直线与平面的夹角

日期: 2022-12-30 18:37 查看: 68 次

直线 $l$ 和它在平面 $\pi$ 上的投影直线所构成的角称为该直线与平面的夹角（见 图 5-44 所示). 记为 $\varphi: 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}$.
当直线与平面垂直时，规定 $\varphi=\frac{\pi}{2}$.
设直线 $l: \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ， \boldsymbol{s}=(m, n, p)$ ，
平面 $\Pi$ : $A x+B y+C z+D=0 ， \boldsymbol{n}=(A, B, C)$ ，
则 $\varphi=\left|\frac{\pi}{2}-\langle\boldsymbol{s}, \boldsymbol{n}\rangle\right|$ ，因此

$$
\sin \varphi=|\cos \langle s, \boldsymbol{n}\rangle|=\frac{|A m+B n+C p|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \sqrt{m^2+n^2+p^2}} .
$$

当 $l / / \Pi$ 时， $\boldsymbol{s} \perp \boldsymbol{n}$ ，即有 $A m+B n+C p=0$ ；
当 $l \perp \Pi$ 时， $\boldsymbol{s} / / \boldsymbol{n}$ ，即有 $\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230058a435.png)

例 7 设直线 $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}$, 平面 $\Pi: x-y+2 z=3$, 求直线与平面的夹角 $\varphi$.
解 平面的法向量 $\boldsymbol{n}=(1,-12)$, 直线的法向量为 $s=(2,-1,2)$, 则

$$
\sin \varphi=\frac{|A m+B n+C p|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \cdot \sqrt{m^2+n^2+p^2}}=\frac{|1 \times 2+(-1) \times(-1)+2 \times 2|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{9}}=\frac{7 \sqrt{6}}{18} .
$$

所以 $\varphi=\arcsin \frac{7 \sqrt{6}}{18}$ 为所求夹角.

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