最后更新: 2026-01-20 19:58 查看: 145 次纠错评论(0) 课件开VIP

一阶线性微分方程求解的常数变易法★★★★★

## 一阶线性微分方程求解的常数变易法
前面求解一阶线性方程的猜测－检验法只适用于一定的常系数方程，对手一般的方程是无能为力的．下面给出一种一般的解法，称为**常数变易法**，其思想方法数下：
对非齐次方程

$$
\frac{d y}{d t}=a(t) y+b(t)
$$

而言，已经知道 $y(t)=c e^{\int a(t) d t}$ 是相应齐次方程的解，其中 $c$ 是常数．把常数 $c$ 变易为 $t$ 的待定函数 $c(t)$ ，令

$$
y(t)=c(t) e^{\int a(t) d t}
$$

微分得到

$$
\frac{d y}{d t}=\frac{d c(t)}{d t} e^{\int a(t) d t}+c(t) a(t) e^{\int a(t) d t} .
$$

若 $y(t)$ 是方程的解，则有

$$
\frac{d c(t)}{d t} e^{\int a(t) d t}+c(t) a(t) e^{\int a(t) d t}=a(t) c(t) e^{\int a(t) d t}+b(t)
$$

即

$$
\frac{d c(t)}{d t}=b(t) e^{-\int a(t) d t},
$$

积分后得到

$$
c(t)=\int b(t) e^{-\int a(t) d t} d t+\bar{c}
$$

其中， $\bar{c}$ 为任意常数，从而可以得到方程

$$
\frac{d y}{d t}=a(t) y+b(t)
$$

的通解为

$$
y(t)=e^{\int a(t) d t}\left(\int b(t) e^{-\int a(t) d t} d t+\bar{c}\right)
$$

`例`求方程 $(t+1) \frac{ d y}{d t}-y= e ^t(t+1)^2$ 的通解．
分析 把原方程变形为

$$
\frac{d y}{d t}=\frac{y}{t+1}+e^t(t+1)
$$

它是一阶线性微分方程，可用常数变易法求解．
解 方程化为

$$
\frac{d y}{d t}=\frac{y}{t+1}+e^t(t+1)
$$

首先，求齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=\frac{y}{t+1}$ 的通解为

$$
y(t)=c e^{\int \frac{1}{t+1} d t}=c(t+1)
$$
其次，利用常数变易法，令

$$
y=c(t)(t+1)
$$

则

$$
\frac{d y}{d t}=\frac{d c(t)}{d t}(t+1)+c(t)
$$

代入原方程得

$$
\frac{d c(t)}{d t}=e^t
$$

积分之求得

$$
c(t)=e^t+\bar{c}
$$

因而原方程的通解为

$$
y(t)=(t+1)\left(e^t+\overline{c}\right)
$$

其中 $\bar{c}$ 为任意常数．

其他版本
【高等数学】一阶线性微分方程

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：一阶线性微分方程的求解★★★★★

下一篇：一阶线性微分方程求解的积分因子法

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)