最后更新: 2025-11-04 15:11 查看: 2278 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

隐函数的求导公式

> 提示:在阅读本文前，请已经熟悉了 多元复合函数的链式求导法则，通过“树”进行求导，详见 [多元复合函数求导发展](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=385)

## 隐函数的概念
在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如

$$
y=x^2+1, z=\mathrm{e}^{x y }(\sin x y+\sin y) .
$$

这种形式的函数称为**显函数**． 但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则由一个方程式所确定，通常称为**隐函数**．例如
$$
x^2+y^3+e^y=0
$$

在这种情况下，上式很难写成$y=f(x)$的表达式，因此我们称呼他为隐函数。

### 定义
设 $E \subset \mathbf{R}^2$ ，函数 $F: E \rightarrow \mathbf{R}$ ．对于方程

$$
F(x, y)=0 ...(1)
$$

如果存在集合 $I, J \subset \mathbf{R}$ ，对任何 $x \in I$ ，有惟一确定的 $y \in J$ ，使得 $(x, y) \in E$ ，且满足方程 （1），则称方程（1）确定了一个定义在 $I$ 上，值域含于 $J$ 的隐函数．若把它记为

$$
y=f(x) , x \in I, y \in J,
$$

则成立恒等式

$$
F(x, f(x)) \equiv 0, x \in I
$$

> 这里只表示存在着定义在I上，值域在J内的函数f，他并不意味着y能否用x的某一显式来表示。

例如方程

$$
x y+y-1=0
$$

能确定一个定义在 $(-\infty,-1) \cup(-1,+\infty)$ 上的隐函数 $y=f(x)$ 。如果从方程中把 $y$ 解出，这个函数也可表示为显函数形式

$$
y=\frac{1}{1+x}
$$

又如圆方程 $x^2+y^2=1$ 能确定一个定义在 $[-1,1]$ 上，函数值不小于 0 的隐函数 $y= \sqrt{1-x^2}$ ；又能确定另一个定义在 $[-1,1]$ 上，函数值不大于 0 的隐函数 $y=-\sqrt{1-x^2}$ ．

所以隐函数必须在指出确定它的方程以及 $x, y$ 的取值范围后才有意义．当然在不产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明．此外，还需指出：

（i）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程

$$
x^2+y^2+c=0
$$

当 $c>0$ 时，就不能确定任何函数 $f(x)$ ，使得

$$
x^2+[f(x)]^2+c \equiv 0
$$

而只有当 $c \leqslant 0$ 时，才能确定隐函数．因此我们必须研究方程（1）在什么条件下才能确定隐函数．
（ii）倘若方程（1）能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那样，能从方程中解出 $y$ ，并用自变量 $x$ 的算式来表示（即使 $F(x, y)$ 是初等函数）。例如，对于方程

$$
y-x-\frac{1}{2} \sin y=0 .
$$

确实存在一个定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ ，使得

$$
f(x)-x+\frac{1}{2} \sin f(x) \equiv 0
$$

但函数 $f(x)$ 却无法用 $x$ 的算式来表达。因此，在一般情况下，我们主要考虑方程（1）能否确定隐函数以及这个隐函数的连续性、可微性，而不管它是否能用显式表示．

### 隐函数存在条件
考虑隐函数方程
$$
F(x, y)=0 ...(1)
$$
上一段给出了隐函数的定义，现在的问题是：当函数 $F(x, y)$ 满足哪些条件时，由方程（1）能确定隐函数 $y=f(x)$ ，并且该隐函数具有连续、可微等性质？为此我们先作一些分析。

首先，$y=f(x)$ 可以看作曲面 $z=F(x, y)$ 与坐标平面 $z=0$ 的交线，因此隐函数要存在，至少该交集不能为空，即存在 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ ，使 $F\left(x_0, y_0\right)= 0, y_0=f\left(x_0\right)$ ．

