int b(t) e^{\int g(t) d t} d t
$$

而相应齐次方程的通解为 $c e ^{-\i

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