最后更新: 2025-06-06 08:05 查看: 25 次反馈同步训练

一阶线性微分方程的求解

1．3．3 一阶线性微分方程的求解
对齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y$ ，已经知道它的通解为 $y(t)=c e^{\int a(t) d t}$ ，其中 $c$ 为任意常数．对于非齐次方程，由拓广的线性原理知它的求解可分为三步：
（1）先求与之相应的齐次方程的通解；
（2）再求非齐次方程的一个特解；
（3）齐次方程的通解加上非齐次方程的特解得到非齐次方程的通解．
由于齐次方程通解可求，求非齐次方程的一个特解就成为求解非齐次方程的关键。

考虑常系数非齐次方程

$$
\frac{d y}{d t}=-3 y+e^t
$$

与之相应的齐次方程为 $\frac{ d y}{d t}=-3 y$ ，它的通解是 $y(t)=c e ^{-3 t}$ ，其中 $c$ 为任意常数．下面想办法找非齐次方程的特解，把方程变形为

$$
\frac{d y}{d t}+3 y=e^t
$$

什么样的函数代入左端能得到右端的函数 $e ^t$ ，可以猜测诸如三角函数的 $\cos t, \sin t$是不行的，因为代入左端后得到的是三角函数的组合，不可能出现右端的 $e ^t$ 。但是已经知道 $c^t$ 的导数是它本身，代入左端后会出现 $e^t$ 项．猜测它会不会是非齐次方
程的解呢，不幸的是代入右端后得 $4 e ^t$ ，不是想要的 $e ^t$ ，但它们仅仅差了常数倍．这告诉我们， $e ^t$ 的某个常数倍可能会是一个特解。令 $y_p(t)=A e ^t$ ，代入 $\frac{ d y}{d t}+3 y$ 得

$$
\frac{d y_p(t)}{d t}+3 A e^t=A e^t+3 A e^t=4 A e^t
$$

为了 $y_p(t)$ 是一个解， $4 A e ^t$ 必须等于 $e ^t$ ，即 $A=\frac{1}{4}$ ．这样就得到方程 $\frac{ d y}{d t}=-3 y+ e ^t$ 的一个特解 $y_p(t)=\frac{1}{4} e ^t$ ，进而得到它的通解为

$$
y(t)=c e^{-3 t}+\frac{1}{4} e^t
$$

其中，$c$ 为任意常数．
在上面的特解猜测中，猜测特解 $y_p(t)=A e ^t$ 是因为方程

$$
\frac{d y}{d t}+3 y=e^t
$$

的非齐次项为指数函数 $e ^t$ ．下面来考虑一个非齐次项是三角函数的例子．

$$
\frac{d y}{d t}+3 y=\cos t
$$

相应的齐次方程仍为 $\frac{ d y}{d t}=-3 y$ ，它的通解是 $y(t)=c e ^{-3 t}$ ．尝试非齐次方程形如

$$
y_p(t)=A \cos t+B \sin t
$$

的特解，也许首先想的是形如 $A \cos t$ 或 $A \sin t$ 的特解，但代入不能满足要求．
为了决定常数 $A, B$ ，把 $y_p(t)$ 代入
$$
\frac{d y}{d t}+3 y=\cos t
$$

后可得

$$
-A \sin t+B \cos t+3 A \cos t+3 B \sin t=\cos t
$$

即

$$
(-A+3 B) \sin t+(3 A+B) \cos t=\cos t
$$

则 $A, B$ 需满足

$$
\left\{\begin{array}{l}
-A+3 B=0 \\
3 A+B=1
\end{array}\right.
$$

解得 $A=\frac{3}{10}, B=\frac{1}{10}$ ，因而

$$
y_p(t)=\frac{3}{10} \cos t+\frac{1}{10} \sin t
$$

是非齐次方程的解，所以方程 $\frac{ d y}{d t}+3 y=\cos t$ 的通解为

$$
y(t)=c e^{-3 t}+\frac{3}{10} \cos t+\frac{1}{10} \sin t
$$

其中，$c$ 是任意常数．具有不同初始条件的一些解如图1．5所示．
 ![图片](/uploads/2025-06/8d6e9d.jpg)
 
 上述求特解的方法一般称为猜测－检验法，但它限于非齐次项有诸如 $\cos t, \sin t$ ， $e ^t$ 等＂好的＂函数，猜测特解具有与之相似的形式。只有猜测的待定形式最终可确定其中的常数时，才可以找到特解．当待定的形式不对时，不能找到待定常数而得到特解．像在第二个例子中，如果猜测的待定特解形式为 $A \cos t$ 或 $A \sin t$ ，就不能确定常数 $A$ 而得到方程的特解．当猜测得不对时，就要尝试别的待定特解形式．

考虑非齐次方程

$$
\frac{d y}{d t}=-3 y+2

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