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一阶二维线性微分方程组的一般理论

## 2.5 一阶二维线性微分方程组的一般理论

在许多实际应用问题中，往往导出线性微分方程组模型，而对于自治线性微分方程组可以导出解析解的公式。对一类非线性微分方程组可以应用线性化方法，通过研究对应的线性微分方程组的性质来进行定性分析（第4章）．因此，在本章中，从本节开始介绍一阶二维线性微分方程组及可化为此类方程组的二阶微分方程．在第5章介绍一阶 $n$ 维线性微分方程组。

## 2.5.1 一阶二维线性微分方程组模型
### 1．混联电路模型
考虑有电阻 $R_1, R_2$ ，电感 $L_1, L_2$ 及交流电源 $E$ 组成的混联电路（图 2．27），其中，$R_1=R, R_2=3 R$（单位：$\Omega$ ）；$L_1=L, L_2=2 L$（单位： H ）； $E =E \sin t$（单位：V）．回路 I 与回路 II 中的电流强度 $I_1=I_1(t)$ 与 $I_2=I_2(t)$（单位：A）为系统的状态变量．对于回路 I ，电感 $L_1$ 上的电压降为 $L \frac{d I_1}{d t}$ ，在电阻 $R_1$ 上的电压降为 $R\left(I_1-I_2\right)$ ；对于回路 II ，电感 $L_2$ 上的电压降为 $2 L \frac{d I_2}{d t}$ ，电阻 $R_1$ 上电压降为 $R\left(I_2-I_1\right)$ ，电阻 $R_2$ 上的电压降为 $3 R I_2$ ．由电学中基尔霍夫第二定律得到下列方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
L \frac{d I_1}{d t}+R\left(I_1-I_2\right)=E \sin t \\
2 L \frac{d I_2}{d t}+3 R I_2+R\left(I_2-I_1\right)=0
\end{array}\right.
$$

即

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d I_1}{d t}=-\frac{R}{L} I_1+\frac{R}{L} I_2+\frac{E}{L} \sin t \\
\frac{d I_2}{d t}=\frac{R}{2 L} I_1-\frac{2 R}{L} I_2
\end{array}\right. ...(2.55)
$$

这是一个含有两个未知变量 $I_1$ 与 $I_2$ 的一阶线性微分方程组．

![图片](/uploads/2025-06/02d8c2.jpg)
 
 如果令

$$
\mathcal { I } =\binom{I_1}{I_2}, \quad \mathcal { A } =\left(\begin{array}{cc}
-\frac{R}{L} & \frac{R}{L} \\
\frac{R}{2 L} & -\frac{2 R}{L}
\end{array}\right), \quad \mathcal { F } =\binom{\frac{E}{L} \sin t}{0},
$$
 
则方程组可以写成状态方程形式．

$$
\frac{d \mathcal { I } }{d t}= \mathcal { A } \mathcal { I } + \mathcal { F } . ...(2.56)
$$

设 $t=0$ 时， $I [0]=\left(I_{10}, I_{20}\right)$ ．记 $I _0=\left(I_{10}, I_{20}\right)$ ，则有初值 $I (0)=I_0$ ．

## 2.单摆振动模型

单摆是系于一根长度为 $l$ 的线上而质量为 $m$ 的质点 $B$ ．在重力 $m g$ 的作用下，该质点 $B$ 在垂直于地面的平面上沿圆周摆动，如图 2.28 所示．下面导出单摆的运动方程．

![图片](/uploads/2026-02/5b9c1f.jpg)

假设逆时针方向为计算单摆与铅垂线所成的角 $\varphi$ 的正方向．质点 $B$ 沿圆周的切向速度 $v$ 可以表示为

$$
v=l \frac{d \varphi}{d t} ...(2.57)
$$

作用于质点 $B$ 的外力有线的拉力 $T$ 与重力 $m g$ ．将重力 $m g$分解为两个分力 $\overrightarrow{B C}$ 和 $\overrightarrow{B D}$ ．第一个分力 $\overrightarrow{B C}$ 沿半径 $O B$ 方向，与线的拉力 $T$ 相平衡，它不会引起质点 $B$ 的切向速度 $v$数值的改变．第二个分力 $\overrightarrow{B D}$ 沿圆周的切线方向，从而引起切向速度 $v$ 的数值的变化．由于分力 $\overrightarrow{B D}$ 总是使质点 $B$ 向着平衡位置的方向运动，即当角 $\varphi$ 为正时，向减少 $\varphi$ 的方向运动；而当 $\varphi$ 为负时，向增大 $\varphi$ 的方向运动，所以 $\overrightarrow{B D}=-m g \sin \varphi$ ．由牛顿第二定律得到

$$
m \frac{d v}{d t}=-m g \sin \varphi ...(2.58)
$$

由（2．57）与（2．58）得到方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d \varphi}{d t}=\frac{1}{l} v \\
\frac{d v}{d t}=-g \sin \varphi
\end{array}\right.
$$

