最后更新: 2025-05-31 17:46 查看: 24 次反馈同步训练

高考研究：球的切、接问题

球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心.

`例` 在三棱雉 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, ~ P A=2$ ， $A B=2 \sqrt{2}, ~ A C=4, ~ \angle B A C=45^{\circ}$ ，则三棱雉 $P-A B C$ 外接球的表面积是（下图为示意图）

![图片](/uploads/2025-05/6f0f8f.jpg){WIDTH=200PX}

A． $14 \pi$
B． $16 \pi$
C． $18 \pi$
D． $20 \pi$

解：在 $\triangle B A C$ 中，$\angle B A C=45^{\circ}, A B=2 \sqrt{2}, A C=4$ ，由余弦定理可得 $B C^2=A B^2+A C^2-2 A B \cdot A C \cos 45^{\circ}$

$$
=8+16-2 \times 4 \times 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=8
$$

则 $B C^2+A B^2=A C^2$ ，所以 $B C \perp A B$ ，
由 $P A \perp$ 平面 $A B C, ~ B C \subset$ 平面 $A B C$ ，
得 $P A \perp B C$ ，又 $P A \cap A B=A$ ，$P A$ ，$A B \subset$ 平面 $P A B$ ，
所以 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ，
所以 $B C \perp P B$ ，

![图片](/uploads/2025-05/aa52fa.jpg)
 
 所以 $\triangle P B C$ 为直角三角形，
又 $\triangle P A C$ 为直角三角形，
所以 $P C$ 是三棱雉 $P-A B C$ 外接球直径，
设 $O$ 是 $P C$ 的中点，即为球心，
又 $A C=4, ~ P A=2$ ，
所以 $P C=\sqrt{A C^2+P A^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2 \sqrt{5}$ ，
所以外接球半径为 $\sqrt{5}$ ，
所以所求外接球的表面积 $S=4 \pi \times(\sqrt{5})^2=20 \pi$ ．

`例` （2022－新高考全国 II）已知正三棱台的高为 1 ，上、下底面边长分别为 $3 \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
$\star / 100 \pi$
B． $128 \pi$
C． $144 \pi$
D． $192 \pi$

解：由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为 $\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 \sqrt{3}=3, \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \sqrt{3}=4$.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为 $O_1, ~ O_2$ ，连接 $O_1 O_2$（图略），则 $O_1 O_2=1$ ，其外接球的球心 $O$ 在直线 $O_1 O_2$ 上．设球 $O$ 的半径为 $R$ ，当球心 $O$ 在线段 $O_1 O_2$ 上时，$R^2=3^2+O O_1^2=4^2+\left(1-O O_1\right)^2$ ，解得 $O O_1=4$（舍去）；
当球心 $O$ 不在线段 $O_1 O_2$ 上时，$R^2=4^2+O O_2^2=3^2+\left(1+O O_2\right)^2$ ，解得 $O O_2=3$ ，
所以 $R^2=25$ ，
所以该球的表面积为 $4 \pi R^2=100 \pi$ ．
综上，该球的表面积为 $100 \pi$ ．

到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

## 一些结论
（1）若球为正方体的外接球，则 $2 R=\sqrt{3} a$ ；
（2）若球为正方体的内切球，则 $2 R=a$ ；
（3）若球与正方体的各棱相切，则 $2 R=\sqrt{2} a$ ．
（4） 若长方体的共顶点的三条棱长分别为 $a, b, c$ ，外接球的半径为 $R$ ，则 $2 R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ．

`例` 在三棱雉 $A-B C D$ 中，侧棱 $A B, A C, A D$ 两两垂直，$\triangle A B C$ ， $\triangle A C D, \triangle A D B$ 的面积分别为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则三棱雉 $A-B C D$ 的外接球的体积为

A．$\sqrt{6} \pi$
B． $2 \sqrt{6} \pi$
C． $3 \sqrt{6} \pi$
D． $4 \sqrt{6} \pi$

解：在三棱雉 $A-B C D$ 中，侧棱 $A B, A C, A D$ 两两垂直，将其补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径．
设长方体同一顶点处的三条棱长分别为 $a, ~ b, ~ c$ ，
由题意得 $a b=\sqrt{6}, a c=\sqrt{3}, b c=\sqrt{2}$ ，
解得 $a=\sqrt{3}, b=\sq

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