最后更新: 2026-02-10 21:58 查看: 78 次纠错评论(0) 课件开VIP

一阶二维齐次线性微分方程组的平衡解与直线解

## 2.5.3 一阶二维齐次线性微分方程组的平衡解与直线解
讨论一阶二维线性方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad A =\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right), \quad Y =\binom{x}{y} ...(2.76)
$$

首先研究方程组最简单的解-**平衡解**．令

$$
A Y =\binom{0}{0} ...(2.77)
$$

则代数方程组 $(2.77)$ 的解 $(\bar{x}, \bar{y})$ 称为线性方程组 $(2.76)$ 的平衡点，而 $Y (t)=(\bar{x}, \bar{y})$称为该方程组的平衡解．由线性代数知识可知有如下定理：

**定理2.3** 如果 $A$ 为非奇异矩阵，即 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A \neq 0$ ，则方程组 $d Y / d t= A Y$ 只有原点 $(0,0)$ 为平衡点；反之，如果说方程组有非原点的平衡点，则 $\operatorname{det} \mathcal { A } =0$ ．

证明 由线性代数知识立得．
其次研究方程组 $\frac{ d Y }{ d t}= A Y$ 的次简单解 一 直线解．
（1）直线解的几何刻画．在 $x y$ 相平面上，画出线性方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad A =\left(\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
0 & -4
\end{array}\right) ...(2.78)
$$

的方向场，如图2．31所示．在这个方向场中有两条特殊的直线，一条为 $x$ 轴，其上每点的向量均远离原点；而另一条为从第二象限到第四象限的直线，其上每一点的向量均指向原点。因为方程组（2．78）的每条轨线均与方向场中的向量相切，所以初始点在正 $x$ 轴上的轨线，是从原点移向右方，而初始点在负 $x$ 轴上的轨线，是从原点移向左方．同样，初始点在第二象限的那条直线上，其轨线从远方指向原点，而初始点在第四象限的那条直线上的轨线，从远方移向原点，由这个方向场可以看出，该方程组确有解的轨线位于直线之上．在例 2.5 和例 2.6 中，求得两个解为

$$
Y _1(t)=\binom{e^{2 t}}{0}=e^{2 t}\binom{1}{0}, \quad Y _2(t)=\binom{-e^{-4 t}}{2 e^{-4 t}}=e^{-4 t}\binom{-1}{2} .
$$

$Y _1(t)$ 对应的轨线在正 $x$ 轴上过点 $(1,0)$ ，从原点 $(0,0)$ 移向远方，并且当 $t \rightarrow-\infty$时， $Y _1(t) \rightarrow(0,0)$ ，而当 $t \rightarrow+\infty$ 时， $Y _1(t)$ 趋于无穷．
 ![图片](/uploads/2025-06/f56c4f.jpg)
 
 $Y _2(t)$ 对应的轨线在第二象限过点 $(-1,2)$ 的直线上，从远方移向原点 $(0,0)$ ，并且当 $t \rightarrow+\infty$ 时， $Y _2(t) \rightarrow(0,0)$ ．
（2）直线解的代数刻画，假设线性方程组 $d \mathcal { Y } / d t= \mathcal { A } \mathcal { Y }$ 具有直线解（线性方程组并不全具有直线解），由直线解的几何刻画可知，如果 $V =(x, y)$ 在直线解的轨线上，则向量场在 $V =(x, y)$ 处的向量 $\mathcal { A } V$ 恰好与向量 $V =(x, y)$ 同向或反向．因此，等价地，存在 $\lambda$ 满足

$$
A V =\lambda V ...(2.79)
$$

代数方程组（2．79）是求 $d Y / d t= A Y$ 的直线解的关键．事实上，如若求形如 $Y (t)=$ $e ^{\lambda t} V ( V =(x, y) \neq(0,0))$ 的解，其中常数 $\lambda$ 和向量 $V$ 待定．将 $\mathcal { Y } (t)= e ^{\lambda t} V$ 代入 $d Y / d t= A Y$ 得到