如果只研究单摆的微小摆动，此时 $\varphi$ 很小，可以用 $\varphi$ 近似 $\sin \varphi$ ，从而有一阶线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
\frac{d \varphi}{d t} & =\frac{1}{l} v \\
\frac{d v}{d t} & =-g \varphi
\end{aligned}\right. ...(2.59)
$$

将第一个方程中的 $v$ 代入第二个方程得二阶微分方程

$$
\frac{d^2 \varphi}{d t^2}+\frac{g}{l} \varphi=0 ...(2.60)
$$
假如单摆是在黏性介质中摆动，则沿着单摆的运动方向就存在着一个与切向速度方向相反、大小成比例的阻力。设阻力系数为 $\mu$ ，即阻力为 $-\mu v$ 。如果沿着摆的运动方向有一个外力 $F(t)$ 作用于它，则由牛顿第二运动定律有

$$
m \frac{d v}{d t}=-m g \varphi-\mu v+F(t) ...(2.61)
$$

由（2．57）与（2．61）得到非齐次一阶二维线性微分方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
\frac{d \varphi}{d t} & =\frac{1}{l} v \\
\frac{d v}{d t} & =-g \varphi-\frac{\mu}{m} v+\frac{1}{m} F(t)
\end{aligned}\right. ...(2.62)
$$

将第一个方程中的 $v$ 代入第二个方程，则得非齐次二阶线性微分方程

$$
\frac{d^2 \varphi}{d t^2}+\frac{\mu}{m} \frac{d \varphi}{d t}+\frac{g}{l} \varphi=\frac{1}{m l} F(t) ...(2.63)
$$

在线性方程组中，设

$$
Y =\binom{\varphi}{v}, \quad A =\left(\begin{array}{cc}
0 & \frac{1}{l} \\
-g & -\frac{\mu}{m}
\end{array}\right), \quad F (t)=\binom{0}{\frac{1}{m l} F(t)}
$$

则得到系统的状态方程为

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y + F . ...(2.64)
$$

假设初始时刻初始夹角为 $\varphi_0$ ，而质点 $B$ 的初始切向速度为 $v_0$ ，即

$$
\varphi(0)=\varphi_0, \quad v(0)=v_0
$$

令 $\mathcal { Y } _0=\left(\varphi_0, v_0\right)$ ，则初始条件为

$$
Y (0)= Y _0 ...(2.65)
$$

## 2.5.2 一阶二维齐次线性微分方程组的通解
本节主要讨论如下形式的微分方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=a x+b y \\
\frac{d y}{d t}=c x+d y
\end{array}\right. ...(2.66)
$$

其中 $a, b, c, d$ 为常数．引进向量与矩阵记号

$$
\mathcal { Y } =\binom{x}{y}, \quad \mathcal { A } =\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right), \quad \frac{d \mathcal { Y } }{d t}=\binom{\frac{d x}{d t}}{\frac{d y}{d t}}
$$

则由矩阵与向量的乘法，（2．66）化为

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y ...(2.67)
$$

称为**一阶二维常系数齐次线性微分方程组**，也称为**自治一阶二维线性方程组**．

线性方程组是前几节讨论的一阶二维微分方程组的特殊情形。同样可以应用相平面、向量场、方向场、轨线及图像等方法进行定性分析，但是由于线性方程组具有相对简单的代数结构，可以期望仅从系数矩阵就可以＂读出＂解的行为信息，甚至可以求出通解．

**线性方程的最重要性质是叠加原理，又称为线性原理**．

**定理 2.1 （线性原理）** 设 $Y _1(t)$ 与 $Y _2(t)$ 为线性方程组（2．67）的解，则它们的线性组合 $k_1 Y _1(t)+k_2 Y _2(t)$ 也为线性方程组 $(2.67)$ 的解，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数。

证明 设 $Y _1=\left(x_1, y_1\right), Y _2=\left(x_2, y_2\right)$ 为线性方程组（2．67）的解，则

$$
\frac{d Y _1}{d t}=\binom{\frac{d x_1}{d t}}{\frac{d y_1}{d t}}=\binom{a x_1+b y_1}{c x_1+d y_1}=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)\binom{x_1}{y_1}= A Y _1,
$$

并且

$$
\frac{d Y _2}{d t}=\binom{\frac{d x_2}{d t}}{\frac{d y_2}{d t}}=\binom{a x_2+b y_2}{c x_2+d y_2}=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)\binom{x_2}{y_2}= A Y _2
$$

