最后更新: 2025-10-17 17:54 查看: 47 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

高考研究：球的切、接问题

> 球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心.

## 内切球
### （1）平面中，三角形内切圆半径

采用等面积法：$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 对应的边长为 $a, b, c$ ，内心为 $I$ ，如图

![图片](/uploads/2025-10/a22921.jpg){width=300px}

则 $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle I A B}+S_{\triangle I A C}+S_{\triangle I B C}=\frac{1}{2}(a+b+c) r$ ，
从而求得内切圆半径 $r=\frac{2 S}{l}$（ $S$ 为 $\triangle A B C$ 的面积，$l$ 为 $\triangle A B C$ 的周长。

### （2）空间图形的内切球半径：

从平面推广到空间，以三棱锥为例，如图
 ![图片](/uploads/2025-10/c4d963.jpg){width=300px}
 
 则 $V_{A-B C D}=V_{O-A B C}+V_{O-A C D}+V_{O-A B D}+V_{O-B C D}=\frac{1}{3}\left(S_{\triangle A B C}+S_{\triangle A B D}+S_{\triangle A C D}+S_{\triangle B C D}\right) r$
从而求得内切球半径 $r=\frac{3 V}{S}$（其中 $V$ 为空间几何体体积，$S$ 为其表面积）

##  外接球
（1）平面中三角形外接圆圆心及外接圆半径：
由外接圆定义可得，外接圆圆心为各边垂直平分线的交点。这里只需要作两条边的垂直平分线可得交点即为外接圆圆。连接圆心与顶点，圆心到各个顶点的距离皆为半径。如图

而在三角形中求半径的方法可用正弦定理 $2 R=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

![图片](/uploads/2025-10/42259a.jpg){width=300px}
 
 
### 空间图形的外接球球心及半径

从平面推广到空间，可作两个平面的＂垂直平分线＂交点为球心 O ，球心到每个顶点的距离皆为半径。具体来说，平面的＂垂直平分线＂作法为：先找出该平面的外接圆圆心，过圆心作该平面的垂线。以长方体为例，如图

![图片](/uploads/2025-10/f4c2bc.jpg){width=300px}
 
 分别过平面 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 与平面 $B C C_1 B_1$ 的外接圆圆心作两个平面的垂线交点 $O$ 为外接球球心。由图形可得体对角线 $A C_1$ 为直径，则 $R=\frac{A C_1}{2}$ 。
 
 从上述过程也可看出，许多空间图形是无外接球的。通常考的是正棱柱、正棱锥等
 
 
 ## 例题

`例` 在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, ~ P A=2$ ， $A B=2 \sqrt{2}, ~ A C=4, ~ \angle B A C=45^{\circ}$ ，则三棱锥 $P-A B C$ 外接球的表面积是（下图为示意图）

解：考生需要脑子里能搭建几何体的空间形状，如下图
 ![图片](/uploads/2025-05/6f0f8f.jpg){WIDTH=200PX}

进而，找出其几何关系

![图片](/uploads/2025-05/aa52fa.jpg){WIDTH=200PX}

在 $\triangle B A C$ 中，$\angle B A C=45^{\circ}, A B=2 \sqrt{2}, A C=4$ ，由余弦定理可得 $B C^2=A B^2+A C^2-2 A B \cdot A C \cos 45^{\circ}$

$$
=8+16-2 \times 4 \times 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=8
$$

则 $B C^2+A B^2=A C^2$ ，所以 $B C \perp A B$ ，
由 $P A \perp$ 平面 $A B C, ~ B C \subset$ 平面 $A B C$ ，
得 $P A \perp B C$ ，又 $P A \cap A B=A$ ，$P A$ ，$A B \subset$ 平面 $P A B$ ，
所以 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ，
所以 $B C \perp P B$ ，

所以 $\triangle P B C$ 为直角三角形，
又 $\triangle P A C$ 为直角三角形，
所以 $P C$ 是三棱锥 $P-A B C$ 外接球直径，
设 $O$ 是 $P C$ 的中点，即为球心，
又 $A C=4, ~ P A=2$ ，
所以 $P C=\sqrt{A C^2+P A^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2 \sqrt{5}$ ，
所以外接球半径为 $\sqrt{5}$ ，
所以所求外接球的表面积 $S=4 \pi \times(\sqrt{5})^2=20 \pi$ ．

`例` （2022-新高考全国 II）已知正三棱台的高为 1 ，上、下底面边长分别为 $3 \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

解：由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为 $\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 \sqrt{3}=3, \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \sqrt{3}=4$.

![图片](/uploads/2025-10/c59b9f.jpg){width=500px} 
 示意图

设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为 $O_1, ~ O_2$ ，连接 $O_1 O_2$（图略），则 $O_1 O_2=1$ ，其外接球的球心 $O$ 在直线 $O_1 O_2$ 上．设球 $O$ 的半径为 $R$ ，当球心 $O$ 在线段 $O_1 O_2$ 上时，$R^2=3^2+O O_1^2=4^2+\left(1-O O_1\right)^2$ ，解得 $O O_1=4$（舍去）；
当球心 $O$ 不在线段 $O_1 O_2$ 上时，$R^2=4^2+O O_2^2=3^2+\left(1+O O_2\right)^2$ ，解得 $O O_2=3$ ，
所以 $R^2=25$ ，
所以该球的表面积为 $4 \pi R^2=100 \pi$ ．
综上，该球的表面积为 $100 \pi$ ．

> 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

## 一些结论
（1）若球为正方体的外接球，则 $2 R=\sqrt{3} a$ ；
（2）若球为正方体的内切球，则 $2 R=a$ ；
（3）若球与正方体的各棱相切，则 $2 R=\sqrt{2} a$ ．
（4）若长方体的共顶点的三条棱长分别为 $a, b, c$ ，外接球的半径为 $R$ ，则 $2 R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ．

上面第（3）情况如下图
 ![图片](

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