![图片](/uploads/2025-11/ecb51f.jpg){WIDTH=500PX}
 
 
其次，方程（1）能在点 $P_0$ 附近确定一个连续函数，表现为上述交集是一条通过点 $P_0$ 的连续曲线段（图 18－1）。如果曲面 $z=F(x, y)$ 在点 $P_0$ 存在切平面，且切平面与坐标平面 $z=0$ 相交于直线 $l$ ，那么曲面 $z=F(x, y)$ 在点 $P_0$ 附近亦必与坐标平面 $z=0$ 相交 （其交线在点 $P_0$ 处的切线正是 $l$ ）．为此，设 $F$ 在点 $P_0$ 可微，且

$$
\left(F_x\left(P_0\right), F_y\left(P_0\right)\right) \neq(0,0), ...(2)
$$

则可使上述切平面存在，并满足与 $z=0$ 相交成直线的要求．
如果进一步要求上述隐函数 $y=f(x)$（或 $x=g(y))$ 在点 $P_0$ 可微，则在 $F$ 可微的假设下，通过方程（1）在 $P_0$ 处对 $x$ 求导，依链式法则得到

$$
F_x\left(P_0\right)+\left.F_y\left(P_0\right) \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}=0 . ..(3)
$$

当 $F_y\left(P_0\right) \neq 0$ 时，可由（3）解出

$$
\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}=-\frac{F_x\left(P_0\right)}{F_y\left(P_0\right)} ...(4)
$$

类似地，当 $F_x\left(P_0\right) \neq 0$ 时，通过方程（1）对 $y$ 求导后也可解出

$$
\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right|_{y=y_0}=-\frac{F_y\left(P_0\right)}{F_x\left(P_0\right)} .
$$

由此可见，条件（2）不仅对于隐函数的存在性，而且对于隐函数的求导同样是重要的．

**定理（隐函数存在惟一性定理）** 若函数 $F(x, y)$ 满足下列条件：
（i）$F$ 在以 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 为内点的某一区域 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上连续；
（ii）$F\left(x_0, y_0\right)=0$（通常称为初始条件）；
（iii）$F$ 在 $D$ 上存在连续的偏导数 $F_y(x, y)$ ；
（iv）$F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
则隐函数存在导数。

## 隐函数存在定理
隐函数存在定理想表达什么意思？

>**隐函数存在定理主要讲述如何从二元函数$F(x,y)$的性质来判定由$F(x,y)=0$所确定的隐函数$y=f(x)$是存在的，并且，这个函数还具有某些特性**

**隐函数存在定理1** 设函数 $F(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内具有连续的偏导数，且

$$
F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0, F\left(x_0, y_0\right)=0 \text {, }
$$

则方程 $F(x, y)=0$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导 数的函数 $y=f(x)$, 它满足 $y_0=f\left(x_0\right)$, 并有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y} .
$$

本定理不作严格证明，仅就结论作以下推导.

### 隐函数的导数
方程 $F(x, y)=0$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内恒能唯一确定一个连续函数 $y=f(x)$ ，则将 $y=f(x)$ 代入 $F(x, y)=0$ ，使其成为恒等式: $F(x, f(x)) \equiv 0$.
等式左边的函数 $F(x, f(x))$ 是一个复合函数，它的函数结构图为

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231d001c92.png)

求此方程的全导数 $F_x+F_y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$ ，
由于 $F_y(x, y)$ 连续，且 $F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，因此存在 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域，在这 个邻域内， $F_y(x, y) \neq 0$ ，于是得

$$
\boxed{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y}
...\text{(隐函数求导公式)}
}
$$

注 如果 $F(x, y)$ 的二阶偏导数也连续，则可把上面等式两端看作 $x$ 的复合函 数而再次求导，得:

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right) \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \\
= & -\frac{F_{x x} F_y-F_x F_{y x}}{F_y^2}-\frac{F_{x y} F_y-F_x F_{y y}}{F_y^2} \cdot\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)=-\frac{F_{x x} F_y^2-2 F_x F_y F_{x y}+F_{y y} F_x^2}{F_y^3} .
\end{aligned}
$$

即

$$
\boxed{
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}= -\frac{F_{x x} F_y^2-2 F_x F_y F_{x y}+F_{y y} F_x^2}{F_y^3} ...\text{(二阶隐函数求导公式)}
}
$$

>注（1）若将定理中的条件 $F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ 改为 $F_x\left(x_0, y_0\right

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