由向量值函数求导公式及矩阵性质有

$$
\begin{aligned}
\frac{d\left(k_1 Y _1+k_2 Y _2\right)}{d t} & =\frac{d}{d t}\binom{k_1 x_1+k_2 x_2}{k_1 y_1+k_2 y_2}=\binom{\frac{d\left(k_1 x_1+k_2 x_2\right)}{d t}}{\frac{d\left(k_1 y_1+k_2 y_2\right)}{d t}} \\
& =k_1 \frac{d}{d t}\binom{x_1}{y_1}+k_2 \frac{d}{d t}\binom{x_2}{y_2} \\
& =k_1 \mathcal { A } \mathcal { Y } _1+k_2 \mathcal { A } \mathcal { Y } _2= \mathcal { A } \left(k_1 \mathcal { Y } _1+k_2 \mathcal { Y } _2\right)
\end{aligned}
$$

因此，$k_1 Y _1+k_2 Y _2$ 为方程组（2．67）的解．
定理 2.1 表明，线性方程组（2．67）的解集按通常的加法与数乘构成线性空间．将在第 5 章证明此线性空间的维数恰好与线性方程组中因变量的个数相同．因此，方程组（2．67）解空间的维数为 2 ．

设 $Y _0=\left(x_0, y_0\right)$ 为平面上的给定点，称

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad Y (0)= Y _0
$$

为线性方程组的初值问题．

`例`求解初值问题

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
0 & -4
\end{array}\right) Y , \quad Y (0)=\binom{1}{0} ...(2.68)
$$

解 将微分方程组写成如下分量形式：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=2 x+3 y \\
\frac{d y}{d t}=-4 y \\
x(0)=1, y(0)=0
\end{array}\right.
$$

这是一个半耦合方程组，由第二个方程得

$$
y(t)=k_2 e^{-4 t} ...(2.69)
$$

代入第一个方程得非齐次微分方程

$$
\frac{d x}{d t}=2 x+3 k_2 e^{-4 t} ...(2.70)
$$

设方程（2．70）的一个特解 $x_p(t)=\alpha e ^{-4 t}$ ，其中 $\alpha$ 为待定系数．将 $x_p(t)=\alpha e ^{-4 t}$ 代入（2．70）得
$$
-4 \alpha e^{-4 t}=2 \alpha e^{-4 t}+3 k_2 e^{-4 t}
$$

经过整理得

$$
-6 \alpha e^{-4 t}=3 k_2 e^{-4 t}
$$

因 $e ^{-4 t} \neq 0$ ，由此解得 $\alpha=-\frac{k_2}{2}$ ，即

$$
x_p(t)=-\frac{k_2}{2} e^{-4 t}
$$

再由齐次方程 $\frac{ d x}{d t}=2 x$ 得通解

$$
x_h(t)=k_1 e^{2 t}
$$

从而由拓广的线性原理（见第1章）可知

$$
x(t)=x_p(t)+x_h(t)=k_1 e^{2 t}-\frac{k_2}{2} e^{-4 t} ...(2.71)
$$

为微分方程（2．70）的通解．

由 $y(0)=0$ 得 $k_2=0$ ，代入（2．71）得 $x(t)=k_1 e ^{2 t}$ ．再由 $x(0)=1$ 得 $k_1=1$ ．于是

$$
Y (t)=\binom{e^{2 t}}{0}
$$

为初值问题（2．68）的解．

`例`求解初值问题

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
0 & -4
\end{array}\right) Y , \quad Y (0)=\binom{-1}{2} .
$$

解 设 $Y =(x, y)$ ，由式（2．69）及 $y(0)=2$ 得 $k_2=2$ ，即 $y(t)=2 e ^{-4 t}$ ．
将 $k_2=2$ 代入（2．71）得

$$
x(t)=k_1 e^{2 t}-e^{-4 t}
$$

再由 $x(0)=-1$ 得 $k_1=0$ ，于是 $x(t)=- e ^{-4 t}$ ．因此，

$$
Y _2(t)=\binom{-e^{-4 t}}{2 e^{-4 t}}
$$

为初值问题的解．
可直接验证 $Y _1(t)=\left( e ^{2 t}, 0\right)$ 及 $Y _2(t)=\left(- e ^{-4 t}, 2 e ^{-4 t}\right)$ 为线性方程组

$$
\frac{d \mathcal { Y } }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
0 & -4
\end{array}\right) \mathcal { Y } ...(2.72)
$$

的解．由线性原理可知 $Y _3(t)= Y _1(t)+ Y _2(t)=\left(e^{2 t}-e^{-4 t}, 2 e ^{-4 t}\right)$ 也为此方程组的解．在相平面上，对应的轨线如图 2.29 所示．

![图片](/uploads/2025-06/4ce45b.jpg)
 
 由上面的相图可见， $Y _1(t)$ 与 $Y _2(t)$ 对应的轨线均为半直线．在图 2.30 中将指明这两条轨线是极特殊的几何现象，它们由方程组中矩阵的代数结构所决定．
  
