最后更新: 2026-02-10 21:39 查看: 89 次纠错评论(0) 课件开VIP

方程组数值解：欧拉方法

## 2.4.3 方程组数值解的欧拉方法
本章前几节对一些具体的一阶二维微分方程组进行定性分析时，其关键是绘出相平面上的轨线及 $x(t)$ 图像与 $y(t)$ 图像．除了一些特例（如线段、圆、椭圆等）可以用解析方法证明外，一般需运用计算机进行数值模拟。本节介绍一阶二维微分方程组的欧拉方法，并简要说明数值逼近轨线、 $x(t)$ 数值逼近图像及 $y(t)$ 数值逼近图像的描绘方法．

### 1．欧拉方法的导出
讨论一阶二维自治微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=f(x, y) \\
\frac{d y}{d t}=g(x, y) \\
x\left(t_0\right)=x_0, y\left(t_0\right)=y_0
\end{array}\right. ...(2.50)
$$

其向量形式为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d Y }{d t}= F ( Y ) \\
Y \left(t_0\right)= Y _0
\end{array}\right. ...(2.51)
$$

其中， $Y =(x, y), \frac{ d Y }{ d t}=\left(\frac{ d x}{d t}, \frac{d y}{d t}\right)$ 且 $Y _0=\left(x_0, y_0\right), F ( Y )=(f(x, y), g(x, y))$ ．向量值函数 $F ( Y )$ 在方程组（2．51）的相平面上生成一个向量场，使得方程组（2．51）解的轨线上每点的切向量恰好等于向量场在该点的向量，或者说，轨线上动点 $(x(t), y(t))$的速度向量恰好为 $F (x(t), y(t))$ ．

**下面由解的几何特征导出欧拉方法逼近程序**．
在向量场中，给出初始点 $\left(x_0, y_0\right)$ ．首先取定时间 $t$ 的增长步长 $\Delta t$ ，因 $F \left(x_0, y_0\right)$为通过点 $\left(x_0, y_0\right)$ 轨线在该点的切向量，当时间 $t$ 从 $t_0$ 增加到 $t_0+\Delta t$ 时，动点

$\left(x_0, y_0\right)$ 以速度 $F \left(x_0, y_0\right)$ 运动到 $\left(x_1, y_1\right)$ ，于是有

$$
\left(x_1, y_1\right)=\left(x_0, y_0\right)+\Delta t F \left(x_0, y_0\right)
$$

或

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=x_0+f\left(x_0, y_0\right) \Delta t \\
y_1=y_0+g\left(x_0, y_0\right) \Delta t
\end{array}\right.
$$

将 $\left(x_1, y_1\right)$ 作为逼近轨线上的点，动点在该点的速度向量为 $F \left(x_1, y_1\right)$ ．逼近的第二步为

$$
\left(x_2, y_2\right)=\left(x_1, y_1\right)+\Delta t F \left(x_1, y_1\right)
$$

或者

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_2=x_1+f\left(x_1, y_1\right) \Delta t \\
y_2=y_1+g\left(x_1, y_1\right) \Delta t
\end{array}\right.
$$
如此下去，即可得到欧拉方法逼近程序

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{k+1}=x_k+f\left(x_k, y_k\right) \Delta t, \\
y_{k+1}=y_k+g\left(x_k, y_k\right) \Delta t, \quad k=0,1, \cdots, n .
\end{array}\right. ...(2.52)
$$

在具体应用中，步长 $\Delta t$ 应选得足够小。由欧拉方法逼近程序可以得到方程组的逼近轨线（图 2．23）、 $x(t)$ 逼近图像及 $y(t)$ 逼近图像．
 ![图片](/uploads/2025-06/bb62ff.jpg)
 
 ### 2. Van der Pol 方程的逼近轨线
讨论 Van der Pol 方程

$$
\frac{d^2 x}{d t^2}-\left(1-x^2\right) \frac{d x}{d t}+x=0 ...(2.53)
$$

为求其数值解，将其化为一阶方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=y \\
\frac{d y}{d t}=-x+\left(1-x^2\right) y
\end{array}\right. ...(2.54)
$$

首先，设初始条件 $\left(x_0, y_0\right)=(1,1)$ ，步长 $\Delta t=0.25, n=3$ ．为画出方程组 $(2.54)$ 的逼近轨线，计算逼近点（精确到小数点后两位）

$$
F (x, y)=\left(y,-x+\left(1-x^2\right) y\right)
$$

（1）$F(1,1)=(1,-1)$ ，

$$
\left(x_1, y_1\right)=(1,1)+0.25(1,-1)=(1.25,0.75)
$$

（2）$F(1.25,0.75)=(0.75,-1.67)$ ，

$$
\left(x_2, y_2\right)=(1.25,0.75)+0.25(0.75,-1.67)=(1.44,0.33)
$$

（3）$F(1.44,0.33)=(0.33,-1.79)$ ，

$$
\left(x_3, y_3\right)=(1.44,0.33)+0.25(0.33,-1.79)=(1.52,-0.16)
$$

下面在相平面上画出三段逼近轨线（图 2．24）．
 ![图片](/uploads/2025-06/858dcf.jpg)
  ![图片](/uploads/2025-06/ce6e31.jpg)
  
  下面根据表 2.1 分别绘出 10 段逼近轨线（图 2．25）．
  
   ![图片](/uploads/2025-06/28c86f.jpg)
  
  当然，为了使逼近解更接近真实解，需选足够小的步长及足够多的节点，进一步的内容将在后继课程计算方法中介绍。

最后，应用计算机数值模拟 Van der Pol 方程在相平面上的轨线、在 $t x$ 平面中的 $x(t)$ 图像以及在 $t y$ 平面上的 $y(t)$ 图像（图 2．26）．

![图片](/uploads/2025-06/423255.jpg)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：微分方程组的解析方法：半耦合方程组与猜测-检验法

下一篇：一阶二维线性微分方程组的一般理论

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)