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极坐标系下平面图形的面积

## 极坐标系下平面图形的面积
某些平面图形，用极坐标来计算它的面积比较方便.
在平面内取一个定点 $O$, 叫做极点, 引一条射线 $O x$, 叫做极轴, 再选一个长度 单位和角度的正方向(通常取逆时针方向). 对于平面内的任意一点 $M$, 用 $r$ 表示线 段 $O M$ 的长度, $\theta$ 表示从 $O x$ 到 $O M$ 的角, $r$ 叫做点 $M$ 的极径, $\theta$ 叫做点 $M$ 的极角, 有 序数对 $(r, \theta)$ 就叫做点 $M$ 的极坐标. 这样建立的坐标系
叫做极坐标系(见图 3-28).
![图片](/uploads/2022-12/image_2022123027ddc7b.png)

如果让直角坐标系的原点和极坐标的极点重合，极轴和直角坐标系的 $x$ 轴正 半轴重合，设 $M$ 在直角坐标系下坐标为 $(x, y)$ ，对应的极坐标系下的坐标为 $(r, \theta)$ (见图 3-29)，则可以得到两个坐标系的坐标之间的变量互化关系式:

$$
\left\{\begin{array} { l }
{ x = r \operatorname { c o s } \theta } \\
{ y = r \operatorname { s i n } \theta }
\end{array} \text { 或 } \quad \left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=r^2 \\
\frac{y}{x}=\tan \theta
\end{array}\right.\right. \text {. }
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212309f1cc69.png)

## 面积微元
设由曲线 $r=r(\theta)$ 及 $\theta=\alpha ， \theta=\beta$ 围成一图形 (简称为曲边扇形)，这里 $r(\theta)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续，且 $r(\theta) \geq 0$. 由于当 $\theta$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上变化时， $r=r(\theta)$ 也在变动(见 图 3-30)，现用微元法求曲边扇形的面积.
取 $\theta$为积分变量，它的变化区间为 $[\alpha, \beta]$ ，相应 于 $[\theta, \theta+\mathrm{d} \theta]$ 的窄曲边扇形面积可用以 $r(\theta)$ 为半径
$\mathrm{d} \theta$ 为圆心角的扇形面积近似代替，即面积微元为 $\mathrm{d} S=\frac{1}{2}[r(\theta)]^2 \mathrm{~d} \theta$ ，因此曲边扇形的面积为以面积微 元作为被积表达式，在区间 $[\alpha, \beta]$ 上的定积分

$$
S=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta[r(\theta)]^2 \mathrm{~d} \theta .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230b5b66ee.png)

注 (1) 如果图形由内含极点的封闭曲线 $r=r(\theta)$ 所围成(见图 3-31)，则

$$
S=\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi}[r(\theta)]^2 \mathrm{~d} \theta ；
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230f94f574.png)

(2) 如果图形由曲线 $r=r_1(\theta) ， r=r_2(\theta)$ 及射线 $\theta=\alpha ， \theta=\beta(\alpha<\beta)$ 所围(见 图 3-

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