平面束

日期: 2022-12-30 18:38 查看: 83 次

通过定直线的平面的全体称为过该直线的平面束，有时候用平面束解题非常 方便，现在我们来介绍它的方程.
设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 \\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0\end{array}\right.$ ，
其中系数 $A_1, B_1, C_1$ 与 $A_2, B_2, C_2$ 不成比例，则过该直线的平面束方程为

$$
\lambda_1\left(A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1\right)+\mu\left(A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2\right)=0 ，
$$

或

$$
A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1+\lambda\left(A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2\right)=0 ，
$$

注意: 若 (3) 中 $\lambda_1 \neq 0$ ，则可将 (3) 写成 (4)；但 (4) 中并不包括平面

$$
A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 \text {. }
$$

例 8 一平面过直线 $\left\{\begin{array}{c}x+y-z=0 \\ x-y+z-1=0\end{array}\right.$ 和点 $(1,1,-1)$, 求该平面方程.
解 设过已知直线的平面束为

$$
x+y-z+\lambda(x-y+z-1)=0 ，
$$

又点 $(1,1,-1)$ 满足方程，即由 $1+1-(-1)+\lambda(1-1-1-1)=0$ ，得 $\lambda=\frac{3}{2}$ ， 因此所求平面方程为

$$
x+y-z+\frac{3}{2}(x-y+z-1)=0 \text { ， 即 } 5 x-y+z-3=0 \text {. }
$$

例 9 过直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z-6=0 \\ x-2 y+z=0\end{array}\right.$ 作平面 $\Pi$ ，使它垂直于平面 $\Pi_1: x+2 y+z=0$.
解 设过直线 $L$ 的平面束的方程为 $(x+2 y-z-6)+\lambda(x-2 y+z)=0$,
即 $(1+\lambda) x+2(1-\lambda) y+(\lambda-1) z-6=0$.
现要在上述平面束中找出一个平面图 П, 使它垂直于题设平面 $\Pi$ 故平面 $\Pi$ 的 法向量 $\boldsymbol{n}_\lambda$ 垂直于平面 $\Pi_1$ 的法向量 $\boldsymbol{n}_1=(1,2,1)$. 于是 $\boldsymbol{n}_\lambda \sqsubset \boldsymbol{n}_1=0$, 即 解得 $\lambda=2$, 故所求平面方程为

$$
\text { П: } 3 x-2 y+z-6=0 .
$$

容易验证，平面 $x-2 y+z=0$ 不是所求平面.
例10 在一切过直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x+y+z+4=0 \\ x+2 y+z=0\end{array}\right.$ 的平面中找出平面 $\Pi$ ，使原点到它 的距离最长.
解 设通过直线 $L$ 的平面束方程为 $(x+y+z+4)+\lambda(x+2 y+z)=0$, 即 $(1+\lambda) x+(1+2 \lambda) y+(1+\lambda) z+4=0$.
要使 $d^2(\lambda)=\frac{16}{(1+\lambda)^2+(1+2 \lambda)^2+(1+\lambda)^2}$ 为最大，
即使 $(1+\lambda)^2+(1+2 \lambda)^2+(1+\lambda)^2=6\left(\lambda+\frac{2}{3}\right)^2+\frac{1}{3}$ 为最小，得 $\lambda=-\frac{2}{3}$, 故所求平面 $\Pi$ 的 方程为 $x-y+z+12=0$.
易知，原点到平面 $x+2 y+z=0$ 的距离为 0 . 故平面 $x+2 y+z=0$ 非所求平面.
例 11 一平面过直线 $\left\{\begin{array}{c}x+5 y+z=0 \\ x-z+4=0\end{array}\right.$ 且与平面 $x-4 y-8 z+12=0$ 成 $\frac{\pi}{4}$ 角，求
该平面方程.
解 设过已知直线的平面束为 $\lambda(x+5 y+z)+\mu(x-z+4)=0$ ，即

$$
(\lambda+\mu) x+5 \lambda y+(\lambda-\mu) z+4 \mu=0 ，
$$

$$
\cos \frac{\pi}{4}=\frac{|(\lambda+\mu) \times 1+5 \lambda \times(-4)+(\lambda-\mu) \times(-8)|}{\sqrt{(\lambda+\mu)^2+(5 \lambda)^2+(\lambda-\mu)^2} \sqrt{1^2+(-4)^2+(-8)^2}},
$$

例 11 一平面过直线 $\left\{\begin{array}{c}x+5 y+z=0 \\ x-z+4=0\end{array}\right.$ 且与平面 $x-4 y-8 z+12=0$ 成 $\frac{\pi}{4}$ 角，求 该平面方程.
即

$$
\frac{-27 \lambda+9 \mu}{9 \sqrt{27 \lambda^2+2 \mu^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \text { ，或 } \frac{(-3 \lambda+\mu)^2}{27 \lambda^2+2 \mu^2}=\frac{1}{2} \text { ，或 } 9 \lambda^2+12 \lambda \mu=0 \text { ，即 } \lambda(3 \lambda+4 \mu)=0 \text { ， }
$$

得 $\lambda_1=0 ， \lambda_2=-\frac{4}{3} \mu ＼mathrm{~ ， 因 此 所 求 平 面 为 ~} x-z+4=0$ 或 $x+20 y+7 z-12=0$.

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