$$
\lambda e^{\lambda t} V = \mathcal { A } e^{\lambda t} V 
$$

上式变为代数方程（2．79），换成形式．

$$
(\lambda I - \mathcal { A } ) V =0  ...(2.80)
$$

因此， $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 为 $d Y / d t= A Y$ 的解的充要条件是 $\lambda, V$ 满足代数方程组（2．80）．根据线性代数的知识，方程组有非零解 $V =(x, y)$ 的充要条件就是 $\lambda$ 满足方程

$$
\operatorname{det}(\lambda I - \mathcal { A } )=0 ...(2.81)
$$

由于

$$
\lambda I =\left(\begin{array}{cc}
\lambda & 0 \\
0 & \lambda
\end{array}\right), \quad \mathcal { A } =\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)
$$

即有

$$
\operatorname{det}(\lambda I - \mathcal { A } )=\lambda^2-(a+d) \lambda+(a d-b c)
$$

它称为 $\mathcal { A }$ 的特征多项式，（2．81）称为特征方程．使方程组（2．80）具有非零解的常数（实数或复数）$\lambda$ 称为矩阵 $A$ 的一个特征值．方程组（2．80）对应于特征值 $\lambda$ 的非零解 $V$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量．

**定理2.4** 假设矩阵 $A$ 具有特征值 $\lambda$ 且 $V$ 为 $\mathcal { A }$ 的对应 $\lambda$ 的特征向量，则
（1） $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 为方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y
$$

的解；
（2）当 $\lambda=0$ 时， $Y (t)=V$ 为方程组（2．82）的平衡解；
（3）当 $\lambda$ 为非零实数时， $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 为方程组（2．82）的直线解；
（4）如果 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$ 为 $A$ 的不同的非零实特征值，$V_1$ 与 $V_2$ 为对应的特征向量，则方程组（2．82）的两个直线解 $Y _1(t)= e ^{\lambda_1 t} V_1$ 与 $Y _2(t)= e ^{\lambda_2 t} V_2$ 线性无关，并且

$$
Y (t)=k_1 e^{\lambda_1 t} V_1+k_2 e^{\lambda_2 t} V_2 ...(2.82)
$$

为方程组的通解．
证明（1）因为 $\mathcal { A } V =\lambda V$ ，若令 $V =(x, y)$ ，则有

$$
Y (t)=e^{\lambda t} V =\binom{e^{\lambda t} x}{e^{\lambda t} y}
$$

于是

$$
\frac{d Y }{d t}=\frac{d}{d t}\binom{e^{\lambda t} x}{e^{\lambda t} y}=\binom{\lambda e^{\lambda t} x}{\lambda e^{\lambda t} y}=\lambda Y ,
$$

因此， $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 为 $d \mathcal { Y } / d t= A \mathcal { Y }$ 的解．
（2）当 $\lambda=0$ 时， $A Y = A V =\lambda V = O$ 得证．
（3）当 $\lambda>0$ 时， $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 的轨线为从原点出发，过点 $V =(x, y)$ 的半直线；当 $\lambda<0$ 时， $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 的轨线为过点 $V =(x, y)$ 而指向原点的半直线．因此，当 $\lambda$ 为非零的实数时， $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ 为方程组的直线解．
（4）如果 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$ 为 $\mathcal { A }$ 的不同实特征值，而 $V _1$ 与 $V _2$ 为对应于 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$ 的特征向量，则由线性代数知识可知 $V _1$ 与 $V _2$ 线性无关。由于 $Y _1(t)= e ^{\lambda_1 t} V _1$ 与 $Y _2(t)= e ^{\lambda_2 t} V_2$ 为 $d Y / d t= A Y$ 的直线解，并且 $Y _1(0)=V_1$ 与 $Y _2(0)=V_2$ 线性无关，由定理 2.2 及定义 2.2 可知

$$
Y (t)=k_1 Y _1(t)+k_2 Y _2(t)=k_1 e^{\lambda_1 t} V_1+k_2 e^{\lambda_2 t} V_2
$$

