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具有不同实特征值的线性微分方程组

## 2.6 一阶二维齐次线性微分方程组的通解、相图与平衡点分类

对于一阶二维齐次线性方程

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad A =\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) ...(2.83)
$$

由系数矩阵 $A$ 可得 $A$ 的特征值 $\lambda$ 及其对应的特征向量 $V$ ，应用定理 2.4 立刻可写出解 $Y (t)= e ^{\lambda t} V$ ．下面分三种情况讨论该方程组的通解及解的定性分析．

## 2.6.1 具有不同实特征值的线性微分方程组
如果系数矩阵 $A$ 具有两个不同的实特征值 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$ 及对应的特征向量 $V_1$ 与 $V_2$ ，由定理 2.4 可以得到方程组（2．82）的通解

$$
\mathcal { Y } (t)=k_1 e^{\lambda_1 t} V _1+k_2 e^{\lambda_2 t} V _2
$$

由 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$ 的符号可决定解的渐近行为．下面分别讨论．
#### 1．系数矩阵具有两个不同的实特征值 $\lambda_1<\lambda_2$ 且 $\lambda_i \neq 0(i=1,2)$
由特征值的符号可以对平衡点 $(0,0)$ 的类型进行分类．

**（1）$\lambda_1<0<\lambda_2$ ．平衡点 $(0,0)$ 为鞍点**．

`例`求方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad A =\left(\begin{array}{cl}
-5 & 0 \\
0 & 3
\end{array}\right) ...(2.84)
$$
的通解，并画相图．
解 特征方程

$$
\operatorname{det}(\lambda I - \mathcal { A } )=\lambda^2+2 \lambda-15=0
$$

有两个根 $\lambda_1=-5, \lambda_2=3$ ．
由 $\mathcal { A } V _1=-5 V _1, V _1=\left(x_1, y_1\right)$ 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
-5 x_1=-5 x_1 \\
3 y_1=-5 y_1
\end{array}\right.
$$

为使上式成立，只有 $y_1=0$ ．取 $x_1=1$ ，则 $V _1=(1,0)$ ．

同理，对特征值 $\lambda_2=3$ ，求得对应的特征向量 $V _2=(0,1)$ ．于是得到通解为

$$
\begin{aligned}
Y (t) & =k_1 e^{-5 t}\binom{1}{0}+k_2 e^{3 t}\binom{0}{1} \\
& =\binom{k_1 e^{-5 t}}{k_2 e^{3 t}} .
\end{aligned}
$$

下面画出相图．

①画出 $x y$ 坐标系，标明 $O=(0,0)$ 为平衡点． ②过平衡点 $(0,0)$ 与 $V _1=(1,0)$点作直线，即为 $x$ 轴．因 $\lambda_1=-5<0$ ，故其上箭头指向原点． ③过点 $(0,0)$ 与点 $V_2=(0,1)$ 作直线，即 $y$ 轴．因 $\lambda_2=3>0$ ，故其上箭头远离 $(0,0)$ ． ④其他解的轨线的走向受这两个直线解的直接影响，均从无穷远处切 $x$ 轴指向原点的方向，进而转向沿切 $y$ 轴远离原点方向，趋于无穷远处（图 2.32）．

![图片](/uploads/2025-06/b441e7.jpg)
 注记（1）当 $t \rightarrow+\infty$ 时， $Y _1(t)=\left(k_1 e ^{-5 t}, 0\right)$ 沿 $x$ 轴分别从 $+\infty\left(k_1>0\right)$或 $-\infty\left(k_1<0\right)$ 趋向 $(0,0)$ ．而当 $t \rightarrow-\infty$ 时， $Y _1(t)=\left(k_1 e ^{-5 t}, 0\right)$ 沿 $x$ 轴趋于 $\infty\left(k_1>0\right)$ 或趋于 $-\infty\left(k_1<0\right)$ ．同理，确定 $Y _2(t)=\left(0, k_2 e ^{3 t}\right)$ 沿 $y$ 轴的走向．
（2）当 $t$ 较大时， $Y (t) \approx\left(0, k_2 e ^{3 t}\right)$ ，而当 $t$ 为绝对值较大负值时， $Y (t) \approx\left(k_1 e ^{-5 t}, 0\right)$ ，从而轨线的走向如（1）所述．

