最后更新: 2025-01-20 10:13 查看: 209 次反馈刷题

非周期函数傅立叶积分公式

## 非周期函数傅立叶积分公式
2．Fourier 积分公式
定理 设函数 $f(t)$ 满足
（1）在 $(-\infty,+\infty)$ 上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件；
（2）绝对可积，即 $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)| d t<+\infty$ ．
则在 $f(t)$ 的连续点处，有

$$
f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[{\left.\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t\right]} e^{j \omega t} d \omega\right. ...(D)
$$

在 $f(t)$ 的间断处，公式的左端应为 $\frac{1}{2}[f(t+0)+f(t-0)]$ ．
**定义** 称（D）式为 Fourier 积分公式。

## 3．Fourier 变换的定义
定义（1）Fourier 正变换（简称傅氏正变换）

$$
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t= F [f(t)]
$$

（2）Fourier 逆变换（简称傅氏逆变换）

$$
f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d \omega= F ^{-1}[F(\omega)]
$$

其中，$F(\omega)$ 称为象函数，$f(t)$ 称为象原函数．
$f(t)$ 与 $F(\omega)$ 称为傅氏变换对，记为 $f(t) \leftrightarrow F(\omega)$ ．
注 上述变换中的广义积分为柯西主值。

4．Fourier 变换的物理意义
与 Fourier 级数的物理意义一样，Fourier 变换同样刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期函数的频谱是连续取值的。
$F(\omega)$ 反映的是 $f(t)$ 中各频率分量的分布密度，它一般为复值函数，故可表示为

$$
F(\omega)=|F(\omega)| e^{j \arg F(\omega)}
$$

定义 称 $F (\omega)$ 为频谱密度函数（简称为连续频谱或者频谱）；
 称 $|F(\omega)|$ 为振幅谱；称 $\arg F(\omega)$ 为相位谱。
 
 
`例`求矩形脉冲函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |t| \leq a \\ 0, & |t|>a\end{array}(a>0)\right.$ 的 Fourier 变换及 Fourier 积分表达式。

解：（1）
![图片](/uploads/2025-01/eed412.jpg)
$$
\begin{aligned}
F(\omega) & = F [f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t \\
& =\int_{-a}^a e^{-j \omega t} d t=\left.\frac{1}{-j \omega} e^{-j \omega t}\right|_{-a} ^a \\
& =\frac{1}{-j \omega}\left(e^{-j a \omega}-e^{j a \omega}\right) \\
& =\frac{2}{\omega} \cdot \frac{\left(e^{-j a \omega}-e^{j a \omega}\right)}{-2 j}=2 a \frac{\sin a \omega}{a \omega} .
\end{aligned}
$$

（2）振幅谱为 $|F(\omega)|=2 a\left|\frac{\sin a \omega}{a \omega}\right|$
相位谱为 $\arg F(\omega)=\left\{\begin{array}{lr}0, & \frac{2 n \pi}{a} \leq|\omega| \leq \frac{(2 n+1) \pi}{a} \\ \pi, & \frac{(2 n+1) \pi}{a}<|\omega|<\frac{(2 n+2) \pi}{a}\end{array}\right.$

![图片](/uploads/2025-01/b50dd5.jpg)
 
 3）求 Fourier 逆变换，即可得到的 Fourier 积分表达式。

$$
\begin{aligned}
f(t) & = F ^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 \sin a \omega}{\omega} e^{j \omega t} d \omega \\
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 \sin a \omega}{\omega} \cos \omega t d \omega+\frac{j}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 \sin a \omega}{\omega} \sin \omega t d \omega \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin a \omega}{\omega} \cos \omega t d \omega=\left\{\begin{array}{cl}
1, & |t|<a, \\
1 / 2, & |t|=a, \\
0, & |t|>a .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

注 - 在上式中令 $t = 0$ ，可得重要积分公式：

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin a x}{x} d x=\pi,(a>0) .
$$

注 - 在上式中令 $t=0$ ，可得重要积分公式：

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin a x}{x} d x=\pi,(a>0)
$$

一般地，有

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin a x}{x} d x=\left\{\begin{aligned}
\pi, & a>0 \\
0, & a=0 \\
-\pi, & a<0
\end{aligned}\right.
$$

－特别地，有

$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}
$$

`例` 求单边衰减指数函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll} e ^{-\alpha t}, & t \geq 0, \\ 0, & t<0,\end{array}(\alpha>0)\right.$ 的 Fourier变换，并画出频谱图。
 ![图片](/uploads/2025-01/5aa135.jpg)
 
 解：（1）
$$
\begin{aligned}
F(\omega) & = F [f(t)]=\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} e^{-j \omega t} d t \\
& =\int_0^{+\infty} e^{-(\alpha+j \omega) t} d t \\
& =\left.\frac{1}{-(\alpha+j \omega)} e^{-(\alpha+j \omega) t}\right|_0 ^{+\infty} \\
& =\frac{1}{\alpha+j \omega}=\frac{\alpha-j \omega}{\alpha^2+\omega^2} .
\end{aligned}
$$
 
 （2）振幅谱为 $|F(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+\omega^2}}$ ；相位谱为 $\arg F(\omega)=-\arctan (\omega / \alpha)$ 。
  ![图片](/uploads/2025-01/5955ce.jpg)
  
  
  `例`已知 $f(t)$ 的频谱为 $F(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |\omega| \leq \omega_0 \\ 0, & |\omega|>\omega_0\end{array}\left(\omega_0>0\right)\right.$ ，求 $f(t)$ 
  
  解 $f(t)= F ^{-1}[F(\omega)]$
   ![图片](/uploads/2025-01/dd70c6.jpg)
   
$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d \omega=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\omega_0}^{\omega_0} e^{j \omega t} d \omega \\
& =\left.\frac{1}{2 \pi j t} e^{j \omega t}\right|_{-\omega_0} ^{\omega_0}=\frac{1}{\pi t} \cdot \frac{e^{j \omega_0 t}-e^{-j \omega_0 t}}{2 j} \\
& =\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}=\frac{\omega_0}{\pi}\left(\frac{\sin \omega_0 t}{\omega_0 t}\right)=\frac{\omega_0}{\pi} S_a\left(\omega_0 t\right) .
\end{aligned}
$$

`例`已知 $f(t)$ 的频谱为 $F(\omega)=\frac{2}{j \omega}$ ，求 $f(t)$ ．

解 $f(t)= F ^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{j \omega} e ^{j \omega t} d \omega$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{j \sin \omega t}{j \omega} d \omega+\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos \omega t}{j \omega} d \omega \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} d \omega=\left\{\begin{array}{cl}
1, & t>0 \\
0, & t=0 \\
-1, & t<0
\end{array} \text { 记为 } \operatorname{sgn} t .\right.
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/01a90c.jpg)

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