最后更新: 2025-08-28 18:28 查看: 8 次反馈同步训练

差分方程

## 差分方程
> 差分方程是描述**离散序列**中各项之间关系的方程。你可以把它理解为离散版本的微分方程。
简单来说，它研究的是某个量在离散时间点（比如 n=0, 1, 2, 3, ...）上的取值，并建立当前值与其前面一个或多个值之间的关系

**一阶差分** 设关于时间 $x$ 的函数 $y_x=f(x)$ ，称 $\Delta y_x=f(x+1)-f(x)$ 为 $f(x)$ 的**一阶差分**。

**二阶差分** $\Delta^2 y_x=\Delta y_{x+1}-\Delta y_x=f(x+2)-2 f(x+1)+f(x)$ 为 $f(x)$ 的二阶差分

**差分方程** 含 $x, y_x, y_{x+1}, \cdots$ 的方程 $f x, y_x, y_{x+1}, \cdots=0$ 称为差分方程

**差分方程的解**  若函数 $y_x=\varphi(x)$ 使得差分方程 $f x, y_x, y_{x+1}, \cdots=0$ ，称函数 $y_x=\varphi(x)$ 差分方程的解

## 一阶常系数线性差分方程

1．形式

$$
y_{x+1}-a y_x=f(x)
$$

（1）$y_{x+1}-a y_x=0$ 称为一阶常系数线性齐次差分方程；
$y_{x+1}-a y_x=f(x)$ 称为一阶常系数线性非齐次差分方程

（2）一阶常系数线性非齐次差分方程的解的结构
一阶常系数线性非齐次差分方程的通解为对应一阶常系数齐次差分方程的通解与非齐次差分方程的特解之和，

2.求解
（1）求一阶常系数线性齐次差分方程 $y_{x+1}-a y_x=0$ 的通解，通解为 $Y_x=C a^x$ ；
（2）设出一阶常系数线性非齐次差分方程的特解，其特解有如下几种情形：

①$f(x)$ 的形式 $f(x)=P_n(x) $
特解形式 $ a \neq 1 \text { 时, } y_x^*=Q_n(x) ; \quad a=1 \text { 时, } y_x^*=x Q_n(x)$

②$F(x)$ 的形式 $f(x)=P_n(x) b^x$
特解形式 $b \neq a$ 时，$y_x^*=Q_n(x) b^x ; b=a$ 时，$y_x^*=x Q_n(x) b^x$

（3）写出阶常系数线性非齐次差分方程的通解为 $y_x=Y_x+y_x^*$
  
 ## 求解具体推导
  - 齐次：$y_{t+1}+p y_t=0$
- 非齐次 ：$y_{t+1}+p y_t=f(t)$
（1）$f(t)=0$ ：即一阶常系数齐次线性差分方程，其特征方程为：

$$
\lambda^{t+1}+p \lambda^t=0 \Rightarrow \lambda-p=0 \Rightarrow \lambda=-p
$$

显然这是一个等比数列，可以得到 $y_t=(-p)^t$ 是满足条件的，因此通解为：

$$
y_t=c(-p)^t
$$

（2）$f(t)=P_m(t)$ ：即自由项是一个 $m$ 次的多项式，此时要讨论求 $y_{t+1}+p y_t=P_m(t)$ 的解。令 $y_{t+1}=y_t+\Delta y_t$ ，则：

$$
\Delta y_t+(p+1) y_t=P_m(t)
$$

若 $y_t$ 是一个 $m$ 次的多项式，则 $\Delta y_t$ 则是一个 $m-1$ 次的多项式，参考微分方程的经验，我们可以假设特解形如 $y^*=t^k Q_m(t)$ ，其中：
 
$$
k= \begin{cases}0 & \text { 当 }-p \neq 1, ~ \text { 即 } 1 \text { 不是特征根时 } \\ 1 & \text { 当 }-p=1, ~ \text { 即 } 1 \text { 是特征根时 }\end{cases}
$$