平衡点 $O=(0,0)$ 在 $x$ 轴上为 $\frac{ d x}{d t}=-5 x$ 的汇，而在 $y$ 轴上为 $\frac{ d y}{d t}=3 y$ 的源．此时，称平衡点 $O=(0,0)$ 为方程组的鞍点．

`例`求方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= B Y , \quad B =\left(\begin{array}{ll}
3 & -3 \\
2 & -4
\end{array}\right) ...(2.85)
$$

的通解，并画出相应的相图．
解 求特征方程

$$
\operatorname{det}(\lambda I - \mathcal { B } )=\lambda^2+\lambda-6=0
$$
的根得 $\lambda_1=-3, \lambda_2=2$ ．
求对应 $\lambda_1=-3$ 的特征向量．由 $B V_1=-3 V_1$ 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x_1-3 y_1=-3 x_1 \\
2 x_1-4 y_1=-3 y_1
\end{array}\right.
$$

于是得 $y_1=2 x_1, V _1=(1,2)$ ．
求对应 $\lambda_2=2$ 的特征向量．由 $B V_2=2 V_2$ 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x_2-3 y_2=2 x_2 \\
2 x_2-4 y_2=2 y_2
\end{array}\right.
$$

于是得 $x_2=3 y_2, V _2=(3,1)$ ．
通解为

$$
Y (t)=k_1 e^{-3 t}\binom{1}{2}+k_2 e^{2 t}\binom{3}{1}=\binom{k_1 e^{-3 t}+3 k_2 e^{2 t}}{2 k_1 e^{-3 t}+k_2 e^{2 t}}
$$

根据通解或特征值与特征向量可以画出相图．
（i）画出 $(0,0)$ ，它为唯一平衡点且是鞍点；
（ii）过 $(0,0)$ 与 $V _1=(1,2)$ 作直线，因 $\lambda_1=-3<0$ ，其箭头指向 $(0,0)$ ；
（iii）过 $(0,0)$ 点与 $V _2=(3,1)$ 作直线，因 $\lambda_2=2>0$ ，故其上从 $(0,0)$ 指向外方；
（iv）其他解的轨线从无穷远处沿 $V_1$ 方向上直线解的方向，而转向沿 $V_2$ 方向上直线解的方向，趋于无穷远处（图 2．33）．

![图片](/uploads/2025-06/50db3e.jpg)
 
 一般地，如果 $A =\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 具有两个特征值 $\lambda_1<0<\lambda_2$ ，而对应的特征向量

为 $V _1$ 与 $V _2$ ．原点 $O=(0,0)$ 为方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y
$$

的鞍点．在相图中由两条直线，分别对应于直线解 $k_1 e ^{\lambda_1 t} V _1$ 与 $k_2 e ^{\lambda_2 t} V _2$ ，沿 $V _1$ 确定的直线的解趋于 $O=(0,0)$ ，而沿 $V _2$ 确定的直线解远离 $O=(0,0)$ ．其他解从无穷远沿 $V _1$ 确定直线解的方向，而转向沿 $V _2$ 确定的直线解轨线的方向趋于无穷．

在例 1 和例 2 中，可以画出 $x(t)$ 图像与 $y(t)$ 图像．

（2）**$\lambda_1<\lambda_2<0$ ．平衡点原点 $O=(0,0)$ 为汇**．在 2．5．1 小节所建立的 $R L$ 混联电路中，设 $R=1 \Omega, L=1 H$ ．如果某时刻突然切掉电源．求这一时刻以后，两个回路中电流 $I_1(t)$ 与 $I_2(t)$ 的变化规律．此时，状态方程 $(2.56)$ 变为齐次方程组

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
\frac{1}{2} & -2
\end{array}\right) Y .
$$

`例`求方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= C Y , \quad C =\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
\frac{1}{2} & -2
\end{array}\right)
$$

的通解，并画出相应的相图．
解 求特征方程

$$
\operatorname{det}(\lambda I- C )=\lambda^2+3 \lambda+\frac{3}{2}=0
$$

的根得 $\lambda_1=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}, \lambda_2=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$ ．
求对应 $\lambda_1=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$ 的特征向量 $V _1=\left(x_1, y_1\right)$ ．由 $\mathcal { C } V _1=\lambda_1 V _1$ 得

$$
\left\{\begin{aligned}
-x_1+y_1 & =\frac{-3-\sqrt{3}}{2} x_1 \\
\frac{1}{2} x_1-2 y_1 & =\frac{-3-\sqrt{3}}{2} y_1
\end{aligned}\right.
$$

