最后更新: 2025-04-30 16:06 查看: 1282 次反馈同步训练

隐函数的求导公式

> 提示:在阅读本文前，请已经熟悉了 多元复合函数的链式求导法则，通过“树”进行求导，详见 [多元复合函数求导发展](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=385)

## 隐函数的求导公式
在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程

$$
F(x, y)=0,
$$

来求它所确定的隐函数 $y=f(x)$ 的导数的方法.
那时， 实际上假定方程 $F(x, y)=0$ 能确定 $y$ 是 $x$ 的函数 $y=f(x)$ ，函数 $y=f(x)$ 具有导数 $y^{\prime}$. 但是事实上并不是任何一个方程 $F(x, y)=0$ 都能确定 $y$ 是 $x$ 的函数，且使 $y=f(x)$ 可导. 那么，在什么条件下，从方程 $F(x, y)=0$ 中可以 确定 $y$ 是 $x$ 的函数? 这个函数是否可导? 如何来求该导数? 现在我们来回答这些问题.

## 隐函数存在定理
 
**隐函数存在定理1** 设函数 $F(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内具有连续的偏导数，且

$$
F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0, F\left(x_0, y_0\right)=0 \text {, }
$$

则方程 $F(x, y)=0$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导 数的函数 $y=f(x)$, 它满足 $y_0=f\left(x_0\right)$, 并有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y} .
$$

本定理不作严格证明，仅就结论作以下推导.
方程 $F(x, y)=0$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内恒能唯一确定一个连续函数 $y=f(x)$ ，则将 $y=f(x)$ "代入" $F(x, y)=0$ ，使其成为恒等式: $F(x, f(x)) \equiv 0$.
等式左边的函数 $F(x, f(x))$ 是一个复合函数，它的函数结构图为

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231d001c92.png)
求此方程的全导数 $F_x+F_y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$ ，
由于 $F_y(x, y)$ 连续，且 $F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，因此存在 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域，在这 个邻域内， $F_y(x, y) \neq 0$ ，于是得 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y}$.
注 如果 $F(x, y)$ 的二阶偏导数也连续，则可把上面等式两端看作 $x$ 的复合函 数而再次求导，得:

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right) \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \\
= & -\frac{F_{x x} F_y-F_x F_{y x}}{F_y^2}-\frac{F_{x y} F_y-F_x F_{y y}}{F_y^2} \cdot\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)=-\frac{F_{x x} F_y^2-2 F_x F_y F_{x y}+F_{y y} F_x^2}{F_y^3} .
\end{aligned}
$$

`例` 验证方程 $x^2+y^2-1=0$ 在点 $(0,1)$ 的某邻域内能唯一确定一个有连续导数，当 $x=0$ 时 $y=1$ 的隐函数 $y=f(x)$ ，求函数的一阶和二阶导数在 $x=0$ 的值.
证 令 $F(x, y)=x^2+y^2-1$ ，则

$$
F_x=2 x ， \quad F_y=2 y ， \quad F_x(0,1)=0 ， \quad F_y(0,1)=2 \neq 0 ，
$$

依定理1 知方程 $x^2+y^2-1=0$ 在点 $(0,1)$ 的某领域内能唯一确定一个有连续导数， 当 $x=0$ 时 $y=1$ 的隐函数 $y=f(x)$ ，函数的一阶和二阶导数为

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{F_x}{F_y}=-\frac{x}{y},\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=0, \\
& \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{y-x y^{\prime}}{y^2}=\frac{y-x\left(-\frac{x}{y}\right)}{y^2}=-\frac{1}{y^3},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=-1 .
\end{aligned}
$$

`例`求由方程 $x y-\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y=0$ 所确定的隐函数 $y$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x},\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$.
解 令 $F(x, y)=x y-\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y$, 则

$$
\begin{aligned}
& F_x=y-\mathrm{e}^x, F_y=x+\mathrm{e}^y, \\
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y}=\frac{\mathrm{e}^x-y}{x+\mathrm{e}^y},
\end{aligned}
$$

由原方程知 $x=0$ 时， $y=0$, 所以

`例`求由方程 $x-y-\mathrm{e}^y=0$ 确定的隐函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
解 取 $F(x, y)=x-y-\mathrm{e}^y$ ，由 $F_x=1 ， F_y=-1-\mathrm{e}^x \neq 0$ ，因此

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{1}{-1-\mathrm{e}^y}=\frac{1}{1+\mathrm{e}^y}, \\
& --=--=--=-\left(\mathrm{d}^2 y\right. \\
& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x^2}=\frac{1}{\mathrm{~d} x}\left(\frac{1}{1+\mathrm{e}^y}\right)=-\frac{\mathrm{e}^y y^{\prime}}{\left(1+\mathrm{e}^y\right)^2}=-\frac{\mathrm{e}^y}{\left(1+\mathrm{e}^y\right)^3} .
\end{aligned}
$$

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
注 本题也可用上册的方法解.
在方程 $x-y-\mathrm{e}^y=0$ 两端关于 $x$ 求导:
$1-\frac{\ma

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