为该方程组的通解．

`例2.7`求矩阵 $A =\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 0 & -4\end{array}\right)$ 的特征值与特征向量，并求出 $\frac{ d Y }{ d t}= A Y$ 对应的直线解．

解 特征方程 $\operatorname{det}(\lambda I - \mathcal { A } )=\lambda^2+2 \lambda-8=0$ 有两个根

$$
\lambda_1=2, \quad \lambda_2=-4
$$

求对应 $\lambda_1=2$ 的特征向量．由 $\lambda_1 I - \mathcal { A } =\left(\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 0 & 6\end{array}\right)$ 得

$$
\left(\lambda_1 I - \mathcal { A } \right) V _1=\left(\begin{array}{cc}
0 & -3 \\
0 & 6
\end{array}\right)\binom{x_1}{y_1}=\binom{0}{0}
$$

即

$$
\left\{\begin{array}{l}
-3 y_1=0 \\
6 y_1=0
\end{array}\right.
$$

得 $y_1=0$ ．因此， $V _1=(1,0)$ 为对应 $\lambda_1=2$ 的特征向量．
求对应 $\lambda_2=-4$ 的特征向量．由 $\lambda_2 I - \mathcal { A } =\left(\begin{array}{cc}-6 & -3 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ 解

$$
\left(\lambda_2 I - \mathcal { A } \right) V _2=\left(\begin{array}{cc}
-6 & -3 \\
0 & 0
\end{array}\right)\binom{x_2}{y_2}=\binom{0}{0}
$$

得

$$
\left\{\begin{array}{l}
6 x_2+3 y_2=0 \\
0=0
\end{array}\right.
$$

则有 $y_2=-2 x_2$ ．因此， $V _2=(1,-2)$ 为对应 $\lambda_2=-4$ 的特征向量．
应用定理 2．4，再次得到 $\frac{ d Y }{ d t}= A Y$ 的两个直线解 $Y _1(t)= e ^{2 t}\binom{1}{0}$ 与 $Y _2(t)=$ $e ^{-4 t}\binom{1}{-2}$.

`例`求矩阵 $B =\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right)$ 的特征值与特征向量，并求出 $\frac{d Y }{d t}= B Y$ 对应的直线解．
解 特征方程 $\operatorname{det}(\lambda I - \mathcal { B } )=\lambda^2-5 \lambda+4=0$ 的两个根 $\lambda_1=1, \lambda_2=4$ ，所以 1与 4 为 $B$ 的特征值．

对于 $\lambda_1=1$ ，由

$$
\left(\lambda_1 I - \mathcal { B } \right) V _1=\left(\begin{array}{ll}
-1 & -2 \\
-1 & -2
\end{array}\right)\binom{x_1}{y_1}=\binom{0}{0}
$$

得

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 y_1=0 \\
x_1+2 y_1=0
\end{array}\right.
$$

于是得 $y_1=-\frac{1}{2} x_1$ ．因此， $V _1=(-2,1)$ 为对应 $\lambda_1=1$ 的特征向量．
对于 $\lambda_2=4$ 的特征向量，由

$$
\left(\lambda_2 I - \mathcal { B } \right) V _2=\left(\begin{array}{cc}
2 & -2 \\
-1 & 1
\end{array}\right)\binom{x_2}{y_2}=\binom{0}{0}
$$

得

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x_2-2 y_2=0 \\
-x_2+y_2=0
\end{array}\right.
$$
于是有 $y_2=x_2$ ．因此， $V _2=(1,1)$ 为对应 $\lambda_2=4$ 的特征向量．
对应的直线解分别为 $Y _1(t)= e ^{4 t}\binom{1}{1}$ 与 $Y _2(t)= e ^t\binom{-2}{1}$ ．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：一阶二维线性微分方程组的一般理论

下一篇：具有不同实特征值的线性微分方程组

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)