于是得 $y_1=\frac{-1-\sqrt{3}}{2} x_1$ ，故 $V _1=\left(1, \frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)$ ．
同理，对应 $\lambda_2=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$ 的特征向量 $V_2=\left(1, \frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)$ ．于是方程组的通解为

$$
Y (t)=k_1 e^{-\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right) t}\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)+k_2 e^{-\left(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right) t}\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)
$$

下面画出相图．
（i）在 $x y$ 平面上，标出平衡点 $O=(0,0)$ ；
（ii）画出直线 $y=\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right) x$ 与直线 $y=\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) x$ ，由于 $\lambda_1<0, \lambda_2<0$ ，所以在两条直线上，标出指向 $O$ 的箭头；
（iii）其他解的轨线的方向指向原点 $O$ 且与 $\lambda_2$ 对应的特征向量 $V_2$ 确定的直线相切，见图 2.34 ．
 ![图片](/uploads/2025-06/677412.jpg)
 
 注记 为什么其他解的轨线的方向如画法（iii）所示？下面进一步分析．由 $Y (t)=(x(t), y(t))$ 及通解的公式知

$$
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=k_1 e^{-\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right) t}+k_2 e^{-\left(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right) t} \\
y(t)=\frac{-1-\sqrt{3}}{2} k_1 e^{-\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right) t}+\frac{\sqrt{3}-1}{2} k_2 e^{-\left(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right) t}
\end{array}\right.
$$

轨线的切线斜率为

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y(t)}{d t}}{\frac{d x(t)}{d t}}=\frac{\frac{3+\sqrt{3}}{2} \frac{1+\sqrt{3}}{2} k_1 e^{-\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right) t}+\frac{\sqrt{3}-3}{2} \frac{\sqrt{3}-1}{2} k_2 e^{-\frac{(3-\sqrt{3})}{2} t}}{-\frac{3+\sqrt{3}}{2} k_1 e^{-\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right) t}-\frac{3-\sqrt{3}}{2} k_2 e^{-\left(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right) t}} .
$$

当 $t \rightarrow \infty$ 时，$\frac{ d y}{d x} \rightarrow \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ ．因此，轨线以斜率为 $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ 的直线，即 $V_2$ 确定的直线为渐近线．

一般地，如果 $A =\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 具有两个实特征值 $\lambda_1<\lambda_2<0$ ，对应的特征向量为 $V _1$ 与 $V _2$ ，则平衡点 $O=(0,0)$ 为方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y
$$
的汇．在相图中有两条直线，分别对应于直线解 $k_1 e ^{\lambda_1 t} V_1$ 与 $k_2 e ^{\lambda_2 t} V_2$ ，沿两条直线的轨线均趋于原点 $O$ ，而其他轨线均从无穷远处以 $V_2$ 确定的直线为渐近线，而趋于原点 $O=(0,0)$ ．

**（3） $0<\lambda_1<\lambda_2$ ．平衡点原点 $O=(0,0)$ 为方程组的源**．

`例`求方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= D Y , \quad D =\left(\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
1 & 3
\end{array}\right) ...(2.87)
$$

的通解，并画出相应的相图．
解 由前例，矩阵的特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=4$ ．所以 4 与 1 为 $D$ 的特征值．对应的特征向量分别为 $V _1=(-2,1), V _2=(1,1)$ ．因此，通解为

$$
y(t)=k_1 e^t\binom{-2}{1}+k_2 e^{4 t}\binom{1}{1}=\binom{-2 k_1 e^t+k_2 e^{4 t}}{k_1 e^t+k_2 e^{4 t}}
$$

下面绘出相图．
（i）在 $x y$ 平面上，标出平衡点 $O=(0,0)$ ；
（ii）画出直线 $y=\frac{1}{2} x$ 与直线 $y=x$ ，两条直线上，均标出背离原点 $O$ 的箭头；
（iii）其他解的轨线背离原点 $O$ 与直线 $y=-\frac{1}{2} x$ 对应的 $V_1$ 的直线相切，指向远处（图 2．35）．
 ![图片](/uploads/2025-06/5cec7e.jpg)
 注记 画法（iii）的理由与例 2.11 中的注记类似．
一般地，当矩阵 $A$ 有两个实特征值 $0<\lambda_1<\lambda_2$ 时，平衡点 $O=(0,0)$ 为方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y
$$