 一般来说，一阶二维线性方程组解的轨线并非一定为半直线，如图 2.29 中 $Y _3(t)=$ $Y _1(t)+ Y _2(t)$ 的轨线．
 
 上面已经求出线性方程组（2．72）的两个解 $Y _1(t)=\left( e ^{2 t}, 0\right)$ 及 $Y _2(t)=\left(- e ^{-4 t}\right.$ ， $\left.2 e^{-4 t}\right)$ ．其初值 $Y _1(0)=(1,0)$ 与 $Y _2(0)=(-1,2)$为平面上两个线性无关的向量．

如何利用 $Y _1(t)$ 与 $Y _2(t)$ ，应用线性原理求出初值问题

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
0 & -4
\end{array}\right) Y , \quad Y (0)=\binom{2}{-3}
$$

的解？显然， $Y _1(t)$ 与 $Y _2(t)$ 均非上述初值问题的解．采用如下步骤：
 ![图片](/uploads/2025-06/00f1f5.jpg)
 
 步骤 1 寻找实数 $k_1$ 与 $k_2$ ，使得

$$
k_1\binom{1}{0}+k_2\binom{-1}{2}=\binom{2}{-3}
$$

这等价于求解代数方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
k_1-k_2=2 \\
2 k_2=-3
\end{array}\right.
$$

由此得 $k_2=-\frac{3}{2}, k_1=\frac{1}{2}$ ．
步骤 2 令

$$
\begin{aligned}
Y (t) & =\frac{1}{2} Y _1(t)-\frac{3}{2} Y _2(t) \\
& =\frac{1}{2}\binom{e^{2 t}}{0}-\frac{3}{2}\binom{-e^{-4 t}}{2 e^{-4 t}} \\
& =\binom{\frac{1}{2} e^{2 t}+\frac{3}{2} e^{-4 t}}{-3 e^{-4 t}}
\end{aligned}
$$

由线性原理， $Y (t)$ 为线性方程组的解且

$$
Y (0)=\frac{1}{2} Y _1(0)-\frac{3}{2} Y (0)=\binom{2}{-3}
$$

因此， $Y (t)$ 为初值问题（2．73）的解．

**定理2.2** 假设 $Y _1(t)$ 与 $Y _2(t)$ 为线性方程组 $\frac{ d Y }{ d t}= A Y$ 的两个解，如果

初始向量 $Y _1(0)$ 与 $Y _2(0)$ 线性无关，那么存在唯一实数 $k_1$ 与唯一实数 $k_2$ ，使得 $Y (t)=k_1 Y _1(t)+k_2 Y _2(t)$ 为初值问题

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad Y (0)=\binom{x_0}{y_0} ...(2.74)
$$

的唯一解，其中 $\left(x_0, y_0\right)$ 为平面上任一点．
证明 设 $Y _1(0)=\left(x_1, y_1\right), Y _2(0)=\left(x_2, y_2\right)$ 。令 $k_1, k_2$ 为待定系数，满足

$$
k_1\binom{x_1}{y_1}+k_2\binom{x_2}{y_2}=\binom{x_0}{y_0}
$$

则有

$$
\left(\begin{array}{cc}
x_1 & x_2 \\
y_1 & y_2
\end{array}\right)\binom{k_1}{k_2}=\binom{x_0}{y_0} ...(2.75)
$$

由于 $\left(x_1, y_1\right)$ 与 $\left(x_2, y_2\right)$ 线性无关，由线性代数知识，则方程组（2．75）有唯一一组解 $\left(k_1, k_2\right)$ ．令 $\mathcal { Y } _3(t)=k_1 \mathcal { Y } _1(t)+k_2 \mathcal { Y } _2(t)$ ，则一定有

$$
Y _3(0)=k_1\binom{x_1}{y_1}+k_2\binom{x_2}{y_2}=\binom{x_0}{y_0}
$$

再由线性原理， $Y _3(t)$ 为初值问题（2．74）的解．又设 $Y (t)$ 为初值问题（2．74）的任一解，由解的存在唯一性定理一定有

$$
Y (t)=k_1 Y _1(t)+k_2 Y _2(t)
$$

**定义2.2** 设 $Y _1(t)$ 与 $Y _2(t)$ 为方程组 $(2.67)$ 的两个解，如果 $Y _1(0)$ 与 $Y _2(0)$为平面上线性无关的向量，则

$$
Y (t)=k_1 Y _1(t)+k_2 Y _2(t)
$$

称为方程组（2．67）的通解．
由定理 2.2 可知，为求方程组（2．67）的通解，其关键是求得两个初始向量线性无关的特殊解。对于常系数线性方程组来说，这可归结为其系数矩阵的特征值与特征向量的计算（见 2．5．3 小节、2．6．1 小节～2．6．3 小节）。

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