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常微分方程
第一篇 一阶微分方程
线性原理
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2025-06-06 08:02
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线性原理
1．3．2 线性原理 由导数的线性性质，易知如下的线性原理： 定理 1.1 （线性原理）若 $y_h(t)$ 是齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y$ 的一个解，则对任意常数 $k, k y_h(t)$ 也是方程的解． 实际上，齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y$ 也是变量分离方程，它的通解为 $y(t)=c e ^{\int a(t) d t}$ ，其中，$c$ 为任意常数． 例1．6 求解方程 $\frac{ d y}{d t}=(\cos t) y$ ． 解 此为齐次线性方程，其通解为 $y(t)=c e ^{\int \cos t d t}=c e ^{\sin t}$ ，其中 $c$ 为任意常数． 注记 定理1．1仅适用于齐次线性方程，对非线性方程不适用，如 $\frac{ d y}{d t}=y^2$ 有解 $y_1(t)=\frac{1}{1-t}$ ，但是 $y_2(t)=2 y(t)=\frac{2}{1-t}$ 不是方程的解。但对于非齐次线性方程有下述线性原理，称为拓广的线性原理： 定理 1.2 （拓广的线性原理）考虑非齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y+b(t)$ 和它相应的齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y$ ， （1）若 $y_h(t)$ 是齐次方程的解，而 $y_p(t)$ 是非齐次方程的任一解，则它们的和 $y_h(t)+y_p(t)$ 是非齐次方程的解； （2）若 $y_p(t), y_q(
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