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高等数学
第六章 多元函数微分学
方程组情形
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2024-10-06 10:24
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方程组情形
## 方程组情形 定理 6 (隐函数存在定理 3 ) 设函数 $F(x, y, u, v) 、 G(x, y, u, v)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)$ 的某个邻域内具有对各个变量的一阶连续偏导数,又 $F\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)=0 , G\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)=0$ , 且在点 $P_0\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)$ 处偏导数所组成 的函数行列式 (也称雅可比 (Jacobi) 行列式) $J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right| \neq 0$ , 则方程组 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)$ 的某个邻域内恒能唯一确定一 组连续且具有连续偏导数的函数 $u=u(x, y) 、 v=v(x, y)$ ,它们满足条件 $u_0=u\left(x_0, y_0\right) , v_0=v\left(x_0, y_0\right) \mathrm{~ , 并 且 ~}$ $$ \begin{aligned} & \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_x & F_v \\ G_x & G_v \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{array}\right|}, \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_u & F_x \\ G_u & G_x \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{array}\right|} ; \\ & \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_y & F_v \\ G_y & G_v \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{array}\right|}, \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_u & F_y \\ G_u & G_y \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{array}\right|} . \\ & \end{aligned} $$ 上述公式比较复杂,我们可以通过推导,注意它的形成过程,这样对记忆有 帮助,比如可通过微分: $$ \left\{\begin{array}{c} F_x \mathrm{~d} x+F_y \mathrm{~d} y+F_u \mathrm{~d} u+F_v \mathrm{~d} v=0 \\ G_x \mathrm{~d} x+G_y \mathrm{~d} y+G_u \mathrm{~d} u+G_v \mathrm{~d} v=0 \end{array}\right. $$ 然后解出 $\quad \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}$. 也可将函数 $u=u(x, y) 、 v=v(x, y)$ “代入" $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.$ ,即得 方程组关于 $x$ 求偏导,得: $$ \left\{\begin{array}{l} F_x+F_u \frac{\partial u}{\partial x}+F_v \frac{\partial v}{\partial x}=0 \\ G_x+G_u \frac{\partial u}{\partial x}+G_v \frac{\partial v}{\partial x}=0 \end{array}\right. $$ 然后解出 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}$; 同理关于 $y$ 求偏导,得: $$ \text { 得: }\left\{\begin{array}{l} F_y+F_u \frac{\partial u}{\partial y}+F_v \frac{\partial v}{\partial y}=0 \\ G_y+G_u \frac{\partial u}{\partial y}+G_v \frac{\partial v}{\partial y}=0 \end{array} \quad \text { 然后解出 } \frac{\partial u}{\partial y} , \frac{\partial v}{\partial y} .\right. $$ 例 15 设 $u=u(x, y) 、 v=v(x, y)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{c}u+v=x+y \\ x u+y v=1\end{array}\right.$ 确定,求 $\frac{\partial u}{\partial x} , \frac{\partial u}{\partial y} , \frac{\partial v}{\partial x} , \frac{\partial v}{\partial y}$. 这道题目可以用公式做,也可以用推导法解得,我们采取推导法. 解一 在方程组 $\left\{\begin{array}{c}u+v=x+y \\ x u+y v=1\end{array}\right.$ 两端微分: $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{d} u+\mathrm{d} v=\mathrm{d} x+\mathrm{d} y \\ x \mathrm{~d} u+u \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} v+v \mathrm{~d} y=0\end{array}\right.$ ,整理得 $$ \mathrm{d} u=-\frac{(u+y) \mathrm{d} x+(v+y) \mathrm{d} y}{x-y}, \mathrm{~d} v=\frac{(u+x) \mathrm{d} x+(v+x) \mathrm{d} y}{x-y_{-\ldots}} $$ 即 $\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{u+y}{x-y} , \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{v+y}{x-y} , \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{u+x}{x-y} , \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{v+x}{x-y}$; 例 15 设 $u=u(x, y) 、 v=v(x, y)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{c}u+v=x+y \\ x u+y v=1\end{array}\right.$ 确定,求 $\frac{\partial u}{\partial x} , \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}$. 解二 在方程组 $\left\{\begin{array}{c}u+v=x+y \\ x u+y v=1\end{array}\right.$ 两端关于 $x$ 求导,得 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}=1 \\ u+x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial v}{\partial x}=0\end{array}\right.$ , 整理得 $\quad \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{u+y}{x-y}, \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{u+x}{x-y}$; 类似得 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{v+y}{x-y} , \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{v+x}{x-y}$. 例 16 设函数 $y=y(x) 、 z=z(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{c}x+y+z+z^2=1 \\ x+y^2+z+z^3=2\end{array}\right.$ 确定,试求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} , \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$. 解 将方程组微分 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{d} x+\mathrm{d} y+\mathrm{d} z+2 z \mathrm{~d} z=0 \\ \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y+\mathrm{d} z+3 z^2 \mathrm{~d} z=0\end{array}\right.$ , 消去 $\mathrm{d} z$ ,得 $$ \begin{aligned} & \mathrm{d} y=\frac{3 z^2-2 z}{2 y+4 y z-1-3 z^2} \mathrm{~d} x \text { ,即 } \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{3 z^2-2 z}{2 y+4 y z-1-3 z^2} \text { ; } \\ & \mathrm{d} z=\frac{1-2 y}{2 y+4 y z-1-3 z^2} \mathrm{~d} x \text { ,即 } \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=\frac{1-2 y}{2 y+4 y z-1-3 z^2} \text { ; } \\ & \end{aligned} $$ 例 17 设函数 $x=x(u, v) , y=y(u, v)$ 在点 $(u, v)$ 的某个邻域内连续且具有一阶 连续偏导数, $J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right| \neq 0$ ,试求 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y} 、 \frac{\partial v}{\partial x} 、 \frac{\partial v}{\partial y}$; 解 设 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=x-x(u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=y-y(u, v)=0\end{array} , \quad F , G\right.$ 在点 $(x, y, u, v)$ 的某个邻域内连续 且具有一阶连续偏导数,且 $J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{cc}-\frac{\partial x}{\partial u} & -\frac{\partial x}{\partial v} \\ -\frac{\partial y}{\partial u} & -\frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \neq 0$ , 故在点 $(x, y)$ 的某个邻域内存在连续且具有一阶连续偏导数的反函数 $u=u(x, y) 、 v=v(x, y)$. 由 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} x=x_u \mathrm{~d} u+x_v \mathrm{~d} v \\ \mathrm{~d} y=y_u \mathrm{~d} u+y_v \mathrm{~d} v^{\prime}\end{array}\right.$ 得 $\mathrm{d} u=\frac{y_v \mathrm{~d} x-x_v \mathrm{~d} y}{J} , \mathrm{~d} v=\frac{-y_u \mathrm{~d} x+x_u \mathrm{~d} y}{J}$ , 因此 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y_v}{J} , \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{x_v}{J}, \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{y_u}{J} , \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{x_u}{J}$.
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