代入原方程以后，逐一比较 $Q_m(t)$ 的系数，就可以得到一个特解。

`例`求方程 $2 y_{t+1}+y_t=t^2$ 的通解
将方程改写为 $y_{t+1}+\frac{1}{2} y_t=\frac{1}{2} t^2$ ，可以得到特征根为 $\lambda=-\frac{1}{2}$ ，故对应的齐次方程的通解为：

$$
Y=c\left(-\frac{1}{2}\right)^t
$$

假设其中一个特解形如 $y^*=A t^2+B t+C$ ，代入原方程得到：

$$
3 A t^2+(4 A+3 B) t+2 A+2 B+3 C=t^2
$$

解得 $A=\frac{1}{3}, ~ B=-\frac{4}{9}, ~ C=\frac{2}{27}$ ，因此特解为 $y^*=\frac{1}{3} t^2-\frac{4}{9} t+\frac{2}{27}$ ，原方程的通解为：
$$
y_t=Y+y^*=c\left(-\frac{1}{2}\right)^t+\frac{1}{3} t^2-\frac{4}{9} t+\frac{2}{27}
$$

（3）$f(t)=P_m(t) a^t$ ，其中 $a \neq 0,1$ ，此时要讨论求 $y_{t+1}+p y_t=P_m(t) a^t$ 的解，可设特解为 $y^*=t^k Q_m(t) a^t$ ，其中：

$$
k= \begin{cases}0 & \text { 当 }-p \neq a, ~ \text { 即 } a \text { 不是特征根时 } \\ 1 & \text { 当 }-p=a, ~ \text { 即 } a \text { 是特征根时 }\end{cases}
$$

> 本节内容仅考研数学三需要掌握，数一数二不需要

`例` 求差分方程 $y_{t+1}+y_t=t e^t$ 的通解
特征方程 $\lambda+1=0$ ，得到特征根 $\lambda=-1$ ，对应的齐次方程的通解为：

$$
Y=c(-1)^t
$$

假设特解为 $y^*=(A t+B) e^t$ ，代入原方程得到：

$$
A(e+1) t e^t+(A e+B e+B) e^t=t e^t
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 解得 } A=\frac{1}{e+1}, ~ B=-\frac{e}{(e+1)^2} \text { ，因此特解为 } y^*=\left(\frac{1}{e+1} t-\frac{e}{(e+1)^2}\right) e^t \text { ，原方程的通解为：}\\
&y_t=Y+y^*=c(-1)^2+\left(\frac{1}{e+1} t-\frac{e}{(e+1)^2}\right) e^t
\end{aligned}
$$

`例`求差分方程 $y_{x+1}-2 y_x=2$ 的通解．
   解 原方程对应齐次方程的特征方程为 $\lambda-2=0$解得特征根为 $\lambda=2$ ，故原方程对应齐次方程的通解为

$$
Y_x=C 2^x
$$

由于 1 不是特征根，于是令特解 $y_x{ }^*=a$ ，代入原方程得

$$
a-2 a=2
$$

从而 $y_x{ }^*=a=-2$ ，故原方程通解为

$$
y_x=Y_x+y_x^*=C 2^x-2
$$

`例`求差分方程 $y_{x+1}-y_x=x+1$ 的通解．
解 原方程对应齐次方程的特征方程为 $\lambda-1=0$
解得特征根为 $\lambda=1$ ，故原方程对应齐次方程的通解为

$$
Y_x=C
$$

由于 1 是特征根，于是令特解 $y_x{ }^*=x\left(b_0 x+b_1\right)=b_0 x^2+b_1 x$ ，代入原方程得

$$
b_0(x+1)^2+b_1(x+1)-b_0 x^2-b_1 x=x+1
$$

解得 $b_0=b_1=\frac{1}{2}$ ，于是 $y_x{ }^*=\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2} x$
所以原方程通解为

$$
y_x=Y_x+y_x^*=C+\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2} x
$$

## 二阶常系数线性差分方程
 分为：
- 齐次：$y_{t+2}+p y_{t+1}+q y_t=0$
- 非齐次：$y_

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