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常微分方程
第一篇 一阶微分方程
一阶线性微分方程求解的常数变易法
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2025-06-06 08:06
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一阶线性微分方程求解的常数变易法
1．3．4 一阶线性微分方程求解的常数变易法 前面求解一阶线性方程的猜测－检验法只适用于一定的常系数方程，对手一般的方程是无能为力的．下面给出一种一般的解法，称为常数变易法，其思想方法数下： 对非齐次方程 $$ \frac{d y}{d t}=a(t) y+b(t) $$ 而言，已经知道 $y(t)=c e^{\int a(t) d t}$ 是相应齐次方程的解，其中 $c$ 是常数．把常数 $c$ 变易为 $t$ 的待定函数 $c(t)$ ，令 $$ y(t)=c(t) e^{\int a(t) d t} $$ 微分得到 $$ \frac{d y}{d t}=\frac{d c(t)}{d t} e^{\int a(t) d t}+c(t) a(t) e^{\int a(t) d t} . $$ 若 $y(t)$ 是方程的解，则有 $$ \frac{d c(t)}{d t} e^{\int a(t) d t}+c(t) a(t) e^{\int a(t) d t}=a(t) c(t) e^{\int a(t) d t}+b(t) $$ 即 $$ \frac{d c(t)}{d t}=b(t) e^{-\int a(t) d t}, $$ 积分后得到 $$ c(t)=\int b(t) e^{-\int a(t) d t} d t+\bar{c} $$ 其中， $\bar{c}$ 为任意常数，从而可以得到方程 $$ \frac{d y}{d t}=a(t) y+b(t) $$ 的通解为 $$ y(t)=e^{\int a(t) d t}\left
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