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一阶二维线性微分方程组模型

2.5 一阶二维线性微分方程组的一般理论

在许多实际应用问题中，往往导出线性微分方程组模型，而对于自治线性微分方程组可以导出解析解的公式。对一类非线性微分方程组可以应用线性化方法，通过研究对应的线性微分方程组的性质来进行定性分析（第4章）．因此，在本章中，从本节开始介绍一阶二维线性微分方程组及可化为此类方程组的二阶微分方程．在第5章介绍一阶 $n$ 维线性微分方程组。

2．5．1 一阶二维线性微分方程组模型
1．混联电路模型
考虑有电阻 $R_1, R_2$ ，电感 $L_1, L_2$ 及交流电源 $E$ 组成的混联电路（图 2．27），其中，$R_1=R, R_2=3 R$（单位：$\Omega$ ）；$L_1=L, L_2=2 L$（单位： H ）； $E =E \sin t$（单位：V）．回路 I 与回路 II 中的电流强度 $I_1=I_1(t)$ 与 $I_2=I_2(t)$（单位：A）为系统的状态变量．对于回路 I ，电感 $L_1$ 上的电压降为 $L \frac{d I_1}{d t}$ ，在电阻 $R_1$ 上的电压降为 $R\left(I_1-I_2\right)$ ；对于回路 II ，电感 $L_2$ 上的电压降为 $2 L \frac{d I_2}{d t}$ ，电阻 $R_1$ 上电压降为 $R\left(I_2-I_1\right)$ ，电阻 $R_2$ 上的电压降为 $3 R I_2$ ．由电学中基尔霍夫第二定律得到下列方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
L \frac{d I_1}{d t}+R\left(I_1-I_2\right)=E \sin t \\
2 L \frac{d I_2}{d t}+3 R I_2+R\left(I_2-I_1\right)=0
\end{array}\right.
$$

即

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d I_1}{d t}=-\frac{R}{L} I_1+\frac{R}{L} I_2+\frac{E}{L} \sin t \\
\frac{d I_2}{d t}=\frac{R}{2 L} I_1-\frac{2 R}{L} I_2
\end{array}\right.
$$

这是一个含有两个未知变量 $I_1$ 与 $I_2$ 的一阶线性微分方程组．

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【高等数学】n阶常系数齐次线性微分方程的解法

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