最后更新: 2025-06-08 07:56 查看: 34 次反馈同步训练

一阶二维线性微分方程组模型

2.5 一阶二维线性微分方程组的一般理论

在许多实际应用问题中，往往导出线性微分方程组模型，而对于自治线性微分方程组可以导出解析解的公式。对一类非线性微分方程组可以应用线性化方法，通过研究对应的线性微分方程组的性质来进行定性分析（第4章）．因此，在本章中，从本节开始介绍一阶二维线性微分方程组及可化为此类方程组的二阶微分方程．在第5章介绍一阶 $n$ 维线性微分方程组。

2．5．1 一阶二维线性微分方程组模型
1．混联电路模型
考虑有电阻 $R_1, R_2$ ，电感 $L_1, L_2$ 及交流电源 $E$ 组成的混联电路（图 2．27），其中，$R_1=R, R_2=3 R$（单位：$\Omega$ ）；$L_1=L, L_2=2 L$（单位： H ）； $E =E \sin t$（单位：V）．回路 I 与回路 II 中的电流强度 $I_1=I_1(t)$ 与 $I_2=I_2(t)$（单位：A）为系统的状态变量．对于回路 I ，电感 $L_1$ 上的电压降为 $L \frac{d I_1}{d t}$ ，在电阻 $R_1$ 上的电压降为 $R\left(I_1-I_2\right)$ ；对于回路 II ，电感 $L_2$ 上的电压降为 $2 L \frac{d I_2}{d t}$ ，电阻 $R_1$ 上电压降为 $R\left(I_2-I_1\right)$ ，电阻 $R_2$ 上的电压降为 $3 R I_2$ ．由电学中基尔霍夫第二定律得到下列方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
L \frac{d I_1}{d t}+R\left(I_1-I_2\right)=E \sin t \\
2 L \frac{d I_2}{d t}+3 R I_2+R\left(I_2-I_1\right)=0
\end{array}\right.
$$

即

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d I_1}{d t}=-\frac{R}{L} I_1+\frac{R}{L} I_2+\frac{E}{L} \sin t \\
\frac{d I_2}{d t}=\frac{R}{2 L} I_1-\frac{2 R}{L} I_2
\end{array}\right.
$$

这是一个含有两个未知变量 $I_1$ 与 $I_2$ 的一阶线性微分方程组．

![图片](/uploads/2025-06/02d8c2.jpg)
 
 如果令

$$
\mathcal { I } =\binom{I_1}{I_2}, \quad \mathcal { A } =\left(\begin{array}{cc}
-\frac{R}{L} & \frac{R}{L} \\
\frac{R}{2 L} & -\frac{2 R}{L}
\end{array}\right), \quad \mathcal { F } =\binom{\frac{E}{L} \sin t}{0},
$$
 
则方程组可以写成状态方程形式．

$$
\frac{d \mathcal { I } }{d t}= \mathcal { A } \mathcal { I } + \mathcal { F } .
$$

设 $t=0$ 时， $I [0]=\left(I_{10}, I_{20}\right)$ ．记 $I _0=\left(I_{10}, I_{20}\right)$ ，则有初值 $I (0)=I_0$ ．

2．单摆振动模型

单摆是系于一根长度为 $l$ 的线上而质量为 $m$ 的质点 $B$ ．在重力 $m g$ 的作用下，该质点 $B$ 在垂直于地面的平面上沿圆周摆动，如图 2.28 所示．下面导出单摆的运动方程．

假设逆时针方向为计算单摆与铅垂线所成的角 $\varphi$ 的正方向．质点 $B$ 沿圆周的切向速度 $v$ 可以表示为

$$
v=l \frac{d \varphi}{d t}
$$

作用于质点 $B$ 的外力有线的拉力 $T$ 与重力 $m g$ ．将重力 $m g$分解为两个分力 $\overrightarrow{B C}$ 和 $\overrightarrow{B D}$ ．第一个分力 $\overrightarrow{B C}$ 沿半径 $O B$ 方向，与线的拉力 $T$ 相平衡，它不会引起质点 $B$ 的切向速度 $v$数值的改变．第二个分力 $\overrightarrow{B D}$ 沿圆周的切线方

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