相图的源．在相图中有两条过原点 $O$ 的直线，由 $O$ 分成的 4 条射线分别为直线解的过原点 $O$ 的轨线．其他解的轨线均与对应于 $V_1$ 的直线相切，而背离原点 $O$ ．

（1）如果平衡点 $O=(0,0)$ 为汇，则称此平衡点 $O$ 为稳定的．因为以其临近的点作为初始点的轨线，当时间增加时必趋近此平衡点．
（2）如果平衡点 $O=(0,0)$ 为源或鞍点，则称此平衡点 $O$ 是不稳定的．因为在充分靠近此平衡点 $O$ 的初始点，从该点出发的轨线当时间 $t$ 增加时离开平衡点 $O$而去．

#### 2．系数矩阵具有两个不同的实特征值 $\lambda_1<\lambda_2$ 且 $\lambda_1=0$ 或 $\lambda_2=0$
只讨论 $\lambda_1<\lambda_2=0$ ，而 $0=\lambda_2<\lambda_1$ 的情形可类似讨论．

`例`求方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= E Y , \quad E =\left(\begin{array}{cc}
-3 & 1 \\
3 & -1
\end{array}\right) ...(2.88)
$$

的通解及 $y(0)=(1,0)$ 的特解，画出相图．
解 特征方程 $\operatorname{det}(\lambda I - E )=\lambda^2+4 \lambda=0$ 的两个根 $\lambda_1=-4, \lambda_2=0$ ，所以 -4与 0 为 $\varepsilon$ 的特征值．

对应特征值 $\lambda_1=-4$ 的特征向量 $V _1=(-1,1)$ ，而对应 $\lambda_2=0$ 的特征向量 $V _2=(1,3)$ 。于是通解

$$
Y (t)=k_1 e^{-4 t}\binom{-1}{1}+k_2 e^{0 \cdot t}\binom{1}{3}=k_1 e^{-4 t}\binom{-1}{1}+k_2\binom{1}{3}=\binom{k_2-k_1 e^{-4 t}}{3 k_2+k_1 e^{-4 t}} .
$$
由 $Y (0)=(1,0)$ 得特解

$$
Y (t)=\binom{\frac{1}{4}+\frac{3}{4} e^{-4 t}}{\frac{3}{4}-\frac{3}{4} e^{-4 t}}=\frac{1}{4}\binom{1}{3}+\frac{3}{4} e^{-4 t}\binom{1}{-1}
$$

由（2．89）绘出相图．
（1）在 $x y$ 平面上，标出平衡点集 $y=3 x$ ；

![图片](/uploads/2025-06/4f0a73.jpg)
 
（2）画平行于 $y=-x$ 的半直线，其上箭头指向直线 $y=3 x$ ，此为其他解的轨（图 2．36）。
一般地，当矩阵 $A$ 有两个实特征值 $\lambda_1<\lambda_2=0$（或 $0=\lambda_2<\lambda_1$ ）．对应的特征向量分别为 $V _1$ 与 $V _2$ ，则过点 $O=(0,0)$ 与向量 $V _2$ 终点的直线上的点均为平衡点．作半直线平行向量 $V _1$ ，若 $\lambda_1<0$ ，则箭头指向平衡点的直线；若 $\lambda_1>0$ ，则反向．此为方程组 $\frac{ d Y }{ d t}= A Y$ 的相图．该方程组的通解为

$$
Y (t)=k_1 e^{\lambda_1 t} V_1+k_2 e^{\lambda_2 t} V_2
$$

在这种状态下，平衡点 $O=(0,0)$ 不是孤立的平衡点，是位于鞍点与汇 $\left(\lambda_1<\lambda_2=0\right)$或鞍点与源 $\left(0=\lambda_2<\lambda_1\right)$ 的临界状态，分别称为 $O$ 为临界鞍汇点或临界鞍源点，见图 2．37．

![图片](/uploads/2025-06/dccc69.jpg)

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