最后更新: 2025-06-08 07:51 查看: 31 次反馈同步训练

方程组数值解的欧拉方法

2．4．3 方程组数值解的欧拉方法
本章前几节对一些具体的一阶二维微分方程组进行定性分析时，其关键是绘出相平面上的轨线及 $x(t)$ 图像与 $y(t)$ 图像．除了一些特例（如线段、圆、椭圆等）可以用解析方法证明外，一般需运用计算机进行数值模拟。本节介绍一阶二维微分方程组的欧拉方法，并简要说明数值逼近轨线、 $x(t)$ 数值逼近图像及 $y(t)$ 数值逼近图像的描绘方法．

1．欧拉方法的导出
讨论一阶二维自治微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=f(x, y) \\
\frac{d y}{d t}=g(x, y) \\
x\left(t_0\right)=x_0, y\left(t_0\right)=y_0
\end{array}\right.
$$

其向量形式为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d Y }{d t}= F ( Y ) \\
Y \left(t_0\right)= Y _0
\end{array}\right.
$$

其中， $Y =(x, y), \frac{ d Y }{ d t}=\left(\frac{ d x}{d t}, \frac{d y}{d t}\right)$ 且 $Y _0=\left(x_0, y_0\right), F ( Y )=(f(x, y), g(x, y))$ ．向量值函数 $F ( Y )$ 在方程组（2．51）的相平面上生成一个向量场，使得方程组（2．51）解的轨线上每点的切向量恰好等于向量场在该点的向量，或者说，轨线上动点 $(x(t), y(t))$的速度向量恰好为 $F (x(t), y(t))$ ．

下面由解的几何特征导出欧拉方法逼近程序．
在向量场中，给出初始点 $\left(x_0, y_0\right)$ ．首先取定时间 $t$ 的增长步长 $\Delta t$ ，因 $F \left(x_0, y_0\right)$为通过点 $\left(x_0, y_0\right)$ 轨线在该点的切向量，当时间 $t$ 从 $t_0$ 增加到 $t_0+\Delta t$ 时，动点

$\left(x_0, y_0\right)$ 以速度 $F \left(x_0, y_0\right)$ 运动到 $\left(x_1, y_1\right)$ ，于是有

$$
\left(x_1, y_1\right)=\left(x_0, y_0\right)+\Delta t F \left(x_0, y_0\right)
$$

或

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=x_0+f\left(x_0, y_0\right) \Delta t \\
y_1=y_0+g\left(x_0, y_0\right) \Delta t
\end{array}\right.
$$

将 $\left(x_1, y_1\right)$ 作为逼近轨线上的点，动点在该点的速度向量为 $F \left(x_1, y_1\right)$ ．逼近的第二步为

$$
\left(x_2, y_2\right)=\left(x_1, y_1\right)+\Delta t F \left(x_1, y_1\right)
$$

或者

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_2=x_1+f\left(x_1, y_1\right) \Delta t \\
y_2=y_1+g\left(x_1, y_1\right) \Delta t
\end{array}\right.
$$
如此下去，即可得到欧拉方法逼近程序

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{k+

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