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一阶二维齐次线性微分方程组的平衡解与直线解

2．5．3 一阶二维齐次线性微分方程组的平衡解与直线解
讨论一阶二维线性方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad A =\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right), \quad Y =\binom{x}{y}
$$

首先研究方程组最简单的解
$\qquad$平衡解．令

$$
A Y =\binom{0}{0}
$$

则代数方程组 $(2.77)$ 的解 $(\bar{x}, \bar{y})$ 称为线性方程组 $(2.76)$ 的平衡点，而 $Y (t)=(\bar{x}, \bar{y})$称为该方程组的平衡解．由线性代数知识可知有如下定理：

定理 2.3 如果 $A$ 为非奇异矩阵，即 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A \neq 0$ ，则方程组 $d Y / d t= A Y$ 只有原点 $(0,0)$ 为平衡点；反之，如果说方程组有非原点的平衡点，则 $\operatorname{det} \mathcal { A } =0$ ．

证明 由线性代数知识立得．
其次研究方程组 $\frac{ d Y }{ d t}= A Y$ 的次简单解 一 直线解．
（1）直线解的几何刻画．在 $x y$ 相平面上，画出线性方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad A =\left(\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
0 & -4
\end{array}\right)
$$

的方向场，如图2．31所示．在这个方向场中有两条特殊的直线，一条为 $x$ 轴，其上每点的向量均远离原点；而另一条为从第二象限到第四象限的直线，其上每一点的向量均指向原点。因为方程组（2．78）的每条轨线均与方向场中的向量相切，所以初始点在正 $x$ 轴上的轨线，是从原点移向右方，而初始点在负 $x$ 轴上的轨线，是从原点移向左方．同样，初始点在第二象限的那条直线上，其轨线从远方指向原点，而初始点在第四象限的那条直线上的轨线，从远方移向原点，由这个方向场可以看出，该方程组确有解的轨线位于直线之上．在例 2.5 和例 2.6 中，求得两个解为

$$
Y _1(t)=\binom{e^{2 t}}{0}=e^{2 t}\binom{1}{0}, \quad Y _2(t)=\binom{-e^{-4 t}}{2 e^{-4 t}}=e^{-4 t}\binom{-1}{2} .
$$

$Y _1(t)$ 对应的轨线在正 $x$ 轴上过点 $(1,0)$ ，从原点 $(0,0)$ 移向远方，并且当 $t \rightarrow-\infty$时， $Y _1(t) \rightarrow(0,0)$ ，而当 $t \rightarrow+\infty$ 时， $Y _1(t)$ 趋于无穷．
 ![图片](/uploads/2025-06/f56c4f.jpg)
 
 $Y _2(t)$ 对应的轨线在第二象限过点 $(-1,2)$ 的直线上，从远方移向原点 $(0,0)$ ，并且当 $t \rightarrow+\infty$ 时， $Y _2(t) \rightarrow(0,0)$ ．
（2）直线解的代数刻画，假设线性方程组 $d \mathcal { Y } / d t= \mathcal { A } \mathcal { Y }$ 具有直线解（线性方程组并不全具有直线解），由直线解的几何刻画可知，如果 $V =(x, y)$ 在直线解的轨线上，则向量场在 $V =(x, y)$ 处的向量 $\mathcal { A } V$ 恰好与向量 $V =(x, y)$ 同向或反向．因此，等价地，存在 $\lambda$ 满足

$$
A V =\lambda V
$$

代数方程组（2．79）是求 $d Y / d t= A Y$ 的直线解的关键．事实上，如若求形如 $Y (t)=$ $e ^{\lambda t} V ( V =(x, y) \neq(0,0))$ 的解，其中常数 $\lambda$ 和向量 $V$ 待定．将 $\mathcal { Y } (t)= e ^{\lambda t} V$ 代入 $d Y / d t= A Y$ 得到

$$
\lambda e^{\lambda t} V = \mathcal { A } e^{\lambda t} V
$$

上式变为代数方程（2．79），换成形式．

$$
(\lambda I - \mathcal { A } ) V =0 .
$$

因此， $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 为 $d Y / d t= A Y$ 的解的充要条件是 $\lambda, V$ 满足代数方程组（2．80）．根据线性代数的知识，方程组有非零解 $V =(x, y)$ 的充要条件就是 $\lambda$ 满足方程

$$
\operatorname{det}(\lambda I - \mathcal { A } )=0
$$

由于

$$
\lambda I =\left(\begin{array}{cc}
\lambda & 0 \\
0 & \lambda
\end{array}\right), \quad \mathcal { A } =\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)
$$

即有

$$
\operatorname{det}(\lambda I - \mathcal { A } )=\lambda^2-(a+d) \lambda+(a d-b c)
$$

它称为 $\mathcal { A }$ 的特征多项式，（2．81）称为特征方程．使方程组（2．80）具有非零解的常数（实数或复数）$\lambda$ 称为矩阵 $A$ 的一个特征值．方程组（2．80）对应于特征值 $\lambda$ 的非零解 $V$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量．

定理2．4 假设矩阵 $A$ 具有特征值 $\lambda$ 且 $V$ 为 $\mathcal { A }$ 的对应 $\lambda$ 的特征向量，则
（1） $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 为方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y
$$

的解；
（2）当 $\lambda=0$ 时， $Y (t)=V$ 为方程组（2．82）的平衡解；
（3）当 $\lambda$ 为非零实数时， $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 为方程组（2．82）的直线解；
（4）如果 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$ 为 $A$ 的不同的非零实特征值，$V_1$ 与 $V_2$ 为对应的特征向量，则方程组（2．82）的两个直线解 $Y _1(t)= e ^{\lambda_1 t} V_1$ 与 $Y _2(t)= e ^{\lambda_2 t} V_2$ 线性无关，并且

$$
Y (t)=k_1 e^{\lambda_1 t} V_1+k_2 e^{\lambda_2 t} V_2
$$

为方程组的通解．
证明（1）因为 $\mathcal { A } V =\lambda V$ ，若令 $V =(x, y)$ ，则有

$$
Y (t)=e^{\lambda t} V =\binom{e^{\lambda t} x}{e^{\lambda t} y}
$$

于是

$$
\frac{d Y }{d t}=\frac{d}{d t}\binom{e^{\lambda t} x}{e^{\lambda t} y}=\binom{\lambda e^{\lambda t} x}{\lambda e^{\lambda t} y}=\lambda Y ,
$$

因此， $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 为 $d \mathcal {

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