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一阶二维齐次线性微分方程组的通解

2．5．2 一阶二维齐次线性微分方程组的通解
本节主要讨论如下形式的微分方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=a x+b y \\
\frac{d y}{d t}=c x+d y
\end{array}\right.
$$

其中 $a, b, c, d$ 为常数．引进向量与矩阵记号

$$
\mathcal { Y } =\binom{x}{y}, \quad \mathcal { A } =\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right), \quad \frac{d \mathcal { Y } }{d t}=\binom{\frac{d x}{d t}}{\frac{d y}{d t}}
$$

则由矩阵与向量的乘法，（2．66）化为

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y
$$

称为一阶二维常系数齐次线性微分方程组，也称为自治一阶二维线性方程组．线性方程组是前几节讨论的一阶二维微分方程组的特殊情形。同样可以应用相平面、向量场、方向场、轨线及图像等方法进行定性分析，但是由于线性方程组具有相对简单的代数结构，可以期望仅从系数矩阵就可以＂读出＂解的行为信息，甚至可以求出通解．

线性方程的最重要性质是叠加原理，又称为线性原理．
定理 2.1 （线性原理）设 $Y _1(t)$ 与 $Y _2(t)$ 为线性方程组（2．67）的解，则它们的线性组合 $k_1 Y _1(t)+k_2 Y _2(t)$ 也为线性方程组 $(2.67)$ 的解，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数。

证明 设 $Y _1=\left(x_1, y_1\right), Y _2=\left(x_2, y_2\right)$ 为线性方程组（2．67）的解，则

$$
\frac{d Y _1}{d t}=\binom{\frac{d x_1}{d t}}{\frac{d y_1}{d t}}=\binom{a x_1+b y_1}{c x_1+d y_1}=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)\binom{x_1}{y_1}= A Y _1,
$$

并且

$$
\frac{d Y _2}{d t}=\binom{\frac{d x_2}{d t}}{\frac{d y_2}{d t}}=\binom{a x_2+b y_2}{c x_2+d y_2}=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)\binom{x_2}{y_2}= A Y _2
$$

由向量值函数求导公式及矩阵性质有

$$
\begin{aligned}
\frac{d\left(k_1 Y _1+k_2 Y _2\right)}{d t} & =\frac{d}{d t}\binom{k_1 x_1+k_2 x_2}{k_1 y_1+k_2 y_2}=\binom{\frac{d\left(k_1 x_1+k_2 x_2\right)}{d t}}{\frac{d\left(k_1 y_1+k_2 y_2\right)}{d t}} \\
& =k_1 \frac{d}{d t}\binom{x_1}{y_1}+k_2 \frac{d}{d t}\binom{x_2}{y_2} \\
& =k_1 \mathcal { A } \mathcal { Y } _1+k_2 \mathcal { A } \mathcal { Y } _2= \mathcal { A } \left(k_1 \mathcal { Y } _1+k_2 \mathcal { Y } _2\right)
\end{aligned}
$$

因此，$k_1 Y _1+k_2 Y _2$ 为方程组（2．67）的解．
定理 2.1 表明，线性方程组（2．67）的解集按通常的加法与数乘构成线性空间．将在第 5 章证明此线性空间的维数恰好与线性方程组中因变量的个数相同．因此，方程组（2．67）解空间的维数为 2 ．

设 $Y _0=\left(x_0, y_0\right)$ 为平面上的给定点，称

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad Y (0)= Y _0
$$

为线性方程组的初值问题．
例 2.5 求解初值问题

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
0 & -4
\end{array}\right) Y , \quad Y (0)=\binom{1}{0}
$$

解 将微分方程组写成如下分量形式：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=2 x+3 y \\
\frac{d y}{d t}=-4 y \\
x(0)=1, y(0)=0
\end{array}\right.
$$

这是一个半耦合方程组，由第二个方程得

$$
y(t)=k_2 e^{-4 t}
$$

代入第一个方程得非齐次微分方程

$$
\frac{d x}{d t}=2 x+3 k_2 e^{-4 t}
$$

设方程（2．70）的一个特解 $x_p(t)=\alpha e ^{-4 t}$ ，其中 $\alpha$ 为待定系数．将 $x_p(t)=\alpha e ^{-4 t}$ 代入（2．70）得
$$
-4 \alpha e^{-4 t}=2 \alpha e^{-4 t}+3 k_2 e^{-4 t}
$$

经过整理得

$$
-6 \alpha e^{-4 t}=3 k_2 e^{-4 t}
$$

因 $e ^{-4 t} \neq 0$ ，由此解得 $\alpha=-\frac{k_2}{2}$ ，即

$$
x_p(t)=-\frac{k_2}{2} e^{-4 t}
$$

再由齐次方程 $\frac{ d x}{d t}=2 x$ 得通解

$$
x_h(t)=k_1 e^{2 t}
$$

从而由拓广的线性原理（见第1章）可知

$$
x(t)=x_p(t)+x_h(t)=k_1 e^{2 t}-\frac{k_2}{2} e^{-4 t}
$$

为微分方程（2．70）的通解．

由 $y(0)=0$ 得 $k_2=0$ ，代入（2．71）得 $x(t)=k_1 e ^{2 t}$ ．再由 $x(0)=1$ 得 $k_1=1$ ．于是

$$
Y (t)=\binom{e^{2 t}}{0}
$$

为初值问题（2．68）的解．
例 2.6 求解初值问题

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
0 & -4
\end{array}\right) Y , \quad Y (0)=\binom{-1}{2} .
$$

解 设 $Y =(x, y)$ ，由式（2．69）及 $y(0)=2$ 得 $k_2=2$ ，即 $y(t)=2 e ^{-4 t}$ ．
将 $k_2=2$ 代入（2．71）得

$$
x(t)=k_1 e^{2 t}-e^{-4 t}
$$

再由 $x(0)=-1$ 得 $k_1=0$ ，于是 $x(t)=- e ^{-4 t}$ ．因此，

$$
Y _2(t)=\binom{-e^{-4 t}}{2 e^{-4 t}}
$$

为初值问题的解．
可直接验证 $Y _1(t)=\left( e ^{2 t}, 0\ri

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